Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Оценим погрешность, допускаемую при замене суммы ряда (4) его частичной суммой 2 ' при О < х < 1, О < 1 < 1". Рассмотрим и=- — Х сначала ряд из членов с положительными п. Если раскрыть скобки2 то он станет законопеременным рядом, удовлетворяющим условиям теоремы Лейбница. Поэтому для остатка ряда получаем оценку ~Л~н(х, С, 1)~ = ( (.-( 2.2*) ( (.+(+(.вз)), 21 Б.М. Будак и др. вызванная в неограниченном стержне — оо < х < +ос действием всех этих источников, будет равна все время нулю как в точке х = О, так и в точке х = 1.
Действительно, каждому источнику мощностью +Я согласно рис. 35 соответствует симметричный относительно х = О 322 Ответы, указания и решении при О < т < ), О < ~ < 1. (5) Аналогично для остатка ряда из членов с отрицательными и получаем оценку ~ ) г ~Л,(т, С, 1)~ < ехр~ — ~. (5') Таким образом, для остатка ряда (4) имеет место оценка ~Лч(т, с, 1) ~ < ехр~ —, ~, 0 < т, ( < 1, 0 < 1 < +ос.
ре 1) г1г (6) 1 е (Ае — 1)г1г з ) Для этого в функции уг11) = ехре —, г перейдем к а,/ 1 1 аге (гУ вЂ” 1)1 новому независимому переменному г = . Мы получим а уЛ з Ф = —. = Ф'г) (АŠ— 1)1уея е (гу — 1)1у'я г ф( )= —,. 1 — 2т 1 'Ф'(г) =, < О прн г > —, в' уГ2 где Так как 1 то г)г(г) монотонно убывает на отрезке — < т < 4-оо; следовательно, р11) ~/2 2ЕАе 1)г1г монотонно возрастает при О < 1 <, . Значит, при всех гг', удав- а,г (1У-1)г летворяюших неравенству 2, Р > 1" (т.е, неравенству (7)), будет аг выполняться неравенство (8).
Нетрудно установить, что при (7) будет выполняться неравенствог) 18) Следовательно, при Ае, удовлетворяющих неравенству (7), будет удовлетворяться неравенство ~К;(х, ~, 1)~ < ехр( ) при О <1<1*, О < т, г, <1. (6) Решая методом разделения переменных краевую задачу иг — — агие„О < т <1, О <1<+со, (9) 1'л.
1П. Уравненггк параболического типа и10, 1) = и11, 1) = О, О < 1 < +со, и1х,О)=о1х), 0<х<1, получим для функции источника выражение г г 2 Г пк а 1 . пях . пко С(х, С, 1) = — ~ехр( —, 2) гйп — гйп —. 112) — ) н=1 Хотя ряды 112) и 14) формально преобразуются друг в друга г), однако их роль в представлении функции источника различна; если ряд 14) сходится тем быстрее, чем меньше 1, то ряд 112), .наоборот, сходится тем быстрее, чем больше й Нетрудно получить оценку погрешности, допускаемой при замене суммы ряда 112) его частичной суммой. Мы имеем 110) 111) Его г г ~Лиях, С, 1)~ = — ~ ехр( — ", 1)з)пи *зшп < п=.гч-~-г -~-х пг гаг -~-оо г г < — ~ ~ехр( — 1) < — ~ ~ехр( — х —,, 1) еЬ = гг г )" е„~ ~ (в ~)~ 0 < и, ( <1„0 < 1<+со.
(13) Выгоднее, однако, выполнять оценку не остатка ряда, представляющего функцию влияния, а оценку остатка ряда, представляющего решение краевой задачи, полученное с помощькг этой функции, так как интегрирование, вообще говоря, улучшает сходимость радах). 104. Методом отражений получаем -~-го — 2 1 и= — ж Схема соответствующего расположения мгновенных источников тепла мощностью Ц = ср изображена на рис.
36. — 21 — б —.21 — 2Иб — 1 — б 0 б 1 21 — б 2) 21+8 Рис. Зб ') См. ~7, с. 474 — 476). г) См. оценки, выполненные при решении задач 22, 27, 28, 29, 48 настоящей главы. 324 Ответы, указания и решения (6) Соответствующее распределение мгновенных точечных источников мощностью Я = ср и — 1,1 изображено на рис. 37. — 21 — 6 †. 21 — 21-ье — 1 — е 0 6 1 21 — 6 21 21 е6 Рнс. 37 Метод разделения переменных дает 2 +я~ 1 (2пг-1)гхгаг 1 (2пч-1)хб (2п-~-1)ях ~~х~ 6 1) = 1 2 ехр) 41г ~~ сов 1 соз (2) Оценка погрешности, допускаемой при замене суммы ряда (1) его частичной суммой, выполняется либо с помощью неравенств, аналогич- В силу соотношений (7) и 18) решения предыдущей задачи для членов ряда (1) имеем 0(х,~(1, 0(1(1*, и) — е — +1.
Р) Таким образом, для остатка ряда (1) имеет место оценка тса г1г ~Лж(х, С, 1)~ < ~ ~ехр( —, ) < а=Юг-1 »р1 — —,)г*= — ~1 — Ф ( — )), (г) 0<х,С<1, 0<1<1', 7У) — е — +1. Методом разделения переменных для этой же функции источника получается выражение г г 1 2 х Г пап 1 гаях пхб Сг(х, 8, 1) = — + — гэ ехр1 — 11 соз — соз —. (6) — 12 '1 1 ) а=1 Для остатка ряда (6) получается оценка ~йж1х, 6, 1)~ ( 1 — Ф, (7) 0<х,с<1, 0<1<тес. (8) 105.
Методом отражений получаем — -Ь 2 1)г ) а.~~~.е*)),г) 325 Гв. 1П. Уравненпя парабовинееноео ганна ных неравенствам (4) и (5) из решения предыдущей задачи (грубая оценка), либо аналогично тому, как это было сделано в решении задачи 103 (более точная оценка). Лля остатка ряда (2) получаем оценку ~Л (х,с.1)~< 1 — Ф ( Ц Т 106. а) Если М удовлетворяет неравенствам Х> — — +1, (1) ог > — 1* 1п(2еа зггяс*) + 1, (2) то для остатка ряда (2) решения задачи 103 будет выполняться неравенство )Лм(х,е,с)(<в при 0<х,С<1, 0<1<1'. (3) б) Если йг удовлетворяет неравенству Ф ™ 2 > 1 еяаъ~7-, (4) то для остатка ряда (12) решения задачи 103 будет выполняться не- равенство ~йм(х, ~,1)~ <е при 0 <х, ~ <1, 1* <1<+оо. (5) Замечание. Неравенства (1), (2), (4) позволяют при задан- ном ог найти такое 1*, чтобы выполнялись соотношения (3) и (5).
107. а) Если йг удовлетворяет неравенствам г а зги/ (2) то для остатка ряда (1) задачи 104 выполняется неравенство (Ям(х, ~, 1)( < е при 0 < х, ~ < 1, 0 < 1 < 1*. б) Если ог удовлетворяет неравенству Ф > 1 — сяаь'Р, то для остатка ряда (6) задачи 104 выполняется неравенство ~Ягя(х, б, 1)~ < с при 0 < х, с < 1, 1' < 1 < +со. 108. Представления для функций источника получаются из представлений, найденных в решении задач 103, 104, 105, умножением на е ьг, где й коэффициент теплообмена, входящий в уравнение ие — — а иа, — Ьи,. г 326 Ответы, указания и решения 109. Решение.
Заменим в решении и(х, 1) уравнения ие — — ег~ггея + Д(х,. Х), О < х < 1, О < 1 < +ос, (1) х и 2 на 6 и т; заменим, далее, в функции источника С(х, 6, 1) 1 на 1 — т,О<т<й Интегрируя равенство дг дгС вЂ” (Си) =С вЂ” +и — =оз С вЂ” и +С/ ) дт дт дт ~ дбг дбг ) по 6 от нуля до !и по т от нуля до 1 — о, 0 < о < с,получим 1('.=-а" =/(С".= " ' о о г+ /((а — ) — ( — ) )г + /г /огго.
$2) о о о Переходя в равенстве (2) к пределу при о — г 0 з), получим интегральную формулу + ~г/т~С/Я т) о/6. (3) а о Эта интегральная формула имеет общее значение для функций источника, удовлетворяющих различным условиям. Если теперь воспользоваться начальными и граничными условиями для и и(0, т) = уг(т), и(1, т) = О, О < т < +ос, (4) и(6, 0) = /(~), О < 6 < 1, (6) и граничными условиями для С(х, с, 1 — т) С(х,.0,1 — т)=0, С(х.,1,1 — т)=0, 0<х<1, О< т<1, (6) то из интегральной формулы (6) получится следующее представление решения краевой задачи с помощью функции источника ( 2) /,/(~)С( 6 г) <+ з/ ( ) дС(х,0,1 — т) ггт+ о а + ~Йт ~/Ц, т)С(х, 6, 1 — т) ггс. о а ) Это равенство получается так же, как равенство (1) решения задачи 68. з) Предельный переход в левой части равенства (2) может быть выполнен с помощью рассуждений, аналогичных приведенным в (7, с.
230 — 233]. г и. 1П. Уравнения иарабоии гееноео тина Используя два различных представления для функции источника С(х! С, 1 — т) (см. решение задачи 103), получим два различных пред- ставления для решения нашей краевой задачи; а) и(х, 1) оо х 1 2а з/ие „) <е!( Е (, ( !'-!+!.а*), ( о~!+и!>*)))г!, о 1. и= — оо о и= — оо ( Еоо о и=1 З-оо ( г 2па Г и а а иих + —,~~ и 1 !р(т)ехр( —, (1 — т)1 дт зш — + 1г '~/ 1г п=ог О ( Еоо +'-1" 1г!е, )(Е (-" !1-.!)'."''. ") !. а а п=! Представление а), вообще говоря, выгоднее при малых 1, представление б) при больших й ! 110. и(х, 1) = ~~(С)С(х! С, 1)е1С вЂ” а ~уг(т)С(х., О, 1 — т)е1т + о а + ~е1т( 1Я, т)С(х, с, 1 — т)е1с, (1) о о где С(х, с, 1 — т) функция источника, полученная в решении задачи 104. Если в равенство (1) подставить два различных представления для функции источника, то получается два, различных представления для решения нашей краевой задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
