Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 45
Текст из файла (страница 45)
нояб \ . пяб + вш гяп с14, по« ~р является: а)приш~, п=1,2,3,4, (4) яп — х -~-со пггх . пяаг ш вггг о«~ + ~ йо вггг яп — 1 а ш вгп — « яп сЬ, п=1,2,3, вш а и(х, С) = А <6) где 2Аш Л, пяа (6) погга б) при ог =— Аш С С * . пгг«1, поп(х — «) а~ по г4«яп оМ— о -~-оо АА*„, пол х пах, пяаг 21 — "" 1совш1 вш + ~ йп вгп яп, (8) о,=г где Бо = — ~ 'сгг(«, 0) вш с1«, А„*, = ~ «яп сЬ, 2 С е пя« „Г . пог㫠— па/ ~ г оо — / о о бг(«, 1) сумма первых двух члонов в правой части равенства (8). Указание. 1) При ог ф, и. = 1, 2, 3,..., частное решение краевой задачи (1), (2) ищем в виде б'(хг 1) = Х(х) вшоЛ и решение задачи (1), (2), (3) представляем в виде и(х, 1) = и(хг 1) + сг'(х, 1).
«го гга 2) При о« = — полезно освободиться от неоднородности в граничном условии, переведя ее в уравнение. Лля этого находим стационарное решение уо(х) уравнения (1) г удовлетворяющее граничным условиям уо(0) = О, гр(1) = А, затем решение краевой задачи (1), (2)г (3) ищем в виде и1х, с) = гг(х, 1) + уг(х) вш ~Л а Т~ натяжение струны. В этом случае наступает явление резонанса: амплитуда колеба- ний с частотой вынуждающей силы аг возрастает неограниченно про- порционально й 135. Решением краевой задачи иге=а и«., 0<х<1, 0<1<+ос, и(0., 1) = О, и(Е, Е) = А вш агС, 0 < 1 < +со, и(х, 0) = гсс(х, 0) = О, 0 < х < 1,.
237 1'л. йй Ураниепин еиперболичеепого типа 136. Решением краевой задачи иге=а и,„, 0<х<1, 0<1<+ос, и(0, 1) = О, и,(1, 1) = — ягп ог1, 0 < 1 < +со, А ЕЯ и(х, 0) = О, иг(х, 0) = О, (1) (2) (3) о=-О где г,4 11(х, 1) = —, " я1паг1, ~~го соя — 1 а Ь„= — / (Сг(в, 0) сйп е(в; 4 С . (2п 4- Цггн (2п 4- Цг а,/ о (2по -~- Цяа 6) при аг = 21 1) гс( 1) + ~~-' Ь .
(2п+ Цях . (2п+ Цпае (3) 21 21 п=о гсе по где о(*,г)= — ( 1( — А"„ю ' ) о (2гго + Ця(х — е) ) . АА*„, . (2а+ Цггх х яш г)х в1паг1 — "' 1 соя аг1 я1п Ь„= — / Ц,(х, 0)ягп с(х, 4 С, (2пйЦян (2п+ Цяа,/ 21 о с' . (2по+ Цпе „ А;, = / х яш г)х. о Указание. См, указание к предыдугцей задаче. 137. Решением краевой задачи игг = а и„-~-шз(х-1-и) +дяшагв, 0 < х < 1, 0 < 1 < +ос, (1) и(0, 1) = ин(1, 1) = О, О < 1 < +ос, (2) и(х, О) = иг(х, О) = О, О < х < 1, (3) является: (4) и(х 1) (С(х 1) + ~ Ь я.
(2п 4 Цнх . (2п 4 Цпаг (й) 238 Ответы, указания и решения является а(х, 1) = и(х) +ш(х, 2) + с71х, г), где и(х) = ~~соьУ,1 — 4)еК вЂ” й~~зпзЫх — 9еК, сов ~ — Н вЂ” х) зГ2~ -(*, ) = (.) .- = ', сов ( — 1зГ2) о=о 1 (2п-~- Ц и а . (2и и'-1)к Ао = — — ~и(с) гйп ~ е1с, о (2н+ 1) я а 138. Решением краевой задачи им=а и,, 0<х<хо, то<а<1, 0<1<нос, (1) и(0, 1) = О, и(хо — О, 1) = и(хо+ О, 1), Ти':их7хо+О, 1) — их(хо — О, 1)~ = Аз1пев1, и11, 1) =О, 0 < 1<+со, (2) и(х, 0) = ие(х, О) = О, 0 < х < 1, Р) является ) (х, 1) = 17(х,. 1) + ~ Ь.
з' — "* з1 — "' ", (4) где ба = — 1 ах(Х, 0) З|В ЕЬ, 2 пих ика,/ о (б) Указание. Найти сначала стационарное решение, потом вынужденные гармонические колебания с частотой вынуждающей силы, а затем свободные колебания. 239 1'л. 11. Ураоиенин гиперболического типа Го(1 — хо) Аа з'п огх з1п — чзп Гог, ТоГо . ш1 а яп— ОГХО Аа зсо аГ(1 — х) еш ' ' ядаг1, Том . о11 а яп— а 0 < х < хо, (6) Ьг(х, Г) = хо < т < 1.
(6') 139. Решением краевой задачи им=пи„, 0<х<хо, хо<х<1, 0<1<+ос, (1) и(0, 1) = О, и(хо — О, 1) = о(хо + О, 1), То[и,(хо+О, 1) — и,(хо — 0: 1)~ = АсозоЛ, и(1, о) = О, 0 <1 < +ос, (2) (3) является и(х, 1) = 11(х.,г) + ~ шаоян соз (4) о=1 где 2 г пхг а„= — -11 Ьг(х, 0) яп — аГз о (5) Ог Аа еп1 а ( хо) . а1х яп — соз оЛ, зш а а (6) пгГа и = 1, 2, 3, ... 1). 0 < х < хо, (1(х, 1) = яп — хо — яп — (1 — х) соз а11, Тош з1п — 1 а а (6') хо 140.
Решением краевой зада Ги является и(х, Г) = Ьг(х51)+ ~ ~(а„соз +Ьпяп ' ) а1п ~~™, (1) п=1 где а, = — — 11 11(г., 0)зш Г)г, 2 г П71» 11 о 2 п7гг Ь„= — — 11 111(х, О) з1п — з пгга,l о 1) Переходя к продолу при ш -о О, получим при А = Го стационарное отклонение, найденное в решении задачи 132.
240 Ответы, указания и решения ипритее~, ш,п=1,2,3, ПЫ ( т~ авш — (1 — хе) Те 2 ПЕ1 В1П вЂ” ~ п.=1 пых х вш (о„сояпв11+ Д, в1ппы1), 0 < х < хо, а (3) У(х, 1) = —.(т('-1)'К п=.1 те(~ — т) х яш ' (о„совпь1гп-,з„я1ппы1), хо < х < й а (3') Т 2 ( Я)' 0 < х < хо,. хе <ы * ~ (1 141. Решением краевой задачи') иее — — ази — 2ние + (Ф(х)/р) я1по10 0 < т < 1, 0 < 1 < +со, и(0, 1) = и(1, 1) = О, О < 1 < +со, и(х, 0) = О, ие(х, 0) = О, 0 < х < 1, (1) (2) (3) является и(х, 1) = У(х, 1) + е т ~ (пасов — + д„вш п™1 гйп и 1 ) п=1 где 2 ппе ап = — — ~ У(х, О) гйп — сЬ, И 2 пв в дп = ап — ~ Уе(в, 0) гйп 1Ь, пка ппа з' (4) е (,, Г(х, 1) = 1ш,,', ( ( — ФеЫ)Х(1 — ~) Н~ ) Х(х) — е' ' / — Фе(С)Х(х — С) е1С ~~ ' (6) ') См.
введение к ответам наставшего пункта. в) Символ 1ш означает мнимую часть комплексного числа. Замечание. Первые слагаемые суммы (3) и (3') соответствуют ое стационарному прогибу под действием силы, равной —, и приложен- 2 ной к точке хо, именно эта сила вызывает прогиб о х[ г =о +'г*-со +юг*, ге;= а ,'о гоог ' го го'я— (7) а 2 а 2 Замечание. Пусть 1'(х) есть решение дифференциального уравнения у(О) = О, у'(О) = 1; тогда у = / у(с) У(х — с) гзс у(0) = Ог у'(0) = О. является Рл. П. Ураененин гиперболического типа о'(хб 1) установившиеся колебания, до+ Ау'+ Ву = О, А = сопя1, В = сопв1г удовлетворяющее начальным условиям о является решением уравнения уо + Ау' + Ву = у(х) г удовлетворяющего начальным условиям 142. Решением краевой задачи иге=а и — 2ииг, О<х<1, 0<1<+ос, и(0, 1) = О, и.,(1, 1) = — сйпог1, 0 < 1 < +екг, А ЕЯ и(х,О)=Ог иг(х,О)=0, 0<х<1, и(х, 1) = Ьг(х, 1) + тго т т-г (2п -~- Циам 1 .
(2п -~- Цяаг 1 . (2п 4- Цях +е ' у ) пасов +Ь„яш ' сбп и=о г а„= — -у1 С1(гг 0) айн 2 г . (2п+ Циг 21 еЬ, о Ь„= — ( Ыг(г, 0) гйп ага 4о г . (2п+ Цггг (2п -> Цна,/ о Установившиеся колебания определяются формулой ( А(о — гог) е1ае *1* — е 1 хг' 1 гиг где о и В имеют те же значения, что и в предыдущей задаче. 16 Б.М, Будок и др. (1) (2) (3) 242 Ответы, указания и решении 143. Решением краевой задачи является и(х, 1) = гг(х, 1) + ог с гг (2п т Цяа1 Ь . (2п+ Цггаг 1 (2п Е- Цих + е ' л (аосов +Ьивш ) сов п=о а, = — — уг Ъ'(х, 0) соя дх, 2 Г (2п г Цее о Ь, = ао — р 1'г(я, 0) соя гЬ, (5) 2и1 4 г (2п -в Цяе (2п+ Циа (2п -В Цяа 1 о ег озег + е 1"ояаг ,.Ег=е/~:,-2у;, р=го, гг=еогог, =оя, СА+ Сй 2СЬ 144.
Решением краевой задачи —,, — СА дхо дг -(СЕ+СЕ) д"-СЕи=О, О < х < 1, 0 < 1 < +со, (1) и(0, 1) =О, и(1,1) = Еяшшв, 0 <1<+со, (2) и(х, 0) =О, иг(х, 0) =О, 0 <х<1, (2) является и(х, 1) = 1г(х, 1) + е ~г ~ (ап сов дп1+ Ьо втп1г Ц я1п и, (4) и=а где р(г -е Ло) — д~ „ггп ро и 2 с по по — — 11 'гг(х, 0) Яш — гЬ, 1/ ' 21 о и1 2 пое — а„— — ~ )гг(х, 0) сйп — гЬ, пгга пгга о (5) Ь„= —, — ЕС вЂ”, — (ЛС + СЕ) — — СЛи = О, 0 <х<1, 0<1<+ос, (Ц ие(0,1) = О, о(1, 1) = Еовйпогв, 0 <1< +со, (2) и(х., 0) =О, ог(х, 0) =О, 0 <х <Х, (3) 243 е~ е о' — е ~ ело' (6) СЛ+ С1 2СЬ 0<х<1, 0<1<+со, (2) в сече- р(1, 1) = АЛт(аг)Каг)ед' т г, (3) (4) (5) Л(аг)— 6 = — — дг — Вг, скдг — —— Ф 2 'Р является ( * е а, г) = — ', (~1гг /ф(ее*-*1гг(ф(ог*~г~ о о о о тгкх .
ггнае + ~ ~Ь„згп — ейп —, (4) 16* рл. П. ураененин гиперболического типа *[ ~Ее= ~ — -гг . е=ог, гг=ое-~ог, 145. Из краевой задачи — — = ( — + 2аю), др г днг — — =Л вЂ”, дг дх' р(0, 1) =О, ю(1,1)+Ь ' =Ае™, О<1<+со, дх находим установившиеся колебания давления с частотой иг нии х =1: о Ег 'зЫ Л 2 ' Л 2 зй 2Ф +дй сй 2Ф вЂ” соз 2'~ ейп 2ог сй 2ф — сое 2зг — дз 146. Решением краевой задачи иге=а и,,+ — Ф(х)1, 0<х<1, 0<1<+ос, г и(0, 1) = и(1, 1) = О., О < 1 < +со, и(х, 0) = иг(х, 0) = О, 0 < х < 1, = СЛ. (7) (8) (1) (2) (3) 244 Ответы, указания и решения где о ь,= — ь,, ГГьГьг "ьв)ь* — Гьг/г(гьв~ ' °, ь..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
