Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Лл„— Л'„' откуда непосредственно следует равенство /Х (х)Хи(х) г!х = О, в ггг ф п, при граничных условиях (За), (Зб), (Зв) или получающихся комбинированием (За) на одном конце и (Зб) на другом и т.д. 2) Для вычисления квадрата нормы собственной функции Хи(х) можно поступать аналогично тому, как это было сделано в указании к задаче 111; тогда получится следующая формула') (аналогичная г) Смл Нрвтов А.Н. Собрание трудов. Т. Н1, ч. 2. — Мл Изд. АН СССР, 1949. --.
С. 202-203. 3 а м е ч а н и е. 1) Ортогональность собственных функций устанавливается следующим образом. Умножая уравнение Хо'(х) — Л4 Хи(х) = = 0 на Х„,(х), а уравнение Х"'(х) — Л~ Х (х) = 0 на Хи(х), вычитая результаты и интегрируя по частям, получим ('Х (х)Х„(х) дх = о (Хо (х)Хо(х) Хо (х)Х г(х) Хто(х)Хв(х) ( Х((х) Хо(х)) / 222 Отвесам, указания и решения формуле 118) решения задачи 11Ц: /Хг1т) Ит = — (Хг(1) — 2Хн'11)Х„'11) + Хнг(1)), в откуда в случае 1Зб) /Хг( ) 1 1Хаг~1) а и в случае 13в) /Хг(я) е1т — 1Х2(1) е 116. Если колебания стержня вызваны ударным импульсом 1 в точке т = яе, то в ответе предыдущей задачи будем иметь: 2П .
инге а) аа =О, 5„= игягар 41Х (яв) ЛгхгД1 2. Свободные колебания в среде с сопротивлением. Если колебания струны или продольные колебания стержня происходят в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, то уравнение колебаний имеет вид ~) ии — — игия — 2ним и ) О, (1) а граничные условия записываготся так же, как и в случае колебаний в среде без сопротивления.
Записывая граничные условия в виде агиа10, 1) +Яи(0, 1) = О, 0 < 1 < +ос, (2) агия11,. 1) + 1зги1), 1) = О, 0 < 1 < +со, 12') мы учтем возможность граничных условий первого, второго и третьего рода. Пусть заданы также начальные условия и(т, 0) = 1а(и), ие(я, 0) = 1а1я). 13) Разделяя переменные, приходим к такой же краевой задаче Х"(т) + Л'Х(я) = О, О < т < Е 14) агХ'10) + ДХ10) = О, (5) агХ'(1) + РгХ(1) = 0 15') для определения собственных чисел, как и в случае, когда колебания происходят в среде без сопротивления. Пусть Ла и Х„1т) собственные значения и собственные функции задачи 14), 15), 15').
Для определения Тв Я получим дифференциальное уравнение Тн11) + 2рТ„'11) + а Лг Т Я 0 16) ') См. задачу 15. 223 Тл. 78 Ураененин гиперболинееного типа отличающееся членом 2иТ„'Я от соответствующего уравнения в слу- чае колебаний в среде без сопротивления. Его общее решение имеет вид Т„Я = (а„сЬи!„1+ Ьа я1зигаг)е иг > агЛг„(7) иг — ахЛг, ТиЯ = (а„созе!„1+ Ь„в!пег„г)е иг < а Лг, (7') азЛг — иг ТиЯ = (а„+ Ьпц)е ", и = аЛ„. (7о) Решение же краевой задачи (1), (2), (2'), (3) имеет вид -гоп и(х, 1) = ~','ГпЯХп(х) (8) п=! и = аЛн юа = 1 при г-оо 117.
и(х, 1) = ~ ~—,яп яп ' О„Я, где 21 Ье "' 1 . пггхо . пгх 7ггхо(1 — хо) пг и=! а и я иг„= иг— 1г О„Я = с1гигпг+ — э1гиг„1, о!г, пгга <и, ОиЯ = 1+ и1, " ' = и, огп — и г а и гг О„Я = сов агп1+ — зшиги$, ег пгга > и. 118. и(х, 1) = — вш яп Ои(1), где 21е г 1 . пяхо, пях 1р ы п=.г ОЯ=1 при =и, О„Я = совюи1, юг, = — иг пРи > !' 1г Пегко видеть, что в каждом из случаев (7), (7') и (7н). Коэффициенты аи и Ьа определяются через начальные условия следующим образом: ! а„= 1гр(х)Хп(х) дх, Ь„юп — иа„= ! г(г(х)Х (х) е(х, (9) ((х )( ((х с причем 224 Ответы, указания и решении -т го 119 итх «) = ~~~ от ~ г 1) «~и+1)кх 0 т«) где 0 т«) тгз 2а+ 1 2 2« п=о имеет такие же значения, как в ответе к задаче 117.
-~-гю 120. и(х, «) = ае + Ьое 2"' + е "' ~ 0„(«) сов п=1 0„1«) = ап + Ь„«, 0„(«) = ап ейшп«+ Ьп вйшп«, ( ит пка — ) гт, 1 п = 1, 2, ..., (2) 0„1«) = ап сов шп«+ Ь„вш гоп«, 2 г птге ап = — ««тР(Я) СОВ Е«2, о Гтап = — «тР(2) СОВ Г«Я, '- Т/' о п=1,2, ( Ь, ~'фа 'я., —, ~,Р«я)'«6+2 «~М)<, о о о пк а тига «2 ( тт, шп = 1 пРи и'яа 2 пка т"тп «2 — 1 при — ) и. пка =и, 121.
и«х, «) = е "т ~ Отг(«) сов Лпх, п=1 Э,(т>=.п т,.ттт,.е „т, .=,У вЂ” РУ 0„1«) = а„+ Ьп«, шп = 1 пРи аЛп = и, в„тт)=,„„, „ттт„г .т, „= 'Рг*„-'~ т 2.,) (2) Лп положительные корни уравнения Л«яЛ« = 6, а„= / тр(я) сов Лпв е«в, 2 + «(Л2 + 62) 2 Ьпшп — ттап = ~ ~тР«2) сов Л„е г«в. 6 ««Лт -В 62) ') См. ответ к задачам 111 и 112. 1221). и(х, «) = е ' ~ Опт«) вгп(Л„х+ тр„), 11) п=1 где 0„1«) и от„определяются по формулам (2) ответа предыдущей 225 1'л.
11. Уроененид гиперболического типа задачи, Лп положительные корни уравнения Л вЂ” 6 6 Л(6г -~- 6г)' Л грп — агс18 61' (2) аи — ~~гр(я) ийп(Лпя+грп) г(я, п = 1, 2, 3, 2 (Лг + 6г6~Н6~ г" 6г) 1+ (Лг ч 1гг)(Лг ч 1гг) Ьггго„— оа =, 1ьгР(Я) Яп (Л Я + гР,) г1г, 2 (Л"„т 6гбг)(1гг ~- 6г) ('" .-":'.". ,) п = 1, 2, 3, 123. Репгение краевой задачи о.. = СЬюгг+ СДи„О< т <1, О <1<+со, (1) (0,1) = .(1,1) =О, 0<1<+ (2) и(т, 0) = ио, иг(т, 0) = О, 0 < т < 1, (3) и==о где (2и+ Цгг С11~1~ 21,,гС1, Хггг(2п+ цг 4'оо .е(2п + 1) яп уг Б $3 гРп — — 2игп —. -~. гю 2ооя ог ч (2п Ч- 1) сое(иго1 — гргг) х БСг1г(Ь вЂ” о) ог„~/ю3 + о~ п=о (2и Ч- Ци(а г;Ь) .
(2п+ 1)я(а — Ь) . (2п-е 1)тт х зич звч 81п при 0<и<а, 1 1'В СЛ (2 + 1)гяг 2 'ЛХ С/ ' ы" 41гСЬ о 13Рн = —. ог„ Скг1 ') Предполагается, что Б > 1З Б.М, Будак и др. имеет вид гг(т, 1) = е гггдго1 ~~г ' а„Яп "' Яп(иггг1+ гР„), (4) 21 226 Ответы, указания и регаевия Ево ( ) Я е-.с С;" (2 с+1) о=о х гйп з|п соз(ос⫠— ср„) при 0 < х < хо, (2п+ 1)сгхо е (2и -Ь Цсгх где величины и, и, оса, сра определяются так же, как в ответе к предыдущей задаче. 3. Вынужденные колебания под действием распределенных и сосредоточенных сил в среде без сопротивления и в среде с сопротивлением.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний струны под действием непрерывно распределенной силы в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, имеет вид исс = а и.„— 2иис + У(х, С), причем г (х, С) = р((х, С) есть вынуждающая сила, приходящаяся на единицу длины, р линейная плотность массы струны, 1(х, С) --- ускорение, которое получила бы точка струны с абсциссой х в момент С, если бы на нее не действовали никакие другие силы, кроме вынуждающей. Член — 2ссис, представляющий собой сопротивление, пропорциональное скорости, исчезает,. если колебания происходят в среде без сопротивления.
Краевая задача исс = ази„— 2иис+ С(х, С), 0 < х < С, 0 < С <+со, (1) оси (О, С) + Дди(0, С) = О, ози (С, С) + ССзи(С, С) = О, 0 < С < +ос, (2) и(х, 0) = р(х), и(х, 0) = гсс(х), 0 < х < С., (3) может быть сведена к более простым ') задачам. Если удается найти какое-либо частное решение ю(х, «) уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (2), то решение краевой задачи можно будет представить в виде и(х, С) = и(х, С) + гл(х, С).
(4) где и(х, С) есть решение краевой задачи исс — — аяпхх — 2гис, 0 < т. < С, 0 < С < +ос, (5) оспе(Ог С)+Яи(0, С) = О, озис(С, С)+Дзи(С, С) = О, 0 < С < +со, (6) и(х, 0) = оо(х) — ш(хг 0), ис(х, 0) = ф(х) — юс(х, 0), 0 < х < С, (7) которое рассмотрено в предыдущих параграфах. Аналогично обстоит дело в случае вынужденных колебаний под действием сосредоточенных сил, приложенных к концам или внутренним точкам струны. ') См. (7, с. 103); сведение рассматриваемой задачи к более простым может быть выполнено аналогично. 227 Рл.
П. Ууавненин еипедоолинееноео типа 126. Решение. Имеем краевую задачу иле =аги„— 2иил+д, 0 <х < 1, 0<1<+со, (1) и(0, 1) = и(1, 1) = О, О < 1 < +со, (2) 77 г.'о 6(1 — х) 1 — хо 7л(х, 0) = 0 < х < то, хо<х<17 (8') (1), удовлетво- ил(х, 0) = О, 0 < х < й Ищем сначала стационарное решение ю(х) уравнения ряющее граничным условиям (2). Подставляя ю(х) в (1), получаем ~2 О=аз, +д, 0<х<1, откуда 7о х) = — —, х + Слх + Сг. У г 2ал Из граничных условий (2) находим Со = О, СЛ = + †,.
д1 2аг ле овательно. (4) С д ю(х) = — —,х + —,х. д г У1 2ал 2ал Теперь остается решить краевую задачу им=а и„— 2иил, 0<х<1, 0<1<+со, (б) (7) (8) и(0, 1) = и(1, 1) = О, 0 < 1 < +ос, х — х+ — (х - 1х), О < т < то, д г то 2ал о(х, 0) = ' + †' ( ' - 1х), х, < х < 1, 1 — хо 2ал и,(х, 0) = О, 0 < т < 1, (9) (10) и(х, 1) представится в виде и(х, 1) = и(х, 1) + ю(х).
(11) Выражение для и(х, 1) получается по формулам (7), (7'), (7н), (8), (9) введения к предыдущему пункту ответов и указаний настоящего параграфа. Заметим,что если бы член — 2иа,в уравнении (1) отсутствовал, то стационарное частное решение краевой задачи (1), (2) и, следовательно, начальные условия (9) и (10) для нахождения функции и(х, 1) остались бы прежними. В этом случае уравнение (7) не содержит члена — 2ии7 и и(х, 1) находится без труда.
1З* 228 Ответы, указания и решения 6 — х, 0<я<ха, 0 ( х ( 1 р ( х ) ха <х<1, Ф) ю(х, 0) = уа1х) — ю1х), ое1х, 0) = О, 0 < х < 1. ПУсть аЛн ) и, п = 1, 2, 3,... Тогда с1х, 1) = е '~ ~ 1а„созшо1+ Ьнз1поао1)хнЯ, 110) где ня а о~н— о 12 — и2 Хазах) = сйп :,:х1ы имеем ао =, ~с1х, 0)хн1з) е1з = 1 ~~Х,.!Р и бн = — а„, ш„ = — / ~фя) — ю1я))Х„Я ~Ь = — ~~рЯХ„1х) еЬ вЂ” — ~юЯХоЯ еЬ 2 2 2 о о о Первый интеграл в последней разности равен нвхха 2 21 Ьв1п — ' в /уа1я)Х„(х) еЬ = о Второй интеграл может быть вычислен с помощью уравнения Х„"1х) + Л'„Х„<х) = О и интегрирования по частям — тГ-~) -~)'=Й/-~)х ~)'= о "Ь = — „', ~ (Ох'„(Е/',— Зехве/',е / ох„в,~ а ') См.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
