Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 62
Текст из файла (страница 62)
53. Плотность поверхностных зарядов равна и= — е 4кате Решение первой внешней краевой задачи для сферы имеет вид Гл. ! гг. уравнения эллиптического типа или г г и(рг, дг, рг) = — угУгр / г ., 1(д, р)зшдг1д, 4гг Э Э (аг — 2аРг соо У -Ь Рг)эУг о где соз у = создг созд, + зшдзшдг сов(гр — грг). Указание. Ср. с задачами 50 и 51. 1 а 11 / 1 а 1 г 54. а) и = е(1п — — 1п — — ); б) и = е(!п — — 1п — — ); го ро гг,) ' рг го в) решение первой краевой задачи внутри круга имеет вид г вне круга г г 1 у р,— а где Здесь приняты следующие обозначения: а --- радиус круга с центром в начале координат (точка 0), го = ММо, г'г = ММг, ро = ОМог Рг — — ОМг, Мо(Р0, гРо) положение заРЯДа, Мг(Рг, гог) положение его изображения.
Указание. Для нахождения решения задач а) и б), очевидно надо поступить так же, как и в задаче 50, учитывая,. однако, что в плоском случае потенциал вблизи заряда имеет логарифмическую особенность. 1 Полагая е = —, получим функцию источника С. Вычисление нор2н' мальных производных — приводит к выражениям дп дСг 1 а рог — — — (заряд внутри круга), дп р=„ 2па гг дСг 1 рг — а (заряд вне круга). дп о=о 2гга г,' 55. а) Для полусферы, лежащей на плоскости я = 0 (в области г > 0) функция источника имеет вид С вЂ” Соо(М, МО) — С50(М, Мо), (1) где (см. задачу 50), Мог(ро, гг — до, гро) точка, симметричная токе Мо(ро; до, гро) относительно плоскости я = 0 (рис. 42).
б) Для одной четвертой части сферы (рис. 43), ограниченной плоскостями я = О, и = 0 и поверхностью сферы, имеем СОО(Мг МО) СОО(М' Мо) + С50(М) МГ) Сбо(М~ Мо )г (2) Зб4 Отвесам, унаэания и решения М, М," о '14о Рис. 42 Рис. 43 где Мо(ро, до, Ово), Мо(ро,. г — до; 1во), МонГгро, Я вЂ” до, Я+ Ро), Мои'(Ро, до, я + вво) --. место нахождения источника и его изображений. Указание. а) Требуя выполнения граничного условия и = О на сфере, мы получаем Сьо(М, Мо); чтобы удовлетворить условию и = О 1 при з = О, необходимо поместить в точку М заряд — — и соото .
4н ветственно в точку М' --- заряд + —, что дает нам — Сьо(М, М'). 1 4н' о . б) Чтобы удовлетворить условиям и = О при и = О и е = О (на сторонах двугранного угла величиной -), необходимо поместить на 2 сфере радиуса ро источники в точках Мо, Мо, Мн', Отражение в сфере дает заряды в Мы Мг, Мз", М'", группируя которые мы и получим формулу (2). 56. а) Функция источника первой внутренней краевой задачи для полукруга О < гр ( я равна СгР гр' Ро, 'Ро) = Соя г,р р' Ро: гро) — СььгР гр' Ро, 2ь' — уьо), (1) где 1 Реп Сьь = — 1п 2н аго (см. задачу 54).
б) Для четвертой части круга О < гр < — имеем 2 С(Р, гР; Ро, 'Ро) = Сь4(Р, гР; Ро; гРо) — Сь4ГР, гР' Ро: 2Я вЂ” гРо) СььгР: гр~ Ро. я — 'Ро) — Сь41Р ~' Ро я+ гро) (2) в) Функция источника сектора р < а, О < гв < о = — имеет вид в — 1 Сгр, р; Ро: гро) = ЯгСьь(Р, гр; Ро, 2йгт+ Ово)— в=о — Сь4(Р, гр; Ро, 2ко — гро)).
(3) Отсюда, в частности, сразу получаются формулы (1) (при и = 1) и (2) (при и = 2). Решение. в) Чтобы удовлетворить условию С = О прн ьв = О и ьв = о. помешаем 2п — 1 зарядов на окружности р = ро в точ- Гл. !1г. Уравнения эллиптического типа ках аэь = 2йо + аэа положительные заряды и в точках аэ' = 2йо — аэа отрицательные заряды, после чего производим отражение всей системы 2п зарядов в сфере р = а, т. е. помещаем заряды противоположных а знаков в точках р = рг = —, аэ = Ьэ'„(заряды отрицательные) и р = ра' = ры аэ = аэь 1заряды положительные).
Группируя попарно заряды в Ма 1ра. аэь) и М 1ры аэя) и суммируя их действие, получаем фор('а) (ь1 мулу 13). 57. Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом е, помещенным внутри сферического слоя а ( р ( Ь, равен им, мл = . з ('— ' — ф) а=а ( — ) — при и = 2й, ь ра () Ы" Ь 12) — ) — при п = 2й+ 1, а ра ( — ) прип=2й, ь Атз ( — ) при и = 2й+ 1, е' п е„= с , ° я а —,/ ра прип=2й Ь-,/ с т Я-~-2 р ~ ра при п = 2й+ 1, с а 2 а — — при и = 2й, ь) „, с Ь 2 Ь' — — при п = 2й -~- 1. аэ Ра Рл = Ра = 13) Ряд 11) сходится равномерно и абсолютно. Решение. Все заряды е„и еп будут, очевидно, находиться на лУче аэ = аэа, д = 2Уа, их положение на лУче опРеделЯетсЯ РасстоЯ- пнями от центра ри и р'„.
При определении е, е'„, р„и р'„учтем, что: 1) положение заряда определяется в результате последовательного отражения в сферах р = а и р = Ь с помощью преобразований обратных радиусов, при которых р„р'„= аз или р„р'„= Ьз; 2) при каждом отражении величина заряда меняется в — — или в — — раз. ра ра Пусть еа = 1 заряд в точке Ма. При первом отражении в сфе- 2 а Ь а Рах Р = п и Р = Ь полУчаем заРЯды ее — — — и ез = — в точкахРа — —— 2 Ра Ра Ра ь2 и рз = —. Строя затем их изображения, находим ез — — —, е~а — — — и Ра а, а Ьэ Ь2 а и ег = —, е' = — в точках р2 = —, = —, ра и рз = —, = —., Ра р', Ьа где М(Р, д, аэ) точка наблкэдениЯ, Ма(Ра, да, аэа) точка, в которой находится исходный заряд, га = ММа, г„' = ММ„', М„1ра, да, Ьэо) и М' 1Роэ 2Уа, Ьэа) --.
точки, в которых помещены положительные заряды е„и отрицательные заряды еа, причем 366 Ответы, указания и решения — и Г получаем ряд (1). Рассмотрим общий член ряда е е„ до =— при достаточно больших и. Через точки ОМ1 Ма проводим плоскость; пусть и = 2к. Из 210ММ21. находим Г2Ь где г г 2 г Р Ро — 1'о 2рро Аналогично находим 121 ,„,ге Так как ргг„. = ) -) Ро о О при й -+ со, то Ь 12ь Р~ 1пп 121 Р. Ь вЂ” его Ь-ого /а1" а С другой стороны, еге = ~ — ) -+ О, с~в — — его — -о О при й -о со.
Поэтому ~дге~ < Сь = -' 1+ — ~ (-") (6) ро/ ь Пусть и = 2й+ 1. Так как ргьег > Ь, р' + > Ь и при й -о оо неограниченно возрастают, то 1 гь-~-2 ро (а 21-~-2 — < гг1+1 2Ргв+1 2Ро гь) 2аг 1Ь) 1 1 — < гг 2Рге . с другой стороны, ь ЬЕ1 ь ЬЕ1 а еггз1 = ( — ), егьог — — ( — ) так что ггвег ггг„~г Ь ~, ро/ 1Ь Продолжая рассуждения, видим, что четные заряды находятся внутри сферы р = а, а нечетные — — вне сферы р = Ь. Нетрудно поэтому написать рекуррентные формулы Ь а Его Е1 = — Его 1, Его = — Е21 2, а Ь (4) Ь аг р2' 1= 2Р2ь-1 ргь Ьг р2ь-2 (5) а2 и аналогичные формулы для е'ы р',1, е'е„ог, р'ьог.
Отсюда и находим выражения (2), 13) для еа, е!„и рн и р'„. Суммируя потенциалы ! е„ ! г, Гл. !'т'. Ураоиепия эллиптического типа Из мажорантных оценок (6) и (7) следует равномерная абсолютная сходимость ряда 2 дп. Его дифференцируемость доказывается анап=о логично. Предельные случаи: а) при а — 2 О все члены ряда (1) обращаются в нуль, кроме двух, Р ео е, то т, в результате чего мы получаем решение внутренней краевой задачи для сферы /1 Ь и = иьо = е 1 — — — —, ) ( то Ро т( э) (см. задачу 50); б) при Ь -ь оо получаем решение внешней задачи для сферы (см.
задачу 52). 58. Функция источника внутри кольца дается формулой ~Ы С(М, Мо) = — ~ ~1п " " = — ~~~ ~ 1п — '" — 1п — ',"), где М = М(Р уэ)~ Мо = М(Ро, 020); то ™Ми, т'„= ММ„', М„= М(Рп, о о), М,', = М(Р'„, авэо), величины еа, еа, р„и Р'„определяются по формулам (2), (3) за- дачи 57. Ряд (1) сходится равномерно и абсолютно, так же как и ряды, получаемые из него почленным дифференцированием.
Предельные случаи: ь а) а = О, и = иьла = е !и — — 1п — —,1 (см. задачу 54, а)); то Ро т( 1 а 1 б) 6 = со, и = иьеь — — е 1п — — 1п — —,) (см. задачу 54,б)). то ро т,',,) 59. Если заРЯд помещен в точке Мг(ры до, оэо), то потенциал в присутствии заряженной сферы еь еа1 и(М~ МО) — + + иь2 т рэт /1 а 1 где иьз = е ( — — — — ) потенциал точечного заряда в при(,с~ рь то) сутствии заземленной сферы (см.
задачу 52), М = М(т, д, оэ) точка наблюдениЯ, Мо(Ро, до, 100) точка, в котоРой находитсЯ изображение заряда, Ро = —, то = ММо, ть = ММы т —— ОМ. Р~ Збб Ответы, указания и решении Плотность поверхностных зарядов 1 1Г ее 1 е р1 — а и = е1+ — ) — —, = по+а 4 а ~к Н) е (1 р,— а г г'1 где а„„а = — ( — —, ) — плотность индуцированных зарядов.
4яа 1Р1 гг ) Указание. Решение следует искать в виде и = П+ивг, (1) ар где б1 = — потенциал поля,. создаваемого сферой, заряженной до г потенциала Ъ'. Для определения Ъ' используется равенство 4яе1 = — Ц вЂ” ИЯ = 4яа1г — Ц ' дб. С помощью формулы Грина АР1; до; ~ро) = Ц вЂ”" бб 5 (2) и соотношения пвг = 47Геггвг получаем 4яеи1Р1, до., 1ро) = Ц 'г дб, где о — решение внешней краевой задачи для сферы Я при условии 71~ =1, равное о1Р1, до, 1ро) = —. Рг Формула 12) дает ае е1 = а11 — —.
Отсюда находим ег 2 Ъ" = — + —. а р1 3. Функция источника в неоднородных средах. Коли характеристики среды 1е, 1г, Й и т.д.) терпят разрыв на некоторой поверхности, то на этой поверхности должны выполняться условия сопряжения. В электростатическом случае имеем: и1 = иг, е1 ( — ) — ег ( — ) = 4яц, где 11 поверхностная плотность свободных зарядов, цифры 1 и 2 со- ответствуют предельным значениям с внешней и с внутренней сторон д поверхности Я, — обозначают дифференцирование по направлению да Гл. !р. уравнения эллиптинеакого типа нормали.
Если Л = еЕ вектор электрип~ ческой индукции и Е = — ягае1и, то второе ег условие означает, что ег 1!а, — 11т = 4яп. М пг Если свободных зарядов нет (г! = О), то "(Й), ="(Й), ВывЕдем формулу для поверхностной плотности зарядов на границе раздела двух сред с диэлектрической постоянными сг и ег (рис. 44). Из уравнений Максвелла следует 1'ассматривая бесконечно малый элемент е!Я, мы будем иметь Е~~! = 2ха. + Е~~1, Е~~г! = — Е1г! = 2ха — Е1о1 где Е„, и Е„, -- предельные значения в точке М границы Я проекций 10 1г1 векторов Е и Е на направления внутренних нормалей пг и ггг, Ф 00 а Е„, значение Ет в точке М, т.
е. на самой поверхности. 1о1 10 Из второго условия сопряжения ег(2хо 4- Е~~1) + сг(2яег — Е~~~) = 4яг! получаем при г>0(е=ег), (1) при г<0(е4 нг), 2е 1 иг = ег + ег га где го = ММо = (т, — се)г + (и — г!)г + (г — ~)г, г' = ММ' = (т — ()г + (у — г!)г 4- (г + е,)г.
Из формулы (1) видно, что поле в области с диэлектрической постоянной ег такое, как будто все пространство заполнено диэлектриком сы а в отраженной точке Ма(4, г1, — ~) находится добавочный 24 Б.М. Будки и др. 2П ег — ег Е1о! ег + ег 2н(еэ + ег) Если истинного заряда на поверхности нет, то — Е1о1 2н(егч е ) нг' Подставляя сюда значение Еи, на поверхности Я, можно опреде1о1 лить о. 60.
Если заряд находится в точке Ме(с, г1, Д) полупространства г>0(1, >0),то Ответы, указания и решения заряд ел — ег е = е. в, -(-ег Поле в области ег совпадает с полем заряда 2в( е еу еу +вг находящегося в точке Мо, если среда однородна и е = еь Плотность поверхностных зарядов, индуцированных на грани- це з = О, равна (г = ео 2п.из Указание. Решение следует искать в виде е 1 еа иг = — — + — —,, 12) Е( Га Вл У'а е( 1 иг Е( уа где е' и ел постоянные, подлежащие определению. Условия сопряжения дул( диз гул=из, ез =ег п1(и г=О дг дг дают 2ел , ел — ег ел —— е, ее= е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
