Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 57
Текст из файла (страница 57)
111. и(х! 1) = 11о 2 1 — Ф з1яп(х+ 2и1) 112. и(х, 1) = =! г (2 1) — *р( —, ) — !ь!2 !!4! — Ф( ' ))). и= — оо 328 Ответы, уиазаиия и решения 0<4<+со точке х = 0 Г иг(х, 4) г — оо < х < О 1 114. и(х, 4) = ~ ) 0 < 4 < Ч-оо, иг(х, 4), 0 < х < -)-со, в Г гх зе)г г в е )гег)( (-' Р') -.(-",ге))ггв г аг г" срГ,т) ~ х Йг уеи У гУ4 — т ~ 4агН вЂ” т) 3 в а сг в(в=~.',)гееи ( —,', )ггв о — Ггеа.*,)-,', *)гг~, '„ аг а 3. Неоднородные среды и сосредоточенные факторы; уравнения с кусочно постоянными коэффициентами и условия сопряжения. 113.
Гго+(ГГо сгг)Ф иг- г, — оо < х < О, 'г 2аг уй/ и(х, е) = еего + (гео — Нг)Ф ', О < т < +ос, 'г,2аг йв/ ' йг йг ГЕг — 4- Ог— аг аг ив аг аг У к аз а н и е. Задачу можно решить с помощью следующего искусственного приема. Нужно продолжить левый стержень неограниченно вправо так, чтобы получился неограниченный однородный стержень из того же материала, что и левый полуограниченный стержень.
Затем нужно найти температуру полученного неограниченного стержня при условии, что его начальная температура равна ГГг при — оо < х < 0 и ГГг* при 0 < х < +ею, где ГГг* —.— пока неопределенная константа. Аналоги гно нужно поступить с правым полуограниченным стержнем. Константы ГГ* и Гг"* находятся из граничных условий (условий сопряжения) в 329 )'л. 1П. Уравненггя нарабоаичееиоео тина Указание. Функции иг(х, 1) и иг(х, 1) должны быть соответственно решениями уравнений теплопроводности им — — агиг, г и им = агигаа и удовлетворять условиям сопряжения г иг(0, 8) = иг(0, 1), йгиге(0, 1) = йгига(0, 1).
Полагая у(1) = йгиы(0, 1) = )егига(0, Ц) и решая задачу теплопроводности с заданным граничным условием второго рода для полуограниченного стержня — оо < т < 0 и для полуограннченного стержня 0 < х < -1-со, мы выразим иг(х, г) и иг1х, 1) через начальные условия и через пока еще неизвестную функцию уг1г). Используя первое условие сопряжения иг(0, 1) = иг(0, г), мы получим интегральное уравнение Абеля для определения функции Зг(8): Решением этого уравнения является г) о Если Ф'(г) существует и непрерывна г) при 0 < я < +со, то, выполняя в правой части последнего равенства сначала интегрирование по частям, а затем дифференцирование, получим о Эта формула может быть применена, в частности, если Ф(я) = соцец В этом случае Ф'(я) = 0 и во(т) = Ф(+0) я;гт 115. Решением краевой задачи дСг г д'Сг = а,, — оо < х < О, 0 < 1 < +ос, (1) дг 1 дхг дСг яд Сг =аг,, 0<х<+оо, 0<1<+со, дггдг Сг — — Сг, Лг =Лг при х=О, 0<1<+оо, (2) дСг дСг дх да 1пп Сг — — О, — со < х < О, Р) г — ево 11ш Сг = О, 0 < х < +со, х ~ С; в точке х = ( при 1 — г 0 Сг имеет е- о ') См., напримор, 12, т.
11, З 79]. г) При надлежащих ограничениях на )г н уг это будет выполнено. Ответы, указания и решения особенность ехр 2аг угу 1 40~( l ' является 2— а(*6)=Л "Л схр аг аг при — со<х<0, 14) + с)г Сгсх, С, () = 2«2 чг 7 аг аг при 0 < х <+ос. 14') Решение. Перейдем к безразмерным величинам 1см. решение задачи 18 настоящей главы), причем так, чтобы уравнение теплопроводности для правого и левого стержней имело вид ие — — а ие(. Мы 2 имеемх=д(, — ос<4<0, х=Г4, 0<4 <+со, 1= т, ('=ам 10 =аз ~).
Граничные условия (2) принимают вид иг10, т) = иг(0, т), 15) Лг диггсб,т) Лг диг(б,т) аг дб аг д4 Будем искать решение при — оо < с < 0 как «преломленную» на гра- 1 ( К вЂ” бо)2 1 нице раздела ~ = 0 функцию схрг — г, т.е. как функ— Г цию, имеющую вид с )г 17) 1 ( Ы вЂ” го)2 1 а решение при 0 < с < +ос --- как сумму ехр) — г и сла- 2;/ят С 4т гаемого, представляющего собой результат «отражения» на границе 1 ( К вЂ” 40)2 1 раздела с = 0 функции ехр~ — г, т.с. в виде 2 унт 1 4т ( 2 4 )г Подставляя 17) и (8) в 100) и 16), найдем аг и ог, что и приведет к отвагу 1если вернуться к прежним единицам измерения). 116. Решением краевой задачи ис = а иг„О < х, 1 < +оо, соис10, () = Лди, 10, (), 0 < ( < +со, и(х, О) = 1(х), О < х < +сю, ') Речь идет о численном равенстве, а не о совпадении размерностей.
Гв. 1П. Уравнеплля папанова леоново типа является г и(х, 1) = / г'(С) ехр( — ) ллс, где ) У(х) при — оо<х<О, (~(х) при О < х <+ос, г У (+0)+У(+0)+16~ 111~ ( Ье) + О Лг ( — С))Е о о ЛЯ агСо Л коэффициент теплопроводности стержня, Я площадь поперечного сечения, а —.- коэффициент температуропроводности стержня. У к а з а н и е. Воспользоваться утверждением, сформулированным в задаче 82. 117. Решением краевой задачи = агг,, О < х < с(л), дЛ дхг ' дги дл - д.гг иг(с(1), 2) = из(с(1), 1), иг(0, Ц) = 0г, 0<1<+со, (1) из(+ос, 2) = 11з, (2) является А„+ Вгф Аг + Вг4г (2 ) иг(х л) = (4) (4') ия(х, л) = где 1г'г (2 ) (5) В '( —;.,) Аг = слг корень трансцендентного уравнения г Йг1Лг ехр( — —.
~ ЙгГггехр) — —, '( 1 4..г) г сэр — . (О) гггх 2 (2аг) а ~ (2 ) где температура замерзания принята за нуль, х = С(л) -. координаты фронта промерзания ( '"' - '"') = = Т дх дт / о=слег лй скрытая теплота плавления, р плотность массы жидкости, глг(х, 0) = 7Уз, 0 < х < +со, (3) Глава 1Ъ' УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИс1ЕСКОГО ТИПА З 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа, и постановка краевых задач 1. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в однородной среде.
1. Уравнение для температуры стационарного теплового поля в однородной изотропной среде имеет вид Ьи = — ~(х, у, з), (1) Р где ) = —, г" плотность источников тепла, т. е. количество тепла, й' выделяющегося в единице объема в единицу времени, Й коэффициент теплопроводности.
Краевое условие первого рода и~ означает,что на поверхности Х задана температура 1„ условие второго рода ди ди — зз~ или — й — зз сз з ззй)~ дп и дп в .. - на Н задан тепловой поток величины ~з; краевое условие третьего рода ди ди — — — — зз — + йи = Уз, или — й — = й~и — Уз), й = йй, уз — =, дп в дп й -- на Е происходит теплообмен по закону Ньютона со средой темпе.--.*7з. Необходимым условием существования стационарной температуры длЯ втоРой кРаевой задачи ЯвлЯетсЯ выполнение Равенства ~узйт = = О, т. с. суммарный поток тепла через поверхность Е должон быть равен нулю. Неравномерное распределение температуры вызывает тепловой поток, величина которого по закону Фурье равна Я = — й игаса и.
ди Проекция его на направление и, очевидно, равна с„„= — й —. дп' Гл. ! г. Уравнения эллиптического типа Решение. При выводе уравнения (1) следует написать условие теплового баланса для произвольного объема и затем воспользоваться формулой Остроградского.
Уравнение теплового баланса для объема Т с границей Е, очевидно, имеет вид (2) слева суммарный поток через Е, справа количество тепла, выделяющегося в объеме Т. Формула Остроградского дает / г(гк(а чае) и) Йт = — ~Е Йт, т т откуда в силу произвольности объема Т и постоянства Й получаем уравнение (1). 2.
а) Уравнение диффузии в покоящейся среде есть ели = О, (1) где а(я, у, г) концентрация. б) Если среда движется со скоростью и = (ел, ив, е,), причем йя и = О, то уравнение диффузии принимает вид ди ди ди 11гли — е, — — ея — — ев — = О, (2) * дя " ду дг где В коэффициент диффузии, е,, ев, ив проекции скорости и на координатные оси.
Если с = и, ья — — ел = О, то уравнение (2) принимает вид д гли — — —, =О, 11 дя или ива+ива+ и.л — — и, = О (уравнение газовой атаки). У к а з а н и е. диффузионный поток вещества при неравномерном распределении концентрации равен (4) Я = — Ррас1и. Кроме диффузионного потока надо учесть поток переноса (трансля- ционный поток), равный ии, так что суммарный поток равен —.0кгас1и+ ии. Лля вывода уравнений (1) и (2) следует воспользоваться законом сохранения вещества для произвольного объема и затем применить формулу Остроградского (см, решение задачи 1), 334 Отвесим, унвввния и решения Закон сохранения вещества для неподвижной поверхности Х запишется так: или / 1йч(Р 3гас1 и) — йч(ии)) с)т = О, т' откуда ввиду произвольности объема Т, а также условия йч и = О и следует уравнение (2).
3. Уравнение для потенциала и электрического поля в пустоте имеет вид сйи = — 4яр, где р объемная плотность зарядов. Физический смысл краевых условий первого и второго рода: и ~ ~п ди задан потенпиал на поверхности Е, — = у — задана плот' дп и ность поверхностных зарядов. Р е ш е н и е. Уравнения, которым удовлетворяет поле стационар- ных распределенных зарядов, получаются из уравнений Максвелла, если все производные по времени положить равными нулю. Лля элек- тростатического поля в непроводящсй среде получаем гоСЕ = О, <1) йчР = 4яр, Р = еЕ, 12) где е — диэлектрическая постоянная среды, р = р(М) .. объемная плотность зарядов в точке М.
Из уравнения гос Е = О следует, что Е потенциальный вектор, и ее ставимый в ви е 1 д д Е = — 3гас1и, где и = и(М) потенциал поля. Уравнение (2) дает йч(е йгас1 и) = — 4яр. Если е = согсзс, то для и получаем уравнение сзи =— е в пустоте е = 1, и мы будем иметь Ьи = — 4яр. Если имеются проводящие поверхности, то на них тангенциальная составляющая электрического поля должна быть равна нулю: д дв где — означает дифференцирование по тангенциальному направледв нию на поверхности.
Отсюда следует, что на поверхности проводника потенциал постоянен: и = согсэС;. внутри проводника и = сопзс и Е = О. Гл. !'гг. уравнения эллиптического типа Если проводник заземлен, то потенциал и = О. Плотность поверхностных зарядов вычисляется по формуле 1 е ди а = — — Р„= — — —, (3) 4п " 4п дп' д где — означает дифференцирование по нормали к поверхности. Зада давая распределение поверхностных зарядов на проводнике, мы полу- гаем условие ди 4яа — =Л, дпв ' е Однако такая постановка задачи является неестественной для элек- тростатики; обычно известен полный заряд е на поверхности.
Поэтому ищется решение уравнения Ьи = — 4яр при краевом условии и~ = ис, где ис опрсделяется из условия нормировки решения по заряду ди — р — аггг = 4яе, где е = )' рг1т (см, задачу 7). дгг 4. Вектор напряженности магнитного поля равен Н = — ягаг) вэ, потенциал го удовлетворяет уравнению Лапласа Лр= о. Р е шеи и е. Если магнитное поле не меняется во времени и токи отсутствуют, то оно должно определяться уравнениями госН =О, (1) (2) г11гН = О.
Из уравнения (1) следует Н = — ягаг1уэ; подставляя это выражение в формулу (2) и учитывая однородность и изотропность среды (1г = сопз1), получаем уравнение Лапласа. 5. Поскольку вектор электрического поля Е потенциален, то Ьи = О, а на заземленной идеально проводящей поверхности и! =О, на границе с диэлектриком — = О. дп, и Р еш ел и е.
Будем исходить из уравнений Максвелла в проводящей среде в стационарном случае 4п . госН = — у', е гоС Е = О., г11г Е = 4яр, с11грН = О. 336 Отвесам, указания и решения Применяя операцию йу к первому уравнению, для плотности тока у получаем уравнение (2) йуу =О. Из уравнений го1 Е = О следует потенциальность вектора Е, Е = — ягас)и., где и = и(М) -- скалярный потенциал. Так как в силу дифференциального закона Ома ,у = ееЕ (и проводимость) (3) у = — пягае1и, то для однородной изотропной среды (и = сопзс) условие (2) дает ези = О. Из уравнений (1) и (3) следует, что р = О внутри проводника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
