Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Указание. Остановимся лишь на решении одного примера, например 14,б), в котором дано Функция а = Вх или и = Рр соя во является гармонической. Дифференцирование по нормали совпадает с дифференцированием по р. Требуя, чтобы она удовлетворяла. краевому условию при р = а, находим Р = Аа, так что и(х, у) = Аах или и(р, р) = Аарсоя~р. В примере д) следует разбить 7" на два слагаемых: 1 = уг(уэ) + + 7г(Ф) э'г = оя1п~р, .лг = Дя1пЗвэ, и искать решение в виде и = Лг(Р)эг(зэ) + Лг(Р)эг(1о) 15. а) и(р, вэ) = А. б) и(р, у) = — сояуэ; Р Ва 1 а в) и(р, р) = А -~- я1пср; г) и(р, уэ) = — А —, яш2уэ; Р 2 рг д) и(р, ~р) = А+  — яшко; Р А-'еВ А — В а е) и(Р, ~Р) = — .
— соя 2уэ. 2 2 рг Указание. Перейти всюлу к полярным координатам. Коли гра- ничное условие при р = а имеет вид и~, = АвсояЬР, то искать решение в виде и(р, ~р) = Л(р) соя йр., где Л(р) - функция, удовлетворяющая уравнению р'Ло+ РЛ' — й'Л = О и следующим граничным условиям; Л(а) = Ая, (Л(оо)( ( со. 16. Задачи а) и г) не имеют решения, так как не выполняется условие ~ — сЬ = О:, с, Аа б) и(р, вэ) = — соя р + сопя$; Р 344 Отпееты, указании и решении Аае в) и/р, ог) = — — соя 2р+ сопяо; 2рг аг ае д) и(р, р) = — (А+ 0,75В) — яшуо 4-0,25 — яшЗР+ С.
Р Зре 17. и = и(р) = и1 + (иг — и1) 1и (Ь/а) Емкость единицы длины цилиндрического конденсатора равна 1 С= 1п (Ь/а) Указание. Так как граничные условия не зависят от уо, то и решение должно обладать цилиндрической симметрией, и = и(р). Емкость С проводника, ограниченного поверхностью Е, определяется выражением 1 Гди С = — / — еЬг для трех измерений 4кио ./ дн 1 Гди С = — )Ь вЂ” е1я для двух измерений, 2иио / да е где ио потенциал проводника, Е контур, — — = Ен — о нормальная составляюшая вектора электрического поля. и(р, ~р) = — уо 18.
или и(т, 9) = — агс18 —. ио у Указание. Записывая уравнение Лапласа в полярных координатах; 1 д / ди1 1 д'и Лги = — — 1 р — ) + — — = О, др~ др) видим, что функция, линейная относительно оо, является гармоничес- кой функцией. 19 и(т, у) = + агсо (1) 2 к и Сравнение (1) с решением задачи 18 показывает, что (1) соответствует частному случаю о = к формулы (1) в задаче 18. 20. а) и = ио; б) и = и(г) = — ио. г ие — иг е'1 11 21. и = и(г) = иг+ 1/а — 1/Ь |.г Ь) 345 Гл. !1т. Уравнения эллиптлинееиоео типа ~.г аи1 Указание. Решение уравнения гли = — — ~ т — ) = О имеет тг Йт1 Й) вид и = и(т) = о + —, где о и В определяются из условий и(а) = им Ф т и(Ь) = иг.
е 1/и — 1/Ь Указание. Учесть, что в присутствии диэлектрика плотность поверхностных зарядов равна 1 1 ди о= — й,= — — е —. 4п 4п дп 23. Емкость сферического конденсатора равна С= е| Решение. Требуется решить краевую задачу 11и1=0 при п<г <с, ганг=О при с<т<Ь, где ит и иг удовлетворяют при г = а и т = Ь граничным условиям и1~ = 1, иг), ь = О и при т = с —. условиям сопряжения и1=иг, диэ ди ег — = ег =. дт дт ' Общее решение имеет вид Аэ иг = — +Аг при а <т <с, и1т) = иг = — ' -1- Вг при с < т < Ь.
Четыре коэффициента Аы Аг, Вм Вг определяются из двух гранич- ных условий при т = а, и т = Ь и двух условий сопряжения при т = с. В результате получаем „= 1+ А, (' — Ч, и, = " А, (' —,'), где Аг = 1 1 а е Емкость вычисляется по формуле 24. Требуется найти решение краевой задачи 1 4 т ди,'1 Ьгиг = — — ~р — ) =О при а<р<с, д) 346 Ответы, указания и решения 1 21 / С1и21 2азиз= — — 1р — ) =О при с<р<Ь, р др ~ др ( при р= Ь, и1=1 при р=а, из=0 ди1 ди и1 — и2 Е1 — Е2 при р=с. Лля емкости получаем выражение С= Е1 с е1 Ь 1и — + — 1в— а е с При е1 = ез = е имеем С= 1п (Ь/а) Указание.
Решение ищется в виде и, = А1пр+ Е, из = В1пр+ В. 25. Потенциал поля при а<т<с, при т>с. с и = ио 1 е1 — е а ег Частные случаи; а 1) при с — т со получаем и = ио — при т > а — потенциал поля сферы радиуса а, заряженной до потенциала ио и находящейся в бесконечной однородной среде; 2) при ез — 1 оо (среда 2 Ещеально проводящая) 1/т — 1/с 1/а — 1/с если а<т<с, О, если т >с; 3) если е1 = ез, то а и = ио — (т > а) (ср. со случаем 1)). Указание. См. задачу 22. Учесть, что на бесконечности функция и должна обращаться в нуль.
26. Электростатическое поле Е = — ягае1и, где и — потенциал, равный и=и(р) =ио 1п (Ь/а) 1 и = ио 1 а равен Е1 — Е2 1 + Е2 С Е1 — Е2 1 Е2 С Е1 1 е2 т Гл. ! и. Уравнения эллиптинееиоео типа 2Т. Решение зависит только от переменной г и дается формулой и = и(э) = из + (ия — из) —. Ь 28. Для емкости единицы площади плоского конденсатора получаем выражения: а) С= —; б) С= 4я [Ь| -1- — (Ь вЂ” Ь1)] 29.
Искомая гармоническая функция зависит только от перемен нои р. и = из + (из — из)-. Ь Указание. Решение искать в виде гармонического полинома. 2. Краевые задачи для уравнения Пуассона. 30. и= — (р — а ). 4 Указание. Искомая функция и = и(р) обладает круговой симметрией и определяется из уравнения при условии и(а) = О. 31. Решение существует, если выбрать В= —, 2 ' и определено с точностью до произвольной постоянной: и = и(р) = — + сопз1. Ар' А А и иэ е (Ь а ) Ь 32.
а) и(р) = из+ — (рз — 6~) + 1п —; 4 Ь р 1 б) и(р) = и1 + — (р — а ) + 6 (С вЂ” — ) 1п —; А з з у АЬЬ р 4 2) а' Ар' у аА в) и(р) = — — а ( — — В) 1пр+ сопз1. 4 (, 2 Задача в) имеет решения лишь при С А(Ь -а )-ь2аВ 2Ь причем решение задачи в) определено с точностью до аддитивной постоянной. 33. а) Если 21и = 1, и(а) = О, то и=и(г) =-(г — а ); 6 348 Ответы, указания и решения б) если 21и = Аг+ В, а(а) = О, то и(г) = — (г — а ) + — (г — а ). .4 з з В г г 12 6 Указание. Искомая функция обладает сферической симметрией, и = и(г) и удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению с правой частью — —,(ги) = 1(г'). г >4гг г г /1 11 34. а) и = и(г) = -(гг — а ) — — ай(а+ Б) ( — — -); 6 6 а г А г г В б) и = и(г1 = — (гг — аг) + — (г — а) — аЬ >1 — (Ь+ а) + — ~ ( — — -), 6 2 16 2~ (а г)' при А = 1, В = О получаем первое выражение.
У к аз ание. Решение обладает сферической симметрией и = и(г). 3 3. Функция источника Функция влияния точечного источника или просто функция источника С(М, Р) первой краевой задачи для уравнения Аги = — 4яр определяется в трехмерном случае ) следующими условиями: С(М, Р) = — + и(М, Р), (1) 4я гмг где гзгр —— (т — с)г + (У вЂ” >1)г + (г — Ч)г ---. РасстоЯние междУ точкой наблюдения М(т, у, г) и источником в точке Р(г„>1, г,), а и(М, Р) функция, регулярная и гармоническая всюду в рассматриваемой области Т с границей Е.
На границе Е функция С удовлетворяет С(, =О. (2) Таким образом построение функции источника С в некоторой области Т сводится к решения> первой краевой задачи для уравнения Лапласа 21и=О в при специальном граничном условии (3) Электростатическая интерпретация функции источника С(М, Р) очевидна; это потенциал в точке М электростатического поля, созда- 1 ваемого внутри объема Т зарядом величины е = —, сосредоточенным 4>г ' в точке Р, если граничная поверхность Е области Т является идеально проводящей и поддерживается при нулевом потенциале, т.
е. заземле- 1 1 на; здесь — — — — потенциал заряда в неограниченном пространстве, 4>г г а и потенциал поля, индуцированного зарядами на Е. ') См. (7> гл. 1Ч> 2 4). 349 Гл. !Ъ~. Уравнения эллиптического типа при условии на границе и! (5) может быть найдено в интегральной форме и(М) = — ~((Р) е1етр + (' С(М, Р)Р(Р)е1тр, (6) дС где — -- производная функции С на границе Е, взятая по направледп нию внешней нормали к Х. Большинство задач настоящего параграфа взято из электростатики. Обычно помимо потенциала поля интересуются поверхностной плотностью зарядов, индуцированных на проводниках, а также емкостью проводников. Введем необходимые понятия.
Поверхностная плотность зарядов на проводнике с поверхностью Я, помещенном в среду с диэлектрической постоянной г, равна где и внешняя нормаль к поверхности Я. Полный заряд, распределенный на Я, дается интегралом Емкость проводника Я определяется по формуле С= —,, где Г -.потенциал проводника Я. Лля двумерной области Р с границей Л функция источника С(М, Р) определяется аналогично С(М, Р) = — 1п + (М., Р), (7) 2я гл,р П См. (7, гл. 1Ъ', ~ 4).
Для ряда простых областей (полупространство, слой, сфера и др.) индуцированное поле может быть найдено с помощью так называемого метода отражений, сущность которого заключается в том, что вне рассматриваемой области по определенному закону помещаются заряды. Эти заряды называются изображениями, или «образами», исходного заряда относительно данной границы. В случае плоской границы «образы» являются зеркальными изображениями оригинала в плоскости или плоскостях, если область ограничена несколькими плоскостями. В случае сферических границ для построения изображения применяется преобразование обратных радиусов (инверсия) ~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
