Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Функцией Римана: а) для оператора г дгг дх2 является и=до с (1 — т)г+ ( а- б) для оператора 2 2 ди гди Х(и)= — — а, — си дгг дх2 является и=Хо с (1 — т)г —,, /, (х -62 '1 гДе Хо(г) = зо(12) виДоизмененнаЯ фУнкниЯ Бессели нУлевого поРЯДка. Решение краевой задачи соответственно принимает вид; а) и(х Х) = 22(х — ае) -ь 1р(х + ае) 2 1 71 с ~ 2 2,( (х -6' аг и(М, М) = 1.
(1') Таким образом, если функция Римана для гиперболического оператора Х, или Х,*(и) найдена, то можно сразу написать в интегральной форме решение широкого класса краевых задач, связанных с этим гиперболическим оператором. 198. Функция Римана е = 1. Решение краевой задачи имеет вид и(х, 1) = Зо(х — аг) -т 1р(х 4- аг) 2 + — / ф(х) Йх+ — ) 11т / Х(х, т) еХх. о 271 Рл. П. Ураоиеиин гиперболического типа + — )Йт ),Ус~с (1 — т)г — )Д~, .т)д~; 1 т т / (х — с) 2а,/,/ аг / )о ог(х — а1) -1- р(х 4- ае) 2 ( г ( -6' *е е1г(с ег— 2 „/ ( — ~)г аг — ) ь( о-е -'," )леоге.
о 200. и(х, у) = — ог(ху) + —:р( — ) + 1 у /х1 2 2 (у) Лч р р(г),( итху р Ф(г),( а1 ае З 201. и(х,. 1)— , ( ".) ъ'7 — х — — Зг(~х+ иг1:хоае — — ) 4 2 4г1 х :( — -") а1 а~ее з ие1:х х4- — р(х-Ь ъг):ха1 — ) т — '.о Мг +, +, / Ф(х1 х)еЬ, 2 4 ) 1 207: х л оз —. — Пг гег ~г г 11 4 Ф(х, 1, я) = — ф(Š— яг)Š—, —, 1, 4 + а ~2 2 ' 4г~7 — х — (. — Л:х)' + уг(1 — яг)го —, —, 1, 8 гг(1 — х)г г 2 2 4г е( — х где К( д ) 1+о'гг +О(о+1)Ю+1) г+ 1 7 1 2 тЬ+1) есть гипергеометрический ряд ).
У к а з а н и е. Воспользоваться для гиперболического оператора канонической формой со смешанной производной. В характеристических координатах функция Римана имеет вид (х — хо)(у — Р ) ( г) См, справочные таблицы в конце книги. 272 Ответы, указания и решения 202. и1х, у) = + ах=-.).в-(--и вн).).в-'(-~ в 2ъ'я1пш 'еу + / Ф(ш, у, х) Их,. 2иЯп ш где Ф1х, у, х) = у11совх)~/в1пяР ~-, —, 1, ) + / 1 1 сов ба — х) — сов у 1 ~ 2' 2' ' 2япш в!их 1,, вш у, (1 1 сов)ш — х) — сову + — ~р11совх) ' г' (-, —, 1, вшюиев1пв '2 2' ' 2япш япе )' ю = агссов —.
'Т Указание. Воспользоваться для гиперболического оператора канонической формой со смешанной производной. Функция Римана в характеристических координатах имеет вид ,/1 1 яп1х — ха)вш(у — уа)1 12 ' 2 ' яп(ха — уа) яп (х — у) ) Глава П1 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА З 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям параболического типа; постановка краевых задач Уравнения и граничные условия рассматриваемых здесь краевых задач теории теплопроводности являются следствием: а) закона сохранения энергии; б) закона внутренней теплопроводности в твердых телах (закона Фурье); в) закона конвективного теплообмена между поверхностью твердого тела и окружающей жидкой или газообразной средой (закона Ньютона). 3 ак он Фурье в одномерном случае выражается формулой д = — пЛ вЂ”, ди (1) дх' где д †..
количество тепла, протекающее в единицу времени в направлении оси х через площадку щ перпендикулярную к оси х, и температура в рассматриваемом месте тела; Л коэффициент теплопроводности г). Закон Ньютона выражается формулой д = та(и — ио), (2) где д --- количество тепла, протекающее в единицу времени через площадку и поверхности тела в окружающую среду, и --. температура поверхности тела,. ио температура окружающей среды, а коэффициент теплообменаз). В краевых задачах диффузии количество диффундирующего вещества и его концентрация играют такую же роль, как количество тепла и температура в краевых задачах теории теплопроводности.
В частности, если под и понимать концентрацию, под Л коэффициент диффузии, а под д количество вещества, диффундирующее в единицу времени в направлении оси х через площадку и, перпендикулярную к оси х, то закон диффузии (закон Нернста) выразится ) Л зависит от физических свойств тела и от температуры и, но в достаточно широких пределах зависимостью Л от температуры пренебрегают, беря Л для среднего значения температуры. ') Все, что сказано в предыдущей сноске о зависимости Л от температуры, в известных пределах распространяется и на о; подробнее см. [41, с. 21).
1В Бак Будак и др. 274 Отаегаьи указаиия и ретеиия формулой (1), а формулой (2) выразится закон диффузии через полу- непроницаемую перегородку. О параболических краевых задачах движения вязкой жидкости и электродинамики будут сделаны соответствующие замечания непосредственно при их рассмотрении.
1. Однородные среды; уравнения с постоянными коэффициентами. 1. Температура точек стержня является решением краевой за- дачи ис=а их„О<х</, 0<1<+ос, и(х,О) = ~(х), 0<х<1, (2) и(0, 1) = ~ад(С), иО', 1) = рз(1), 0 < й < +ос, (3) — Лпи„,(0, 1) = дз(й), Лпи„ц', 1) = дз(С), 0 < 1 < +ос, (3') их(0, 1) = 6~и(0, 1) — аа1(1)], иД, С) = — Ь~иц*, С) — рз(1)), 0 < Х < +оо, (За) Л где а коэффициент температуропроводности, а = —, Л коэфср фициент теплопроводности материала стержня, с удельная тепло- емкость, р плотность массы, и площадь поперечного сечения, 6 = —, где о — коэффициент теплообмена, ~(х) начальные значе- Л' ния температуры, ~рзф и уз(1) в случае (3) — температуры концов стержня, а в случае (3') значения температуры окружающей сре- ды у концов стержня; цг(г) и дз(1) тепловые потоки, поступающие в стержень через его концы (т.е.
количества тепла, поступающие в единицу времени). У к а з а н и с. Если боковая поверхность однородного изотропно- го цилиндрического стержня теплоизолирована, а изотермические по- верхности в начальный момент времени совпадают с его поперечными сечениями, причем торцы стержня все время остаются изотермичес- кими поверхностями, то изотермические поверхности в стержне бу- дут все время совпадать с поперечными сечениями, т. е. температура в стержне все время будет зависеть лишь от одной пространственной координаты х. Уравнение (1) можно получить, приравнивая приращение за еди- ницу времени количества тепла в элементе (х, х+ Ьх) стержня, равное а српЬх —, дг' (4) сумме количеств тепла, поступивших в этот элемент за единицу вре- мени через сечения х и х + Ьх, — пЛ вЂ” +пЛ вЂ” ' ди Ои (5) дх х Ох х-,'-ах' а затем деля полученное равенство на Ьх и переходя к пределу при Ьх — г О.
Остановимся более подробно на выборе знака у членов сум- 1'а. 111. Уравнения парабоаичееноео типа 275 мы (5). Мы считаем и+ Ля > я, что, очевидно, не нарушает общности ди рассуждений. Если на торце я элемента (я, т + Ьл) будет — > О, то дя в точках, лежащих правее торца (т. е. внутри элемента), температура будет больше. чем в точках, лежагцих левее торца (т. е. вне элемента), значит, тепло будет вытекать из элемента и, следовательно, первый ди член суммы (5) нужно брать со знаком минус.
Если же — < О, то дя температура левее торца больше, чем температура правее торца, поэ- тому тепло будет втекать в стержень, первый член суммы (5) должен быть положительным и, следовательно, перед ним снова нужно взять знак минус. Аналогично проверяется выбор знака при втором члене. Для получения граничных условий (3') и (Зо) нужно провести такие же рассуждения для граничных элементов (О, Ьт) и (1 — Ьх, 1), используя в случае (Зо) закон конвективного теплообмена Ньютона. Замечание. Если коэффициент теплообмена а значительно больше коэффициента внутренней теплопроводности Л (ее — ~ со), то граничные условия (Зо) переходят в граничные условия (3). Если же, наоборот, о пренебрежимо мало (о -о 0), то граничные условия (Зо) превращаются в граничные условия (3'), где д1 (1) = оз(1) = О, т.
е. мы приходим к случаю тепловой изоляции концов стержня. 2. Уравнение теплопроводности в данном случае имеет вид Л ор ие — — — и,, — — (и — ио), ср сро где р периметр поперечного сечения стержня, и коэффи- циент теплообмена между поверхностью стержня и окружающей сре- дой, температура которой равна ио, остальные величины имеют те же значения, что и в предыдущей задаче; начальные н граничные усло- вия записываются так же, как и в предыдущей задаче. Указание. Рассматривая элемент (я, я+ Ьл) стержня, учесть в тепловом балансе не только потоки тепла через торцы элемента, но и потоки тепла через его боковую поверхность. 3. Лля определения температуры в кольце получаем краевую задачу ие = — и„ вЂ” — (и — ио), О < л < 1, О < 1 < +ос, (1) ср сра и(0, 1) = и(1, 1), и,(0, 1) = иа(1, 1), 0 < 1 < +со, (2) и(я, О) =1(л), О < х <1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
