Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 47
Текст из файла (страница 47)
и(х, 1) = ~(опсовш„1+ Ь„япш„1)Ха(х), и=1 р(х)р(х)Хи(х) е)х, Ьп =,, р(х)ф(х)Хи(х) е)х, 'СХ„С2 е ~„~~Х„~~~ ~ о о Гл. 11. Уравнения гиперболического типа корни уравнения Б з) Е Р с$К =" ха — Я Лг(Е Р ФК =" (1 — ха) = Маг„, а а х е1х+, р(х) соя = (1 — х) Йх оР г гы саяг ="(1 — ха), а о Бр аго ог(х) ягп я1п — "ха а 1~Х !Р аго Яр г' 2 гоа — халяв-,„~ор(х) сояо = (1 — и) е1х - =.(-*.).~ а а аг„!!Хо !12 2я1пг — "ха 2совг ='(1 — ха) а а 169. Решением краевой задачи иго =а и,, 0<х <1, 0<1<+ос, и(0, 1) = О, игг(1г 1) = — с ил(1г 1), 0 <1 <+ею, и(х, 0) = гр(х)г иг(х, 0) = 2)г(х), 0 < х <1, где КС 2 КС М ',1 является и(х, 1) = ~(а„соя аЛ„1+ Ь„я1п аЛ„1) я1п Л„х; Л„собственные значения краевой задачи являются корнями авнения ур М с6КЛ„1 = — Л„, (5) а собственные функции Х„(х) = гйп Л„х удовлетворяют условию ортогональностиг) МХт(1)Хи(1) + /,УХоа(х)Хп(х) е)х = О, пг г- и, (6) а Маг(1)Х Я + ~Угр(х)Х (и) г1х а аи— МХ,,(1)+ /УХ2( ) б а ') См, указание к задаче 167.
Яр о Р /~() 2 ягпг — ха ' а Ь (1) (2) (3) 254 Ответы, указания и решения МьсьЯХ„Я -~- ~3~~(х)Х (х) л4х ь о (8) и— с мл.ььь )лх,ь.ь '~.. о Н-1 А ол 170. и(х, 1)— з1п — х в1ллал1. 1 . оь а — сов — 1 -ь сйп — 1 а а Н вЂ” 1 а о=с о ьр(х) = и(хь О), .~о(х)ь .лл(х) функции Бесселя нулевого и первого порядка первого рода, ра — — положительные корни уравнения ,~,(д) = 0. и(х, 1) = ~ (ан сов аЛьь1 + Ьсь з1п аЛо1)зо (сто ~Я 1Улсфл„) ./ о а1Л„з,о(р,) о сл„ю уз(х) = лл(х, О), 4з(х) = ссс(х, О), Ло = 41 а'' р„имеют те же значения, что и в ответе к предыдущей задаче.
ьть. (, ) = Е Ь,нз„, 2„(2 — ь),ь+ о=с +ь,ь ьс Ьь — 1Ь ь]'е —,( — ), где а = ~уоЫ)Р— (-,) л)6 о ь = ь )сьев 1ь)ль, Р (х) = — — ~(х — 1) ~ — полиномы Лежандра, 1 сь о 2" и! л1х" лр(х) = и(х, О), уь(х) = ис(х, О). 255 1оп 11. Уравнения гиперболического типа 2 4. Метод интегральных представлений причем « (х) = — ~ «Л в«Л / «(с)е'Ц*' ~~в«с, (2) т. е.
возможно дифференцирование интеграла по параметру под зна- ком интег ала и Р где г'(х) первообразная для «(х). Решение уравнения г им=а ива, (4) — оо < х < +ос, О < «< +со, можно искать в виде и(х, «) = — «4Л / 11(с, «)е' ~~ Е~г«с. 2ц 1 Подстановка (5) в (4) дает е — дЛ «' ~ + ЯЛ'«1 *да-Е~ Кб=о. 2к,1 ( д«в Для выполнения равенства (6) достаточно, чтобы равенство дг«; +а Л 11=0, д« (5) (6) выполнялось (7) откуда нахоцим Ц(~ «) А(Цеюалв + Вде — «ам (8) где А(с) и В(с) .
произвольные функции параметра с. Подстановка полученного выражения в (5) согласно (1) дает известное решение в виде суммы распространяюгцихся волн и(х, «) = 1 ( в«Л 1 (Аде'«Цаво — Е + В(б)е Ц вЂ” ы — «~) в«~ 2я,/ = А(х + а«) + В(х — а«). (9) Аналогично интеграл Фурье может быть использован для решения других задач, связанных с уравнением колебаний. Более широко распространена следующая схема применения интеграла Фурье к решению краевых задач на прямой — со < х < +со и полупрямой О < х < +ос.
1) Здесь интеграл понимается в смысле главного значения. 1. Метод интеграла Фурье. Напомним, что при известных ограничениях на 1(х) справедлива интегральная формула Фурье 256 Ответы, указания и решения Образом Фурье функции 7(и) на прямой — со < и < +со с ядрОМ Е е~о НаЗЫВаЕтСя фуНКцИя о 7(Л) = /,((с)е е~~е7с. (10) В силу формулы (1) «оригинал», т. е. функция 7'(и), может быть восстановлен по своему образу с помощью формулы Д(т) = — / 7(Л)е' 'еКЛ. Переход от 7" (т) к 7'(Л) по формуле (10) называется интегральным преобразованием Фурье; очевидно, преобразования (10) и (10') являются взаимно обратными. На полупрямой 0 < и < +со можно рассматривать косинус-образ Фурье ) для функции 7"(х) 7" О = 77-' 7ееа - М вВ, (11) о переход от которого к оригиналу осуществляется по формуле (10') /(*)=уг-'7"Унр) ьвн о (11') и синус-образо) 7н(о = д 7ее(е) ые«, о (12) ') Интегральное преобразование Фурье с ядром сов Лб.
о) Интегральное преобразование Фурье с ядром з7п Лс. переход от которого к оригиналу выполняется по формуле Г э ,((*) = ~(2 ~У00(Л) 1 Л 7Л. (12') о Можно рассматривать преобразования Фурье с другими ядрами. За подробностями отсылаем к специальной литературе. Чтобы решить краевую задачу для и(т, 1) с помощью интегрального преобразования Фурье, по переменному х переходят к задаче для образа Фурье этой функции., находят этот образ.
После этого с помощью обратного преобразования Фурье «восстанавливают оригинал», т. е, находят функцию и(т, 1) по ее образу Фурье. В качестве ядра интегрального преобразования Фурье для задач на полупрямой нужно брать такое частное решение Х(т, 1) уравнения, получающегося разделением переменных из основного уравнения заданной краевой задачи, которое удовлетворяет граничному условию задачи, если это условие однородно, или соответствующему однородному граничному условию, если граничное условие задачи неоднородно.
Гл. 11. Ураененид гиперболического типа 1Т4 (2) е'е — е *е ') з1л1о = 22' 17 Б.М, Будке и др. *4. Π— ) .( ')=Ы" 1 ~( (1) о Указание. Подставляя в уравнение (1) условия задачи и(х, 1) = — ~ о(Л / 11(~, 1)егх~х г111с., 2я 1 = — 1дл 1у(е,~ приходим к уравнению ~2 17 + а Л 11 = 1(с., 1). Л1К, О) Решая его при начальных условиях 11(~, О) = О, ' = О, получаем сЫ Уф 1) = — / ((~, т) з1п а(1 — т) 117. 1 о Подставляя з1п а(1 — 7) в комплексной форме ) и подставляя полученное выражение с7(С, 1) в интеграл ) = 2 1 1Л ~ и(Е, 1)е"х " К в силу (3) введения к настоящему пункту, получаем формулу (1).
р(х — аг) + у(х + аг) 1Т5. и(х, 1) = 2 ,,„1г с 12— 2а (. е)2 аг + — '~1о - 1 — '," фкцб~: (1) где 1о(х) и 11(х) --- «видоизмененные» функции Бесселя нулевого и первого порядков; они могут быть представлены рядами 2Я-~-1 1о(2) = 7о(22) = ~' .. 2 ( — ) 1=О -~-оо 21-~-1 11(е) = — гн11(12) = ~,, ( — ), (3) и=о 258 Ответы, унвванав и решения причем (5) Решение. Решение краевой задачи игг=ази„+си, — оо<х<+оо, О<«<+ею, и«х, О) = гр(х), иг«х, О) = г)г«х), -ос < х < +ос, (7) (8) ищем в виде и1х,«) = — ' ««Л 1П(~, «) (9) 2я,/ Подставляя 19) в (7), получаем уравнение «5'') +« 'Л' — Р) «««5 «) =0.
е«« Его решение, удовлетворяющее в силу (8) и (9) начальным условиям Г«(~, 0) = р®,. ««,«5, 0) = ф®,. (11) (10) имеет вид Подставляя 112) в (9)г получим е е и*, )= —,',«вг«Ю- /Ря-е,.е*- ее. 2гг,« Из теории цилиндрических функций известно, что — «,«о (г зцг гр зцг 8) е'г еевге еве В зпг а г«а (14) г 2,« в Сделаем в атом равенстве замену гсозгр= — аЛ«, гз1пгр = «с«, тз = «з(азиз — сз). «15) ') Подробнее см. [7, с. 649-б51).
1о(я) — вг(в). (4) Видоизмененная функция Бесселя и-го порядка -~-х 2 я .~- е 1. ( ) = ~ я-г Г(й+ 1)Г(д+ и+ 1) (2) в=о является ограниченным при х — г 0 решением дифференциального уравнения дн+-д' — 1+ — ", у=о'). (6) 260 Ответы, указания и решения Сопоставляя выражения (19) и (18) для из(х, 1), мы получим, интегрируя (20) по 1, т е /1ллл(х, т)ей~ = — /1 ИЛ / ул(~) ' ... е'Ц' ОллС = о — уо®1 [с 1з —, ~ 1С. 2а ./ [, ал Дифференцирование последнего равенства по 1 дает: оо(х — ал) + оо(х -ь ал) ил1х, Ц) = 2 + 1,, д ( з (х — С)о ) „Их — ал)+ р(х+аЛ) + 2 (х — ~)о ..<- л 11 с Лов 2а,Л о (х — о)о ао Складывая (18) и (21), получим формулу (1) ответа.
176. с)о Л Н*.О= — '/л. / л~л, )л(ч О-О -'*," )лл. о — лл — Л Указание. Для получения формулы (1) ответа можно воспользоваться мотодом решения задачи 175. з -~-И Оз(х+ ал) -Ь~рЦх — аЛ~) вл8п(х — аЛ) 1 1 177. и(х, 1)— 2 2а,/ я Г2 Решение. Умножим уравнение ии = а-игл на ~ — яшЛС, проинтегрируем по с от 0 до +оо, проделаем то же с начальными условиями; зто и приведет к уравнению ) + азЛзй~') (Л, 1) = 0 Ж л11з с начальными условиями йл'л(Л,.
О) = / '(Л), лз~'~(Л, О) = фл'л(Л), (2) где Г2 с йлл'л (Л, 1) = л/ — / иЯ, 2) я1п ЛС л1С, о 7" (Л) = ~/ — /,Я) яшЛ~ал~, фф"'(Л) = ~/ — / ф(~) ялп Л~ал(. о о Рл. П. Ураеиеиин гиперболииееиого типа 261 Решая уравнение (1) при начальных условиях (2), получим ибб(Л, 1) = 7' (Л) сов аЛ1 +сЛс'О(Л) (3) Б Умножая обе части (3) на 11 — сйп Лх и интегрируя по Л от 0 до +со, получим и(х, 1) = с() — ( йрб(Л, 1) в1пЛхдЛ = )с — тс 1" сов(аЛ1) з1пЛхИЛ+ Г2 'С с' 2 с' — с в с о о 1,Г2 (' — рб( )сйп(аЛс]сйп(Лх)с1Л +.),~ Л Л о -„)-,)'У'(и (.
) ° м- и + 1 С2 2 1' я,/ о 1 1 2 )' — ОО ) (соо Л(х — аС) — соз Л(х -С- аг)) 2а 1( я,/ Л о если х > ай Учитывая, что т / ссс(е) асн = ~/ — / ссссвс(Л) дЛ / з1пЛнсЬ = о е 2 ('у,~( )соеЛ(х — аС) — созЛ(х-еаС) Л о получим и(х, 1) = ' + — 1 ф(н)с1з при х > а1. (4) 2 2а у Если же х < а1, то под знаком синуса и косинуса нужно заменить х — а1 на а1 — х, что приведет к изменению знака перед синусом и для и(х, 1) получится выражение И-в и(х, 1) = + — 1 ус(н) сХн при х < вб (5) 2 2а с— Объединяя (4) и (5) в одну формулу, получим приведенный выше ответ. ср(аг -Ь х) -Ь ссв(~х — аф 178. и(х, 1) = 2 ( -~- 1 — 1 ВОСв*- 1в.(*-.О,/ В(ев*~ 2а ( о о У к а з а н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
