Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 54
Текст из файла (страница 54)
52. и(х, 1) = ~ а„ехр( — ( + — )а 1 ~яш п=1 0<х<1, 0<1<+ос, где ап = — ~ ср(я)е '"' яш с(з. о ПХп!~г = ~ (од( )Х„'( )а — ',Р*'„+ 'Р,, *" . (1О) 2яшг —" хо 2ягп~ =п(1 — хо) о а а Указание. См, решение задачи 164 я 3 гл. 11. и-оо 50. и(х, 1) = ~ апе "' 1"1Хп(х), О < х < 1, 0 < 1 <+ос, (1) п=1 Л а = —, где Л коэффициент теплопроводности, с теплоемкость ср' и р плотность массы материала стержня; 304 Ответы, указания и решения 53. Дпя скорости частиц жидкости и(х, 1) и скорости движения пластины и(1) получаем выражения ( Л,',И и —.,Лг Л +2 а аг 1 — х в1п ˄— йп Л„ О<х<1, 11) Г Лгиз 4 р1г ~~ ехР1 г ) и=г Лг„~ Лг, -Ь 2 — Ь 4, ) а пг (2) где 1 половина расстояния между граничными пластинами, р— плотность жидкости, и кинематический коэффициент вязкости, поверхностная плотность пластины, д — ускорение силы тяжести, Л вЂ” положительные корни уравнения Л18Л = 'Р' Р) (Л вЂ” собственные значения краевой задачи, умноженные на 1).
У к аз а н и с. Для и (х, 1) имеем краевую задачу ив=пи„, — 1<х<0, 0<х<1, 0<1<+ос, (4) и( — 1, 1) = и(1, 1) = О, и(0, 1) = и(1), О < 1 < +со, и(х, О) = О, О < х < 1. (5) (6) Дпя скорости движения пластины имеем (7) и(0) = О. (8) Так как распределение скоростей частиц жидкости симметрично относительно движущейся пластины, то достаточно определить гг(х, 1) на интервале 0 < х < 1. Функции 1 — х Х„(х) = сйп Лев обобщенно ортогонапьны на отрезке 0 < х < 1.
(См. решение зада- чи 167 ~ 3 гл. П.) 2 3. Метод интегральных представлений и функции источников 1. Однородные изотропные среды. Применение интегрального преобразования Фурье к задачам на прямой и полу- прямой. Определение интегрального преобразования Фурье и общая схема применения к решению краевых задач даны в гл. 11 (с. 255, 256). 305 Га. 1П. Уравнепггя параооаипееноео типа 54. Решение. Умножим обе части уравнения ди(«, «) г дгиК, «) 1 ~,л« д«дбг Гйк — л + из — ъЛие 'л« вЂ” а Л вЂ” / ие 'л«еК = — а Лги(Л, «), л(2я «= — ос ъ'2я т. е.
— +а Л и=О. 4« Из равенства и(Л, «) = — / и(с, «)е '~~ («с при « = О получаем и(Л, 0) = — / и(С, 0)е '~о («С = — / «(С)е '~ее«С =,('(Л). (2) Решение уравнения (1) при начальном условии (2) имеет вид «(Л)е — гл-"г Применение обратного преобразования Фурье дает е и(я, «) = «гг(Л, «)е'ла(«Л = Г~(Р)(«Р / е-аал"е(л(а-«>(«Л = ъ'2п / л«2~г l е =-. 1~(о <Г;"'"'- (*-б) о з' к)г / 1(С) ехр( —,, ~ е«Сг (3) так как г ( л л(й ( д е соз(1Ле(Л = — ехр« — — 'г. 2~ 1 4~~1 (4) о Последний интеграл легко вычисляется дифференцированием по параметру. 20 Б.М, Булак и яр.
и проинтегрируем по б от — со до +со, предполагая, например, что функция и и ее производные достаточно быстро стремятся к нулю при б -з тоо. Применяя интегрирование по частям, мы получим Хи(Л, «) г 1 г д и гл«а- з 1 ди — гл« е««л(2я .I дбг л(2я д««= — оо 302 Га. 1П. Уравнен(лн нарабовичееноео типа ."(Л ):.Г'Тд" созЛ„, о Г2д с=тео г Г2 т ди . г Г2 = а (/ — — соз Лс + а ((/ — Л / — яп Лб ((б = — а (/ — (р(2) + ')/ дб е=о ')/.
/ дб к о г 22, с=еоо г + а~ л)/ — иЛ яп Лб — а Л (/ — / и(с, й) соз Лс (гс = с=о о = — аг — (р(е) — а Л~й(')(Л, ц), т. е. ( ' ) + агЛги(е)(Л 1) = — а' — р(1) л( ) где .-"(, )= ~-'/.((.о- (в( о (2) Из (2) находим о(*'а, о) = )/-' 1 ы, о) ив(. о (3) Решение уравнения (1) при начальном условии (3) имеет вид Г2 е и(Ц(Л 1) аг е — 'л'(( — )(р(т) е1т.
о Применяя обратное косинус-преобразование Фурье (в силу равенст- ва (4) из решения задачи 54), получим и(т, г) = (/ — / и('~(Л, г) сов Лл(1Л = Г2 г о г = — — /(р(т) йт / е о ) ') созЛт(4Л = о о л1й.)' л/à — т ( 4аг(4 — т) 1 о 60. и(т, 8) = 2а лрн / ./ л1'( — т о о ') При этом предполагается, что и и производныс и по б стремятся достаточно быстро к нулю при 1 — э -)-оо. 59.
Применяя косинус-преобразование Фурье л) и используя граничное условие и (О, 1) = д(1), получим 308 Ответы, указания и решения 2а ~/я,/ / ,Я вЂ” т о о 62. Указание. Установить сначала, что для косинус-образов атее~(Л) = е ол', д~'~(Л) =,, оригиналами являются Ло -Ь йо Дх) = — охр( — — ), д(х) = — ~е уе2о 4о ' 6 2 63. Указание. Установить сначала, что для косинус-образов )~'~(Л) = е '~, д~'~(Л) =, оригиналами являются Лз -ь ае у)х) = ехр( — — ), д(х) = Ле' — е 64. и(х, 4) = о о е « ( -ь6' о о Указание. Воспользоваться результатами задач 62 и 63. ( — )' ( +О' 65. и)х, 4) = ~~ф ~ехр( — ., ) +ехр(— о 2 о Указание.
Воспользоваться результатами задач 62 и 63. 2. Однородные изотроцные среды. Построение функций влияния сосредоточенных источников. а) Неоераниненная прямая. 66. и(х, е) = — С(х, С, 4), — со < х, С < +ос, с) сра 0<2<+со, х~ с, где есть так называемая функция источника для уравнения ие — — а и...
2 в случае неограниченной прямой или «функция влияния мгновенного точечного источника тепла для неограниченного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью». 309 Рл. 1П. Уравнения парабоаинесиоео типа Указание. Можно предположить, что количество тепла Щ, мгновенно выделившееся в точке с в момент 1 = О, мгновенно же равномерно распределяется по малому интервалу (с — д, с + 5); тогда начальная температура стержня будет равна О, — оо<х<с — д, и(х, 0) = 75(х) = . 8 — 5 < х < 4+ о, 2бсрп ' О, 8+д<х<+со.
Решая задачу иг = и и„, — оо < х < +со, 0 < 1 < +со, (1) (2) и(х, 0) = Ях), — со < х < +ос, с помощью формулы (3) из решения задачи 54 и переходя в полученном решении к пределу при д — > О, получим ответ. Лля разыскания температуры в стержне можно воспользоваться также дельта-функцией г), решая либо задачу ие — — а'и„, — оо < х+ оо, 0 < 1< +ос, (3) и(х, 0) = — д(х — Д), -со < х, С < +ос, Я сро с помощью упомянутой формулы (3) из задачи 54г либо задачу ис = а иаа + — б(х — С)д(2), — оо < х, С < +ос, 0 < 1 < +со, (5) 2 Ю срп (6) и(х., 0) = О, — оо < х + оо, с помощью формулы (1), приведенной в ответе к задаче 55.
Лпя решения краевых задач (3), (4) и (о), (6) можно не прибегать к формулам (3) и (Ц, а воспользоваться интегральным представлением для дельта-функции (см. [7, с. 268 — 275]). Функции источника для уравнения иг — — а и. „.. на прямой — оо < 2 < х < +г может быть также получена на основании соображений подобия (см. (7, с. 268 — 275]) или с помощью предельного перехода в выражении функции источника для отрезка 0 < х < 1 при 1 — г +оо (см. (7, с. 268-275]).
Примечание. Если мгновенное выделение тепла в точке х = С произошло не в момент времени 1 = О, а в момент времени 1 = т, то и(х, 1) = — С(х, С, 1 — т), — оо < х, С < +ос, х ф. С, т < 1 < +ос, сра сг(х, с, 1 — т) = ехр) —, ). 1 5)г 2а и(1 — г) 1 4аг(1 — т) ') См, ответы и указания к задачам 56 и 63 3 2 гл. П и к задаче 153 3 3 гл.
11. зрд Отвесим, указания и решения 67. и(х, 2) = — С(х, С, 2), — оо < х, С < +со, Я сра х ~ ~, О < 2 < +ос, (1) где (2) есть функция источника для уравнения ис = а и, — Ии в случае нег ограниченной прямой. Примечание. Если мгновенное выделение количества тепла ссс произошло не в момент времени 2 = О, а в момент времени 2 = т, то иСх, 2) = — С(х, С, у — т), — оо < х, С < +со, х ~ С,. т < 2 < +со, ~;> сСнт (3) (4) 68. Решение.
Заменим в решении и(х, с) уравнения ис=а и,и+~(х,2) х и с на ( и т; заменим, далее, в функции источника С(х, с, с) = 1 с ~х — 6)г 3 ехрс —,, с с на 2 — т, О < т < а Функции иЯ, т) 2а исяг 4агС и С(х, с, 2 — т) удовлетворяют уравнениям и, = а исс + 7((, т), С, = — а Ссс, поэтому д г ~ дои, дгС) дт Интегрируя последнее равенство по С от — со до +со и по т от О до 2 — о, О < о < 2, получим (если предположить, что и и ее производные по С ограничены при ( — с хоо или стремятся к сю, но не слишком быстро): е с — а (Са) =' "дс = 1(Ссс)т=вдс+ 16т1Ю66 Р) Переходя к пределу в равенстве при о -о О, получим ~) и(х,2) = / ИОС(х,6 ~М1+~дт/ Ы,т)С<х,6 ~ — т)М (3) о 69. Ответ дается формулой (3) решения предыдущей задачи, где под С(х, с., 2) нужно понимать функцию источника, найденную в решении задачи 67.
') Переход к пределу в левой части равенства (2) при о -о 0 выполняется аналогично тому, как это сделано в С7, с. 230-.233]. Гл. 1П. Уравнен(гя парабола (есново таина Указание. Задачу 69 можно роша.ть либо непосредственно, ли бо сведением к задаче 68 путем замены искомой функции и(х, 1) = = е Я'о(х 1) 2аг ' срз(2яс ~х О 1 Г ( 71.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
