Е.П. Долженко - Курс лекций по комплексному анализу (1124326), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Пусть граница области D1 содержит участок прямой или окружности γ1 , а D1∗ — симметричная относительно γ1 область, и D ∩ D∗ = ∅; Пусть (D2 , D2∗ , γ2 ) — набор с темиже свойствами. Пусть функция f : D1 → D2 — конформное отображение, продолжаемое по непрерывности довзаимно-однозначного соответствия границ: f : γ1 → γ2 .
Тогда продолженное по симметрии отображение fдаёт конформное отображение D1 ∪ γ1 ∪ D1∗ 7→ D2 ∪ γ2 ∪ D2∗ .2.3. Дробно-линейные преобразования2.3.1. Определение и свойстваОпределение. Дробно-линейным преобразованием (ДЛП) называется функция видаw(z) =az + b,cz + dad − bc 6= 0.(21)Замечание. Мы хотим, чтобы ДЛП были гомеоморфизмами из C в C. Если же ad − bc = 0, то числитель и знаменатель дроби пропорциональны, следовательно, дробь сокращается и w(z) = const. А постоянноеотображение не является гомеоморфизмом.Теорема 2.11. Все ДЛП образуют группу относительно композиции. Очевидно: перемножить и посмотреть, что получится. Можно доказать, что конформными автоморфизмами сферы Римана являются дробно-линейные преобразования, и только они.
Поэтому мы будем группу ДЛП обозначать через Aut(C).Рассмотрим группу GL2 (C). Зададим отображение ϕ : GL2 (C) → Aut C по правилуaz + ba b7→ w(z) =.(22)c dcz + dЛегко видеть, что это гомоморфизм групп. Найдём его ядро. A ∈ Ker ϕ ⇔ ϕ(A) = id, то есть az+bcz+d ≡ z. Припостоянном отображении 0 7→ 0, поэтому db = 0, а так как ∞ 7→ ∞, то ac = 0. Значит, b = 0, d 6= 0, и a = 0, c 6= 0.Так как 1 7→ 1, то ad = 1, а значит, a = d. Значит, Ker ϕ = {λE | λ ∈ C∗ } ∼= C∗ . По теореме о гомоморфизмеAut C ∼= PSL2 (C).(23)2.3.2. Простейшие ДЛП и их геометрический смыслОпределение. Простейшими ДЛП назовём:1. Сдвиг на вектор b: Π1 (z) := z + b;2. Поворот на угол arg a и растяжение в |a| раз: Π2 (z) := az;3.
Инверсия: композиция двух симметрий относительно единичной окружности и относительно вещественнойоси: Π3 (z) := z1 .Покажем, что преобразование1zдействительно есть композиция двух симметрий. Пусть z = reiϕ . ТогдаΠ3 (z) =111= iϕ = e−iϕ .zrer15(24)Теорема 2.12. Любое ДЛП разлагается в композицию простейших.(z+1)−22= 1 − z+1. Основная идея: поделить числитель на знаменатель нацело. Пример: w = z−1z+1 =z+1В общем виде всё аналогично, только формулы страшнее. Для нашего примера имеем z 7→ z1 := z + 1, затемz1 7→ z2 := z11 , далее z2 7→ z3 := −2z2 , и наконец, z3 7→ w = z3 + 1 — это композиция простейших ДЛП. 2.3.3.
Свойство конформности для ДЛПТеорема 2.13. ДЛП сохраняют углы между кривыми. Достаточно доказать утверждение для простейших ДЛП. Для первых двух всё очевидно. Докажем дляинверсии. Мы уже знаем, что преобразование z1 соответствует зеркальной симметрии сферы Римана, и потомусохраняет углы. Значит, 1z тоже сохраняет углы, так как сопряжение, очевидно, обладает этим свойством. Замечание. ДЛП сохраняют углы не только по величине, но и по направлению.2.3.4.
Круговое свойство ДЛПТеорема 2.14. ДЛП переводят окружности в окружности (прямая — тоже окружность). Снова достаточно рассмотреть простейшие ДЛП. Для первых двух всё очевидно, а для инверсии достаточно снова вспомнить круговое свойство стереографической проекции и симметрии сферы. 2.3.5. Свойство 3 точек для ДЛПОпределение. Двойным отношением 4 точек называется число[z1 : z2 : z3 : z4 ] :=z1 − z3 z1 − z4:.z2 − z3 z2 − z4(25)Лемма 2.15.
Двойное отношение сохраняется при дробно-линейных преобразованиях. Не верите — подставьте и убедитесь в том, что оно действительно сохраняется. Теорема 2.16. Для любых 3 различных точек z1 , z2 , z3 и любых 3 различных точек w1 , w2 , w3 существуетединственное ДЛП, переводящее zi в wi . По лемме двойное отношение инвариантно относительно ДЛП, то есть[z1 : z2 : z3 : z] = [w1 : w2 : w3 : w].(26)Рассмотрим это выражение как уравнение на z и w.
Координаты точки w однозначно определяются по координатам точки z (причём дробно-линейной функцией), если zi и wi фиксированы. Поэтому, если мы знаем, чтоzi 7→ wi , то образ любой другой точки z однозначно определяется. Задача 2.8. Четыре точки лежат на одной окружности ⇔ их двойное отношение вещественно.2.3.6. Неподвижные точки ДЛПnob,∞ .Линейное отображение вида w(z) = az + b при a ∈/ {0, 1}, очевидно, имеет две неподвижные точки: 1−aЕсли a → 1, то бесконечность становится «двойной» неподвижной точкой.
Если a = 1 и b = 0, то все точкинеподвижны.Для дробно-линейных отображений неподвижными являются корни уравнения cz 2 + (d − a)z − b = 0.2.3.7. Автоморфизмы единичного кругаНа лекциях оно было, но без доказательств. Но они не повредят. Тут есть ссылка на принцип максимума, который был доказанв конце курса. Заодно здесь доказана лемма Шварца.Через ∆ обозначим открытый единичный круг.Лемма 2.17 (Шварц).
Пусть функция f : ∆ → ∆ голоморфна в ∆. Пусть f (0) = 0 и |f (z)| 6 1. Тогда|f (z)| 6 |z|, причём если существует точка z0 ∈ ∆ такая, что |f (z0 )| = |z0 |, то f (z) = eiθ z. Рассмотрим функцию ϕ(z) := f (z)z . Поскольку f (0) = 0, то нуль будет устранимой точкой для ϕ(z).Значит, ϕ голоморфна в круге ∆.Возьмём замкнутый круг радиуса ρ < 1. По принципу максимума функция ϕ достигает своего максимумана границе этого круга.
Но так как |f (z)| 6 1, то f (z) 16 .|ϕ(z)| 6 (27)z ρ16 6 1, следовательно, |f (z)| 6 |z|.Устремляя ρ к единице, получаем f (z)zПусть теперь |f (z0 )| = |z0 | в некоторой точке z0 . Из доказанного выше следует, что |ϕ| 6 1. В точке z0функция |ϕ| достигает значения 1, а больше единицы быть не может.
Значит, по принципу максимума ϕ = constи |ϕ| = 1, то есть ϕ(z) = eiθ . Тогда f (z) = eiθ z — поворот на угол θ. Обозначим через G2 группу отображений следующего вида:iθ z − a, где |a| < 1, θ ∈ R.(28)G2 := T (z) = e1 − azТеорема 2.18. Aut(∆) ∼= G2 . Эта группа действует на ∆ транзитивно. Пусть ϕ : ∆ → ∆ — конформный автоморфизм круга. Пусть ϕ(0) = a. Рассмотрим дробно-линейноеz−aпреобразование T ∈ G2 , заданное формулой T (z) = 1−az.
Оно переводит точку a в нуль, то есть композицияΦ := T ◦ ϕ оставляет нуль на месте: Φ(0) = 0. Применим к отображению Φ лемму Шварца. Она утверждает, что(29)|Φ(z)| 6 |z|.Теперь рассмотрим обратное отображение Φ−1 . Это тоже будет некоторый автоморфизм круга, сохраняющийнуль, и к нему тоже можно применить лемму Шварца, откуда|Φ−1 (w)| 6 |w|.(30)Подставим в эту формулу Φ(z) вместо w.
Так как Φ−1 ◦ Φ = id, то −1ΦΦ(z) 6 |Φ(z)| ⇒ |z| 6 |Φ(z)|.(31)Тем самым мы получили обратное неравенство к (29). Значит, |Φ(z)| = |z| для любой точки z. По второмуутверждению леммы Шварца Φ(z) = eiθ z. Значит, ϕ = T −1 ◦ Φ — отображение, являющееся композициейнекоторого поворота и дробно-линейного отображения, то есть ϕ ∈ G2 . Следовательно, Aut(∆) ∼= G2 .Транзитивность следует из того, что любую точку можно перевести в нуль соответствующим преобразованием, а затем с тем же успехом можно нуль отправить куда угодно.
Дробно-линейные отображения верхней полуплоскости на единичный круг имеют видz−a, где |a| < 1, Im a > 0, θ ∈ R.(32)T (z) = eiθz−aДля полноты картины сообщим без доказательства тот факт, что группа конформных отображений C (не расширенной!) есть группа линейных преобразований вида w(z) = az + b.2.4. Элементарные комплексные функции2.4.1. ЭкспонентаОпределение.ez = ex+iy := ex (cos y + i sin y) =∞Xzn.n!n=0(33)Экспонента голоморфна во всём C (но не расширенном). Так как w′ (z) = ez , то отображение конформнов каждой точке.Из определения следует, что эта функция имеет период 2πi. Областью однолистности для ez будет любаяобласть, не содержащая различных точек, отличающихся на её период.Задача 2.9.
Рассмотрим D = {z = x + iy : x ∈ (0, ln 2), y ∈ (0, π)}. Найти exp(D).Решение. ez = ex (cos y + i sin y). Имеем R = ex , R ∈ (1, 2), а угол меняется от 0 до π.2.4.2. Комплексный логарифмОпределение. Логарифм комплексного числа определяется так: w = ln z ⇔ ew = z.Если в определении z = 0, то ln z не определён, так как w = u + iv и |ew | = eu > 0 для любого w. Если z 6= 0,то z = reiϕ и eu eiv = reiϕ . Поэтому eu = r, u = ln r, v = ϕ. Следовательно,ln z = ln r + i Arg z.Определим функцию Ln z : C → C. Тут есть три подхода.17(34)1◦ Многозначные функции: каждому значению аргумента z ∈ C∗ ставим в соответствие множество◦(35)Ln z := {ln r + i (ϕ + 2nπ) | n ∈ Z} .∗2 Непрерывная ветвь: фиксируем некоторую область в D ⊂ C такую, чтобы функция ϕ была непрерывной.Любые две ветви отличаются на 2π.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
