Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 53
Текст из файла (страница 53)
(20) Так мы получаем дифференциальные уравнения для определения функций но(1). Полагая в (12) г = 0 и сравнивая с (17), мы в силу (9) получим Е оо ~(и„(0) — а„)Х„(х) = О, 0 < х < й (21) е=1 ') По поводу определения собственных значений Л, и нормы собственных функций Х„см. ответ к задаче 30, где Х„(х) собственные функции краевой задачи Хо(х)+Л'Х(х) =О, 0<х< 1, (13) Х'(0) — 1сХ(0) = О, Х'(1) + ЬХ(1) = 0 ). (14) Функции же ин(1) подлежат определению. Функция и(х, 1) уже удовлетворяет граничным условиям (8). Если потребовать, чтобы и(х, 1) удовлетворяла также уравнению (7) и начальному условию (9), то отсюда определятся функции ен(1). Для этого разложим в ряд по собственным функциям Х„(х) правую часть уравнения (7) и ср'(х): 1*(х, 1) = ~ ~Он(2)Х„(х), 0 < х <1, 0 < 1 <+со, (15) 298 Ответы, указания и решения ин(1) — ~е ' л" 0 '~Он(т)йт+ а„е ' л"'.
(23) о Этим решение задачи заканчивается. 38. Решением краевой задачи (1), (2), (3) (см. условие) является и(х,1)=и(х,1)+ф(х.,1), 0<х<1, 0<1<+сю, (4) где ул(х, 1) имеет то же значение, что и в ответе к предыдущей задаче, а и(х, 4) = ~йт~~*(х, т)С(х, х,1 — т)сЬ+ ~~р*(х)С(х, х,1)сЬ, (5) в в ты С вЂ” [в л„-гИ0 — ] Х (х)Х (х) ]]Х.]]в ]]Хн]]~ и Лн имеют те же значения, что и в ответе к задаче 30, Г(х 1) = У(х, 1) — НФ(х, 1) — Мх, 1), д*(х) = ~р(х) — ф(х, О). (6) (7) (8) А ]( еж*еп сов]й(х — 1) В- шв] -'; е "Мхо сов(й(х — 1) — шв] 2 ] сЬ 2И вЂ” сов 2И а) и(х, 1)— е ~ Юсов]й(х-т1) -~-шг] -~-е ~'~ ~сов(й(х т 1) — ш1] сЬ2И вЂ” сов 2И А (, еш' 'О*е' ' — е ~отп'еаа 4й ~ е"нв'Л -Ь е-лн"О' еыв-Π— .' е-Ян- М+ (1+2) емв — л ь е — Мл — л б) и(х, 1) = А Мле ) -~- ! — Мв-~- ) е 1 2 ((й(1-Ьг) — 6]слове' -Ь(й(1-Ь1) -Ьй]е "Пве' е ' ' — е М1- М- в -Мв-*1 -~ в ]й(1 — г) — й]е"0 О' -'г ]й(1 — 1) -~- Ь]е в) и(х, 1) вв 1 Гш ГДЕ й = —,,1 —.
ау 2 Указание. Решение краевой задачи в случае граничных условий а) при произвольном начальном условии, т. е. решение задачи ив=а и„, 0<х<1, 0<1<+ос, (1) Для выполнения равенства (21) достаточно выполнения равенств хв(0) = а„, п = 1, 2, 3,... (22) Решая дифференциальные уравнения (20) при начальных условиях (22), получим 299 уж 111. Уравнения нарабооичееноео типа и(0,1) = О, а(1,1) = Асовю1, 0 <1<+со, а(х, О) = д(х), О < х < 1, (2) (3) можно искать в виде и(х,1) =о(х,1)+и~(х,1), 0<х<1, 0<1<+ос, (4) где и(х, 1) -- частное решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (2), а ю(х, 1) есть решение краевой задачи юе=а~юяя, 0<х<1, 0<1<+со, (Р) ю(0, 1) = ю(1.
1) = О, 0 < 1 < +со, (2') и)(х, .0) = ~р(х) — и(х, 0), 0 < х < 1. (3') Функция и(х, 1) может быть найдена как действительная часть частного решения краевой задачи 11е = а (у,е, (б) Г(0, 1) = О, 11(1, 1) = Ае'"', (6) которое без затруднений может быть найдено в виде Г(х, 1) = Х(х)е' '. (7) Таким образом, и(х, «) = — (Х(х)е'"''~ + Х(х)е ' '), (8) где черта над Х(х) является символом комплексного сопряжения. Согласно (8) и(т, 1) не содержит членов, стремящихся к нулю или к бесконечности при 1 — у +оо, и так как 11ш ю(х, 1) = О, то и(х, 1) Е-о-Еоо представляет асимптотические значения температуры при 1 э оо. В случае граничных условий б) или в) задача решается аналогично.
оо 40. и(х., 1) = — е — + ~ ~е "' " ' сових нера ~ 2 о=-1 В точке, диаметрально противоположной источнику ), о=1 в) Задачи диффузии. тоо Ехр)— =о з) По поводу обозначений см. задачи 3 и 32. Ряд, стоящий в правой части последнего равенства, удовлетворяет условиям теоремы Лейбница о знакопеременных рядах; поэтому погрешность, допускаемая при замене его суммы частичной суммой, не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов. ЗОО Ответы, указания и решении У к а з а н и е. г с1(1) = и / и(х, 1) е(х, Эквивалентность этих двух выражений легко проверяется с помощью интегрирования обеих частей основного уравнения ~йг, ~иЯ, т)е)т = аа~дт~гг . (г„т) г1г, о о о о с использованием граничных условий.
Выражение для и(х, 1) может быть получено как частный случай решения задачи 27. г г г Н ' Х 42 1„1(1) = Ноа 1 — ~ о е а'л'„е Н (созЛ х-~- — сйвл„х) йх Л о где Л„--- корни трансцендентного уравнения срйЛ„1 = — ", Л„ аН коэффициент, входящий в граничное условие аа = Н(и — (1о) при х = О. Указание. См. указание к предыдущей задаче.
Выражение для и(х, 1) может быть получено из решения задачи ЗО. 1л1Р (2н+ 1)гага л/Д а а1 ~-~ е~Р( ( 41г +д) 1 1иН яг ~ 41г,З сй н=о (2н+1)г (1-Р а (2и + 1) гягаз / ее'(1) = (1оа Указание. См. указание к задаче 41. 44. а) 1„р — — —, б) 1„р — — —, 2лОг' в) при любой длине цилиндра процесс нарастания концентрации имеет лавинный характер; здесь 1г коэффициент размножения, входящий в уравнение — =й —,+ди, д>О. ди дги дг дхг о где и(х, 1) концентрация диффундирующего вещества в цилиндре в момент времени й Заметим, .что 1,)(1) можно определить также с помощью потока диффундирующего вещества через открытый конец: ()(,) .г, )1 да(0 т), дх о г) Задачи эленпгродггналгггни. 0<1<+со, где Ео --- постоянная электродвижущая сила, приложенная к концу х = 1, а Л и С сопротивление и емкость единицы длины провода.
46. о(х, 1) = хч хн 1 Соо вгпо (1 — — ) — С1сово (1 — -) п=1 а Ео . —. постоянная электродвижущая сила, приложенная к концу х = = 0 провода. 47. о(х, 1) = 1 Еоп(1 — *) 2Е НЯ ч вгп гг„(1 — х) Ло .~. И ~.~ 1 ЙС / ап(В(Во + Л1) -г Ыозоо(совоп1 + 2ЕоН ~ ~ехр~ ~— — "1~~ п=1 где Н и С сопротивление и емкость единицы длины провода, а о — положительные корни уравнения Л1яо1+ оВо — — О. 0<1<+ос аз — г 4над' является (2й + 1)о а~ а Ягл 2й+ 1 1=-0 О« 1, 0<1<+ .
(4) В точке х = — имеем 2 4Н е ( 1)1 (2й -'г 1) нза Гл. 1П. Уравненггн параболичееноео типа , гп 4(Ео — оо) ~ ~( — 1)' н 2п — 1 п=1 (2п. — 1)оггг 1 (2п — 1)ггх где оп корни уравнения С1 агр;о = —, Со ' 48. Решением краевой задачи Нг = а'На„О < х < 1, Н(0, 1) = Н(1, 1) = Но, О < 1 < +ос, Н(,О)=О, О<х<1, (2) (3) 302 Ответы, указания и уеигевия Остаток ряда (5) можно оценить по признаку Лейбница: (1 ) 4Но Е ( — 1)' 1 (2И+1)гягаг ) я=;-г 12е + 3)г аг В силу (6) имеем (-' 1 < — ехр( — 1~ < е 1г при 1 > 1* = —,, 1пЗж (7) 8кеаг с(х)р(х) — = — [Л(х) — ~], 0 < х < 1, 0 < 1 < +со, (1) и(0, 1) = и(1, 1) = О, О < 1 < -уос, (2) и(х, О) = уг(х), О < х < 1, Р) где (рг 0<х<хо, р( ) ~1г, х <х<1, (4) О < т < хо, ) хо<х<1,~ (с, 0<х<хо, с(х) = ~- ')-~=8 х,<х<, 1л, Л(х) = '= 1Л., с,.
с, р, р,. Л, Л константы, характеризуюшие свойства стержней, и(х,1) =~ а„е "'Х„(х), 0 <х<1, 0<1<+ос, (5) а=-1 где аг вш — х 0 < х < хо: сйв — хв а вгв вш = 11 — х) а Ха (х)— (6) хо <х<1, вгп =11— а (7) аг„ -. корни уравнения вг Л аг — се8 — хо = — с18 = (хо — 1), а а а а (8) 2. Неоднородные среды и сосредоточенные факторы. Уравнения с переменными коэффициентами и условия сопряжения. 49.
Температура в стержне является решением краевой задачи зоз Гп. 1П. Уравнения нарабопи1ееноео типа с(х)р(х)сг(х)Хп(х) 4х о оХ ог сзпЛ х яшЛ хо' вшЛ (1 — х) 0<.я<хо, 1 ХО<Х<Х1,/ Хп(х) = и = 1, 2, 3, ..., (2) . наЛ (1 — ) Лп собственные значения краевой задачи являются корнями уравнения Со с16 Лпхо — с16 Л, (1 — хо) = — ' Л„„ (3) ср ер~ср(х)Хп(х) дх -я Сонг(хо)Хп (хо) о срхо ер(1 — хо) Со ' 2я!п Лпхо 2яш Л„(1 — хо) г + .. 1 . + где и(х, 0) = 1р(х) начальные значения температуры. Указание. См. решение задачи 167 2 3 гл. 11. 51. и(х, 1) = ~ ап ехр( —, 1) яш п=1 0 < х < 1, 0 < 1 < +ос, (1) (4) а„= — 11 (А — я)1р(я)ягп — ася, и = 1, 2, 3, ..., (2) 2 пгсн 1/ о где через Ь обозначена длина полного конуса, усечением которого получается рассматриваемый стержень длины 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
