Е.П. Долженко - Курс лекций по комплексному анализу (1124326)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций покомплексному анализуЛектор — Евгений Прокофьевич ДолженкоIII курс, 5 семестр, поток математиковМосква, 2004 г.Оглавление1.2.3.Введение. Основные понятия1.1. Введение . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.1. Комплексные числа, комплексная плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.2. Модуль и аргумент комплексного числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.3. Геометрическая интерпретация комплексных чисел . . . . . . . . . . . . .1.1.4. Тригонометрическая и показательная форма записи комплексного числа1.1.5. Многозначные функции и однозначные ветви на примере Arg z .

. . . . .1.1.6. Метрика и топология C. Последовательности и пределы . . . . . . . . . .1.1.7. Кривые, пути и области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.8. Кривая Пеано и жорданова кривая положительной площади . . . . . . .1.1.9. Спрямляемые кривые. Натуральная параметризация . . . . . . . . . . . .1.2. Стереографическая проекция . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1. Формулы стереографической проекции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.2. Расширенная комплексная плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.3. Свойства стереографической проекции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.4. Постоянство растяжений .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.5. Угол с вершиной в бесконечности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.6. Симметрии сферы Римана и отображение z1 . . . . . . . . . . . . . . . . ...........................................................................................................................................................................4444455567899910101011Функции комплексного переменного2.1.

Голоморфные функции и их простейшие свойства . . . . . . . . .2.1.1. Предел функции, непрерывность. Модуль непрерывности2.1.2. Комплексная дифференцируемость . . . . . . . . . . . . . .2.1.3. Условие Коши – Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.4. Формальные частные производные . . . . . . . . . . . . . .2.1.5. Сопряжённые гармонические функции . .

. . . . . . . . . .2.1.6. Полианалитические функции . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Конформность и дифференцируемость . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.1. Геометрический смысл комплексной производной . . . . .2.2.2. Основные теоремы о конформных отображениях . . . . . .2.3.

Дробно-линейные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.1. Определение и свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.2. Простейшие ДЛП и их геометрический смысл . . . . . . .2.3.3. Свойство конформности для ДЛП . . . . . . . . .

. . . . .2.3.4. Круговое свойство ДЛП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.5. Свойство 3 точек для ДЛП . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.6. Неподвижные точки ДЛП . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.7. Автоморфизмы единичного круга . . . . . . . . . . . . . .2.4. Элементарные комплексные функции . . . . . . . .

. . . . . . . .2.4.1. Экспонента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.2. Комплексный логарифм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.3. Функция Жуковского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.4. Тригонометрические и гиперболические функции .

. . . .....................................................................................................................................................................................................................................................................................111111121213131414141415151516161616161717171818Интеграл по комплексному переменному3.1.

Основные свойства интеграла по кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.1. Определение интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.2. Простейшие свойства интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.3. Достаточные условия интегрируемости . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .3.1.4. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.5. Связь комплексного интеграла с вещественными интегралами . . . . . .3.1.6. Предельный переход под знаком интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.7. Вычисление интегралов. Первообразная. Формула Ньютона – Лейбница3.2. Интегральная теорема Коши . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.1. Шаг 0: интеграл от линейных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.2. Шаг 1: интегральная теорема Коши для односвязной области . . . . . .3.2.3. Шаг 2: интегральная теорема Коши для многосвязной области . . . . .....................................................................................................................................191919192020212122232323242.................................................................................................................................................................ПредисловиеНарод! Предупреждаем сразу: если вы хотите знать комплексный анализ, ботайте его по Шабату или Белошапке.

Если вы хотите сдать экзамен, то можете рискнуть и заботать по этим лекциям. Но помните, что бредаздесь ещё больше, чем у Скляренко.В некоторых случаях «затыкать дыры» в доказательствах полностью было бессмысленно, поскольку безнормальных и строгих определений это сделать просто невозможно. Например, в теореме Коши невозможнообойтись без таких понятий, как фундаментальная группа и гомотопия. Ну, а такого бредового «определения»римановой поверхности, которое было дано на лекциях, мы нигде не слышали.Огромное спасибо Лене Хиль за то, что она героически записывала эти лекции.Вопросы, комментарии, замечания и предложения направляйте на dmvn@mccme.ru, обновления электроннойверсии — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Набор и вёрстка: DMVN CorporationПоследняя компиляция: 26 января 2006 годаВерсия: 0.8231.

Введение. Основные понятия1.1. Введение1.1.1. Комплексные числа, комплексная плоскостьОпределение. Комплексными числами называются упорядоченные пары действительных чисел, на которых заданы операции:1◦ Сложение — покомпонентно;2◦ Умножение — по правилу (x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) := (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ).Утверждение 1.1. Множество комплексных чисел C образует поле.Рассмотрим пары вида (х , 0) = х . Обозначим i := (0, 1). Тогда (x, y) = x + iy.

Это и есть алгебраическаяформа записи. Точнее говоря, это запись элемента (x, y) в базисе (1, i) множества C как двумерной алгебры надполем R.Заметим, что i2 = −1. Действительно, имеем (0, 1) · (0, 1) = (0 − 1, 0 + 0) = (−1, 0).Пусть z = x + iy, тогда Re z := x — действительная часть, Im z p:= y — мнимая часть, а z := x − iy — число,сопряжённое к числу z.

Модулем числа z называется число |z| := x2 + y 2 .Теорема 1.2 (Гаусса). Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, то есть любой многочлен положительной степени имеет хотя бы один комплексный корень.Имеют место равенства:1◦2◦3◦4◦5◦z1 + z2 = z 1 + z 2 ;z1 · z2 = z 1 · z 2 ;z = z;2z · z = |z| ;|z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |.1.1.2. Модуль и аргумент комплексного числаОпределение. Аргументом числа z 6= 0 называется число arg z, выражающее угол между осью Oх ивектором ~z = (x, y) ∈ R2 . Также аргументом называется множествоArg z := {arg z + 2πk | k ∈ Z} .(1)Замечание.

Аргумент нуля не определён!Аргумент является простейшим примером многозначной функции. При его определении следует договориться, в каких пределах меняется число arg z. Разумно считать, что arg z ∈ [0, 2π), то есть для ∀ α ∈ Arg z имеемα ≡ arg z (mod 2π).На комплексных числах норма вводится естественным образом: kzk := |z|, то есть поле C является нормированным. Другие примеры нормированныхполей доставляют R и Q.Неравенство треугольника |z1 | − |z2 | 6 |z1 + z2 | 6 |z1 | + |z2 |, которое позволяет корректно ввести нормуи метрику на C, легко доказать, исходя из геометрической интерпретации комплексных чисел, о которой речьпойдёт ниже.1.1.3. Геометрическая интерпретация комплексных чиселПоставим в соответствие числу z = x + iy вектор (x, y) на плоскости R2 .• Сложение комплексных чисел — это сложение соответствующих векторов;• Операция сопряжения равносильна симметрии относительно оси Oх ;• Re(z1 z 2 ) = x1 x2 + y1 y2 — скалярное произведение векторов;x1 x2 — ориентированная площадь параллелограмма на векторах z1 и z2 .• Im(z1 z 2 ) = x1 y2 − y1 x2 = y1 y2 Геометрический смысл умножения будет ясен позже.Некоторые геометрические места точек на плоскости удобно записывать с помощью комплексных чисел.Пример 1.1.• |z − z0 | = const — окружность с центром в точке z0 ;• |z − z1 | = |z − z2 | — серединный перпендикуляр к отрезку z1 z2 ;• |z − z1 | + |z − z2 | = const — эллипс с фокусами z1 и z2 .41.1.4.

Тригонометрическая и показательная форма записи комплексного числаПусть z = x + iy. Тогда в полярных координатах имеем x = r cos ϕ и y = r sin ϕ. Значит,(2)z = x + iy = r (cos ϕ + i sin ϕ) .Определение. Положим eiϕ := cos ϕ + i sin ϕ.Утверждение 1.3. При умножении модули перемножаются, а аргументы складываются. Действительно,r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) == r1 r2 (cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 ) + i (cos ϕ1 sin ϕ2 + sin ϕ1 cos ϕ2 ) == r1 r2 cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 ) .Пусть arg z1 = ϕ1 и arg z2 = ϕ2 . ТогдаArg(z1 z2 ) = {ϕ1 + ϕ2 + 2πk} .(3)Под сложением аргументов «arg» мы понимаем их сложение по модулю 2π. Следствие 1.1.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций