Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 39
Текст из файла (страница 39)
74. Решением краевой задачи ам=а и,я 0<х,1<+со, а 2 г Е р ЕЯи,(0, 1) = — Р(1), О <1<+со, и(х, 0) = ие(х, 0) = О, 0 < х < +со, является 0<1< —, а и(х, 1) = (4) х — <1<+со. 75. Решением краевой задачи 0<х,1<+со, шя(0,1)+, ш(0, С)+ 2 дф =О, О < 1 <+ею, (2) Л212оро ' Л211оро т(х, 0) = О, р(х, 0) = О, 0 < х < +ос, (3) является ш(х, 1) = О, (4) где 6 = ,, ' , Ф(2) = — , ' с1(2), О < г < +со, (5) Л 11оро' Лгаоро р(х, е) получается из ш(х, 1) с помосцью соотношения (1) или (1'), ш(х, х) = р.
а(х, 2), где р плотность, а и скорость жидкости. е — Ле ьС. — лО /' Ф ( ь") ле 1~ о О<Л1< х<Л1<+оо, (1) (2) Р) (1) (2) (3) 195 (1) (2) (3) [, о = — ' у' ~1 —,*р(- — (е — -* — е))),(1 — -' — е), 0 < х, 1 < +ос. (4) имое~ вид о(х, е) = оо(х, 1) + о"(х, е), 1(х, 1) = Зо(х, г) + г*(х, 1), (4) (4') (5) 1о(х, 1) = Ес пл, ((сей + 1Зо~А) з1п(о~1 —,Зх) -1- д2 + „,с г2 + (ЗК вЂ” ам 5) соз(ой — (Зх)1 (6) — — сила тока установившихся колебаний, (7) (8) (9) сила, тока затухающих колебаний, оо(е, О) -~- ео(е, О) ~'Х/С оо(е, О) — 1о(», 0)у'Х7С з (з) =— 2 0<я<ос, (10) Зо(я) = — Ф( — я), — оо < е < О.
(11) 13* Рл. П. Уравнения енперболннееного типа 76. Решение краевой задачи им=а и„, 0<х,2<+ос, 2 а(х, 0) = ие(х, О) = О, 0 < х < +ос, -~-сс Мии(0, 1) = Е$ил(0, б) + 1~ 5(1 — иГ~, п=в где б(1) - односторонняя б-функция, имеет вид 77. Решение краевой задачи о,+Ие+Лг=О, ) 0<х,1<+ос, СЕ=СЕ, 1, + Сое + Со = 0,) о(0, б) = Еяп1ео2, 0 < 1 < +ос, о(х, 0) = г(х, 0) = О, 0 < х < +ею, где е) = Ее сх з1п(еое — )Зх) — напряжение установившихся колебаний, о*(х, 1) = е ™~~р(х — а1) + уЗ(х+ ае)) напряжение затухающих колебаний, е*(х, 1) = — е '~ (у(х — а1) — ф(х+ а1)) (1) (1') (2) (3) 196 Ответы, указания и решения При 1) ~1 10 1+('д- ~+ д+д')~' л 1п10 1+ Ллло -е аа 1 (Дг Ь ~г5г)злеО амплитуда напряжения затухающих колебаний будет мсныпе 10вллв амплитуды напряжения установившихся колебаний. Указание.
Исключить из (Ц и (1') силу тока и найти установившиеся колебания напряжения, людставляя которые в (1'), найти установившиеся колебания тока. Установившиеся колебания напряжсния и тока целесообразно сначала искать в комплексной форме и(х, 1) = и(х)ег ', л(х, 1) = г(х)ег ', где у = злл — Т, требуя ограниченности при х — э +ос, а затем вернуться к действительным переменным и удовлетворить граничному условию (2).
3. Задачи для бесконечной прямой, составленной из двух однородных полупрямых. Сосредоточенные факторы. Если неограниченная струна (стержень) получена соединением двух полу- ограниченных однородных струн (стержней), то, принимая точку соединения за х = О, можно написать для отклонения точек струны уравнения иллл = а ил„, г иьчл = агиггг — оо < х < О, 0 < 1 < +со, 0<х <+со. 0<1<+ос ') См. задачу 20. и начальные условия ил(х, 0) = ул(х), алл(х, 0) = Е(х), — со < х < О,.
(2) иг(х, 0) = Л(х), игл(х, 0) = Ег(х), 0 < х < +со. (2') К этим уравнениям и начальным условиям нужно еще добавить условия сопряжения в точке х = О. Если, например, струны соединены непосредственно (без каких- либо сосредоточенных включений), то условия сопряжения имеют вид ил(0, 1) = иг(0, 1), (3) Елилг(0, 1) = Егиг„(0, .1). (4) Решение краевой задачи (1), (1'), (2), .(2'), (3), (4) можно искать в виде ил(х, 1) = угл(х — алл) + улл(х+ ал1), — со < х < О, 0 <1 < +со, (5) иг(х, 1) =лрг(х — агл)+Юг(х+ агу), 0 < х <+оо, 0 <1<+со.
(6) Функции лрл(г), улл(г), лрг(з), фг(х) определяются изначальных условий (2), (2') и условий сопряжения (3) и (4). 78. Решением краевой задачи л) иьи = а,,„, — < х < О, 1 (1) 0<у<+со, игы =а,'иг„, 0 <х <+ос,! (1') ил(О,л)=и (0,1), Ег ' =Ег ', 0<1<+ос, (2) дил(0, л) диг(0, л) д* дх 197 Еж П.
Ураоиепан гиперболического типа иг(х,О)=У(- — ), "' ' =У'(- — ), -со<х<0, (3) (3') иг1х, 0) = О, ' = О, 0 < х < +оз, является иг1х, 1) = 1 (1 — — ) + 1 (1+ — ); — со < х < О, — — < 1 < +оо;;г < О, аг 2зееЕггп ( х ') /Егдг+ 'Егдг аг аг х < 1 < +оо, х > О, 0 < 1 < аг 'х, 0 < 1 < +ею.
(5) ,/Е,р, —,игр, / г: т Отраженная волна ~ 1 )г+ — ) отсутствует 4Егдг + 4ЕгРг при чгЕг рг = згеЕгрг. При Егрг — г 0 отражение будет происходить как от свободного конца, при Егрг — г со как от закрепленного жестко. П р с л о м л е н н ая в о л н а. При Егрг — г 0 имеет амплитуду в два раза больше, чем падающая волна; при Ег рг — г +ос преломленная волна исчезает. Следует особо отметить, что при Егрг -г 0 отражение происходит, как от свободного конца, но преломленная волна сугдествуст и даже имеет амплитуду, в два раза ббльшую амплитуды падающей волны. 79.
а) при Мй > Тор си 0 < х < +со) и ) аа, ) (~, *) аш — е,~/ (1) когда х < аб < +оо, и1х,г)=0, когда 0<а1<х; б) приМй=Тор (иО<х<+ос) исх, 1) = иоехр( — — (1 — -)) (1 — — ) ао (1 — — ); 0 <1 < +сю; 12) в) приМй<Тор 1иО<х<+оо) м,~ оа, ) „(~, е) е, -ав/ (3) когда х < аг < +оо, и1х,1) =О, когда 0 <аг<х. При — оо < х < 0 решение и1х, 1) получается из 11), 12), 13) заменой х на — х. 198 Ответы, уноэония и решения (3) (3') 81.
Решение краевой задачи иле=а ие„— сс<х<иол, иол<х<+со, 0<в<+со, 11) где и = ил1х, е), — со < х < иоЛ, и = иг1х, е), иол < х < +со, и„1иол, 1) = иг,,'1иол, 1) = — — р1л), 1 (2) яро и1х, О) = ие1х, 0) = О, — оо < х < О, 0 < х < +со, 13) имеет вид ые лнл е'ол ил(х, 1) = — /' РЮ К, о О, -ал < х < иол, е4) — со < х < — а1, Лш — еуЛо — оо) иг1х, е) = ® ~ о вой < х < аЛ ~4~) ал < х < +ос.
О, В частности, если р1л) = А соз ~Л, — Агйп [ (х+ ал) а+но . ~ ш „,ы,о=( О, а — оо е ~ ш Ая1 ~ ~.—.1)1 г( . л) йрош еа — оо О, -а1 < х < иоу — со <х< — ал, иол < х < аг, ал < х < +со. 80. Решение краевой задачи ипе = агиля„— со < т < О,) (1) 0<1<+со, ишл = а иге ю 0 < х < +со,л (1') То)иг,,10, ц) — иле(О, Г)) = оеил10, 1) + Миллл10, 1) + гил10, Л) = = йиг10, 1) + Миглл10, 1) + гиге10, 1), 0 < 1 < +со, 12) ил10, 1) = иг10, 1), ил1х,.
0) = 11х), илл(х, 0) = — ау 1х), — со < х < О, игл1х, 0) = О, игсл1х, 0) = О,. 0 < х < +со, может быть представлено в виде ' 1х. 1) = Йх — 1) + у'1 + ау) иг1х, 1) = Ул1х — ал), где уо1г) есть решение дифференциального уравнения а Мр" 1г)+~2То — аг)р'Лг)+ЬРЛг) =2Тоу'1г) при — со < г < 0 15) при нулевых начальных условиях, а уо(г) = ер( — г) — У'(г) при 0 < г <+со. (6) Рл.
!й Урсавие~ин еипе))боличеепоео типа 199 (эффект Допплера). 82. Решением краевой задачи исс=а иле, — ос<х<ио1, ис1<х<+ос, 0<1<+со, г и = 'ис(х., С), †< х < иог и = иг(х, С), ив1 < х < +со, диг(евС, С) дис(евС, С) в (1) О <1 <+ел), слс(х, 0) = исс(х, 0) = О, — оо < х < О,( иг(х, 0) = иге(х, 0) = О, 0 < х < +со,) (2) (3) является г С*'. су) .).
в) 1 ®~, в О, -а2 < х < ио1, (4) — со<х< — аг, и)(х, 1) = г С с — ')д — ва) 1 ®~, в О, ио1 < х < а1, (4') а1 < х < +со. иг(х, с) = 4. Задачи для конечного отрезка. В случае конечного однородного отрезка длины 1 решение краевой задачи исс — — а илм О < х < 1, (1) и(х, 0) = вг(х), ис(х, 0) = ф)с(х), 0 < х < Е, (2) оси)с + огис+ ссзслн+ схси = )с®, х = О, 0 < с < +ею, (3) )3) исс + )эгис +)эзссн + ))ссс = )з (г)с можно искать в виде и(х, Ц) = )рс(х — ас) + вгг(х+ а1), (4) причем функции сс)с(г) и сс)г(г) при 0 < г < 1 определяются из начальных условий (2), а для других необходимых значений продолжаются с помощью граничных условий (3).
Можно также искать решение краевой задачи (1), (2), (3) с помощью формулы Даламбера 1) = з'(* - ") + з'(' + ~) ' 1 ,ф(г),~ 2 2а с Таким образом.,в случае р(1) = Асозас1в направлении, обратном на- правлению движения источника, распространяется волна с частотой, меньшей частоты источника, а в)с = в), а+ вв а в направлении движения источника волна с частотой, большей частоты источника, в)г — вс а — ев 200 Ответы, указания и решения для неограниченной прямой, продолжая лр(я) и ((л(я) на всю прямую — оо < я < +оо с помощью граничных условий (3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
