Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Применить косинус-преобразование Фурье. 262 Ответы, указания и решения 179. и(х, 1) = 0 при 0 < 1 < †, Х 1с (1 — — ) пРи 1 ) —. У к а з а н и е. Применить синус-преобразование Фурье. Решение. Умножим обе части уравнения им = а игг ) на 2 сз 2 — яспЛ~ и проинтегрируем по с от 0 до +ос, применяя интегрирование по частям 2) и используя граничное условие и(0, с) = р(1); это дает: с12нс~'~(Л, Ю) 2 /2 Г д'и . 2 /2 ди =,Гу „, = аз с — с, яспЛС асС = а с — — яспЛ( 'у х д4 с=о о 2 72 à — а~сус — Л(соя Л~)и — а Л ~/ — / ияшЛ(й~ = сг я=о о = — а Л ис'с(Л, й) -~- а Л вЂ” 7с(с).
ди(6 с) При этом мы пользуемся тем обстоятельством, что сс(~, с) и д( стремятся к нулю при с — с +со. Так мы приходим к уравнению а"Нсс'с(Л, 1) 212 ссс~Л с) 2 „ /2 (1) Так как искомоо решение сс(х, г) = сус — 71 ис'с (Л, с) яшЛх НЛ Г2 г о должно удовлетворять нулевым начальным условиям и(х,О)=ис(х,О)=0, 0<т<+со, то, решая уравнение (1), для ибб (Л, й) следует взять нулевые началь- ные условия с7ссс'с(Л, 0) ис'с(Л, 0) = ' = О. (2) ссс Решение уравнения (!) при начальных условиях (2) записывается в Виде с и~"~(Л, 1) = а ~/ — ~7ссс)ясссаЛсс — г) с1т, о следовательно, с и(х, с) = а — у с1Л ~16,,т) яспЛхя1ссаЛ(с — т) с1т.
2 о о ') В исх, с) заменим вс на (. 2) Ср. с решением методом распространяюсцихся волн, задача 73. Рл. П. Урааненин гиперболического гнила Меняя порядок интегрирования, вычислим сначала интеграл 2 г 1 — у япЛхяппЛ(1 — т)2Л = — ( совЛ[х — о(1 — т)]и†о е > о 1 à — — сов Л [х + а(1 — т)] е)Л = б(х — а[2 — т]) — б (х + а [1 — т]) . о Поэтому и(х, 1) = п ~р(т)6(х — а[1 — т])Йт = ~р [2 — — ') д(х — в)гЬ = а о 0 при р [1 — Ч при 1< —, и х 1>-.
о 180. и(т., 1) = — о / н(в) дв. о У к а з а н и е. Применить косинус-преобразование Фурье; см. точное решение предыдущей задачи (ср, с решением задачи 74). 181. а) и(х, 1) = — ~г]т / 1"(в, т) еЬ; а ~ — о — и Р -го — 1 б) и(х, 1) = — ~е1т / Дв, т)г]ив о о — ь-.о-.а ) л,ае ~ а Указание. В случае а) применить синус-преобразование Фурье и в случае б) косинус-преобразование Фурье. Воспользоваться в случае а) также равенством 2 яп иЛ(à — т) зш Лх соз Л[х — а(1 — т)] — сов [х + а(1 — т)] Л Л е Π— 1 сов Л[а(1 — т) япЛвеЬ— — х] — сов[а(1 — т) + х] Л 1~ — Н- / япЛвеЬ .Π—.1 — ' и аналогичными соотношениями воспользоваться в случае б).
Так как О < т < 1, то б(х + а[2 — т]) = О при х > 0; следовательно, 2 — яп Лх сов аЛ(1 — т)йЛ = б(х — а[1 — т]) о при О<т<1, 0<х<+оо. 264 Ответы, указания и решения 182 .(*, г) = — /.(.) ). (.,'(г - В:*') е.. (1) о Указание. Можно искать решение краевой задачи в виде (*, г) = / е( ) г. ( '(г — )' — *') е, (2) о где (р/т) есть функция, подлежащая определению из граничного условия. 1((с (/ — т) о — хо) 183. и(х, 1) = /г/1 — х) — сх / /г/т) г/т (' — )' — *' о У к а з а н и е.
Воспользоваться решением предыдущей задачи. 184. Решение и(х, 1) краевой задачи удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению (/и(х, /) г 1((с / — т)о — хо) — Ьи/х, г) = /е(1 — х) — сх / /е(т) Йт. ( — )' — *' о 185. / У(Л)д(Л) е '~"а)Л = 1 ~(Л)е '~едЛ / дЯе'~е(/в = з/2гг,/ / д/в) г/в / ~(Л)еы(* ')г/Л = / д(в)(х — в) а/в. 186. / 7/'В(Л)дйд(Л) совЛхг/Л = о / о = ~/ — / 7/'/(Л) сов Лхе/Л / д(в) совЛве/в = о о = $ /' г( )е ((/-' /" /'"'О)(- г(п. †.) + - Ч. гт ))а = о о =-',/ ()~~(~*- ~) ~(- )) ' о 187. Указание.
См, решение задачи 186. 188. и/х, /) = — / (р(х — 2Лз/а/)(в/пЛ + сов Л ) (1Л— з/2~г ./ — — ! г/)(х — 2Л;ГаЯвш Лз — сов Лз) г)Л. (1) о/2в,/ //ри во(х) = Ае ~ //ов /, ф(х) = 0 получим Ай / ождЗ /х~в(~д 1 265 Рл. П. Урввввнин яиперболвчевквго типа где Лсояд = 1~, Ля1пО = аа У к аз а н и е. Применить преобразование Фурье с ядром е'"л на прямой — оо < х < +со. Воспользоваться соотношениями / соя(о4) е '~*45 = — / яш(ос) е и* вы = ~/2~г / соя(а® вв(5)е '~* с(5 = 2ъ/1 / с х соя — + яш — ), (1) 2~/а 4о 4а) ' — [соя — — яш (П) 2зУа [ 4о 4о) ' — я) соя — + яш — ) Йя, (П1) в' .
в 4а1 4а1) / я1п(а® ф(~)е '~л И5 = / в в 1 в . в Ях — я) [ соя — + я1п — ) в1я. (1Ч) 2чЯ 4а1 4а4) Соотношения (Ш) и (1у) получаются с помощью соотношений (1) и (П) и теоремы о свертке, доказываемой в решении задачи 185. Соотношения же (1) и (П) могут быть получены из известных интегралов (см. [1)) / соях Их = ~ и / я1пх <Ес = )(' — ". (3) А именно, подстановка х = у — 1 дает сояхк = соя(у +1~) соя 21у+ сйп(у~ -~-1Я) я1п21у, яйпх~ = я1п(у'+1з) соя21у — соя(у~+ 1~) я1п21у.
Подставляя соя и яш от у~ + 1' через соя и яш от у' и 1~, получим два уравнения (из (3)) для разыскания интегралов е е сову соя21удр и / я1пузсоя21ув(у. (4) Так как сояузя1п21рдд = О и / я1пу я1п21рв1р = О, (5) то мнимая часть искомых интегралов (1) и (П) равна нулю. Лля получения формулы (2) при начальных условиях ~р(х) = Ае ' ~1~Я 1, 1в(х) = О не стоит пользоваться общей формулой (1); лучше воспользоваться формулой обращения 266 Ответы, унвввния и решения и(х, 1) = — / и(Л, 1)е 'л' ИЛ, л/2я подставив в нее значение лг~ — лге и(Л, 1) = у(Л) сов аЛ~1 = уг(Л) где г ~р(Л) = / ехр( — —, +гЛ~~еКС = Айл/2е Следует заметить, что последнее равенство имеет место как при действительном, так и при комплексном Й.
189. илх, 1) = — / 1е)1 —,) ~зш — + сов — ~ ИЛ. ,гг о Указание. См, решение предыдущей задачи. Следует заметить также, что интеграл / С зш (аС)г сйп (Сх) о1С получается дифференцио рованисм по х интеграла / з1п (аС) соз (Сх) е~~. о 190. Указание. Воспользоваться тем, что: 1) если Ф(х) и Ф(х) функции нечетные, то функция Ф(х — аг) Ф Ф(х Ф а1) 1 )', 2 2а У равна нулю при х = О, 2) если и(х, 1) есть решение уравнения ии = ага... то и Ю Г(х, 1) = ~~~ Ая дх' ь=о также является решением этого уравнения. 191. Указание. Воспользоваться тем, что: 1) если Р1х, 1) есть функция нечетная по х, то функция е и — г ср(х, 1) = — /е1т / Г1С,т) е)С о равна нулю при х = О; 2) если и(х, 1) сеть решение уравнения ии = аги„+ 1(х, 1), то М д и(х, 1) ь — о 268 Ответы, указания и решения пользуя граничные условия (2) получим ««(.О(: )*:е) Йт = дг (1), '(' — )' — " (6) «у( 'о'-')'р р) е1т = рг(г).
,~( — )' — ~' (6) Положим 2. Метод Римана. Пусть требуется найти решение уравнения Ци) = и ., — и„„+ а1(х, у)и + 5г(х, .у)ив+ с((х, у)и = 1(х, у), (1) удовлетворяющее начальным условиям и = (р(х), — = )р(х) (2) ди на кривой с, где — производная по нормали к этой кривой. Предди полагается, что кривая с задана уравнением у = 1(х), где 1(х) дифференцируемая функция, причем ~~'(х)~ < 1. Тогда значение и в точке М (рис. 30) находится с помощью формулы и(М) = о + — ~[и(иСс61+иое16) — и(иСе1ц+по(16) + + ии(а(10 — Ь(«<)] + Ои(М, М') У(М') дом,.
г1(тм = еКе1тй (3) м~о причем и! = (р(х), р (1) = Ф(1) — р(1): Ф (1) =Ф(1) +Ф1). (7) Из (5) и (6) найдем '(с 'В- ) — ') «(с)««(1 — О«()'«,() «, =«(г)««(г), (8) ('- )' —" о П(., )~) -«и()+«О-О+г(1" «(),, « =« «)-. () (в) (' — )г-" о Из (8) и (9) в силу равенства (р(т) = ())(т) = 0 при т < 0 находим (рг(1) + уп(1) = 1(г(1) 'Фг(1) = )гг(1) — уи(1), О < 1 < 1, (10) затем «О (- )'-О) «(о =«(о«0 о)-«о-о-..(1"„(.) (с — )' — Е' о е ю = «о) — «(и+ «а о — ()+ ( 1(ь ( ) « . '( О((- )* — (г) (' — )( — е о (10') 269 Рл.
П. Уравнения гиперболического типа Рис. ЗО Л(и) = и — пю — (ази), — (бги)о+ сзи = О в области РЯМ, (4) до 5) — а) — и на характеристике МР, де 2з)(2 (5) до Ь) +а) — о на характеристике МЯ, де 2з)(2 (6) и(М, М) = 1. Операторы 1 (и) и Х(и) называются сопряженными. Если исходить из другого канонического вида для гиперболического уравнения 1*(и) = д д + аг,~ + 5г,~ '+ сги = ((т, у), д и ди ди (8) д ду д ду то решение уравнения (8), удовлетворяющее начальным усло- виям и~ = (р(х), — = ф(я) (9) на кривой у = Д(т), ('(т) ( О.
(10) находится с помощью формулы (рис. 31) Рис. 31 фу~~ц~я "(М М') = 'о(я, у., ье, )1) функция Римана для оператора Х (и), определяемая из соотношений 270 Ответы, указания и решения и(М) = (но)г -~ (ию)О Г ( (1 1' до ди'1 + / ) ~ — (и — — ю — ) — Ьгию 11(— 2 / ((2(, дх дх) — ~ — (и — — е — ) — аги21~ ей1)2+ / / е(М, М )Х(М ) ейтм, (11) '(2 \, ду ду) где функция ю функция Римана для оператора Х'(и) ется из соотношений определя- 11'*(е) = д2' ду дв — = Ьгс дх до — = аг21 ду д(ага) д(Ьго) + +его=0, дх ду на характеристике РМ, (12) (14) на характеристике о,)М, 199.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
