Е.П. Долженко - Курс лекций по комплексному анализу (1124326), страница 4
Текст из файла (страница 4)
По аналогичным соображениям она обладает круговым свойством.В завершение этой темы отметим, что преобразование z 7→ z ∗ является конформным автоморфизмом сферы.2. Функции комплексного переменного2.1. Голоморфные функции и их простейшие свойства2.1.1. Предел функции, непрерывность. Модуль непрерывностиПредел функции в точке определяется также, как в математическом анализе.Определение. Модулем непрерывности функции f : D → C на множестве D называется числоωf (D, δ) := sup {|f (x) − f (y)| по всем точкам x, y ∈ D : |x − y| < δ} .(1)Очевидно, модуль непрерывности есть неубывающая функция от параметра δ. В дальнейшем, если из контекста понятно, о какой функции и о каком множестве идёт речь, мы будем опускать индекс «f » и первыйаргумент функции ω.Утверждение 2.1. Если множество D выпукло, то ω(δ1 + δ2 ) 6 ω(δ1 ) + ω(δ2 ).
Пусть z ′ , z ′′ ∈ D, и точка z лежит на отрезке [z ′ , z ′′ ]. Тогда, по определению выпуклого множества,z ∈ D. Пусть |z ′ − z| = δ1 и |z − z ′′ | = δ2 . Имеем|f (z ′ ) − f (z ′′ )| = |f (z ′ ) − f (z) + f (z) − f (z ′′ )| 6 |f (z ′ ) − f (z)| + |f (z) − f (z ′′ )| 6 ω(δ1 ) + ω(δ2 ).11(2)Остаётся перейти к точной верхней грани по всем точкам z ′ и z ′′ , для которых |z ′ − z ′′ | 6 δ1 + δ2 . Следствие 2.1. Если множество D выпукло, то ω(n · δ) 6 n · ω(δ).Следствие 2.2. Если ωf (D, δ) = o(δ), то f ≡ const. В самом деле, если это условие выполнено, то|f (z ′ ) − f (z ′′ )|ωf (D, |z ′ − z ′′ |)6→ 0,|z ′ − z ′′ ||z ′ − z ′′ ||z ′ − z ′′ | → 0.(3)Таким образом, f ′ ≡ 0. Этого, как мы скоро увидим, достаточно для того, чтобы f ≡ const.
Задача 2.1. Доказать, что если множество D выпукло и ограничено, а функция f : D → C не постоянна,то найдётся константа C такая, что ωf (D, δ) > C · δ.2.1.2. Комплексная дифференцируемостьОпределение. Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки z0 . Комплексной производнойфункции f в точке z0 называется следующий предел (если он существует):f ′ (z0 ) := limh→0f (z0 + h) − f (z0 ).h(4)Также, как и в курсе математического анализа, доказываются все свойства производной (арифметическиеоперации, дифференцируемость сложной и обратной функций).Существование предела можно переписать так: ∆f = f ′ (z0 )∆z + o(∆z) при ∆z → 0.
Это означает, чтоприращение функции есть комплексный дифференциал. Такие функции называются комплексно-дифференцируемыми или, короче, C-дифференцируемыми.Определение. Говорят, что функция f голоморфна (аналитична) в точке z0 , если она C-дифференцируемав некоторой окрестности этой точки.Определение.Функция f (z), определённая в окрестности ∞, называется голоморфной в бесконечности,если функция f 1z голоморфна в точке 0.Пример 1.1.
Найдём производную функции f (z) = z. Имеемz+h−zh= 1, поэтому f ′ = 1.= hh . Пойдем поПример 1.2. Попробуем теперь продифференцировать функцию f (z) = z. Имеем z+h−zh−i∆yразным направлениям: на вещественной оси имеем h = ∆x и ∆x∆x = 1, а на мнимой h = i∆y и i∆y = −1, то естьпредела не существует.2.1.3. Условие Коши – РиманаТеорема 2.2. Функция f (z) = u (x, y) + iv (x, y) имеет комплексную производную в точке z0 = x0 + iy0тогда и только тогда, когда функции u(x, y) и v(x, y) дифференцируемы в точке (x0 , y0 ) и в ней выполняетсяусловие Коши – Римана (Даламбера – Эйлера):(∂u∂v∂x =∂y ,(5)∂u∂v∂y = − ∂x .Необходимость: Пусть ∃ f ′ (z0 ) = a + ib, тогда∆f = f ′ (z0 )∆z + o(ρ) = ∆u + i∆v = (a + ib) (∆x + i∆y) + o(ρ), где ρ = |∆z| → 0,(6)откуда(∆u = a∆x − b∆y + o(ρ),∆v = b∆x + a∆y + o(ρ).(7)Отсюда следует, что функции u и v дифференцируемы.
Полученные равенства представляют собой условиеКоши – Римана, т. к.(a∆x = ux , b∆x = vx ,(8)a∆y = vy , b∆y = −uy .Тем самым необходимость доказана. Попутно доказана и достаточность, так как все рассуждения обратимы. Теорема 2.3 (Лумана – Меньшова). Если функция f непрерывна в области D и в каждой точке областивыполняется условие Коши – Римана, то она C-дифференцируема в области D.12Замечание. На самом деле эта теорема верна и в ещё более слабых предположениях: условие Коши – Риманавыполняется почти всюду (относительно лебеговой меры), а функция a priori может быть не дифференцируемойв счётном числе точек области.Замечание.
Из одного лишь условия Коши – Римана не вытекает комплексная дифференцируемость. Пример: f (z) = 0 на осях, f (z) = 1 иначе.2.1.4. Формальные частные производныеПусть f — R-дифференцируемая функция. Напишем её дифференциал: df =(dx = dz+dz,2dz = dx + idy, dz = dx − idy ⇒dy = dz−dz.2i∂f∂x dx+∂f∂y dy.Имеем(9)Подставляя dx и dy в выражение для дифференциала, получим1 ∂f1 ∂f1 ∂f1 ∂fdf =+dz +−dz.2 ∂x 2i ∂y2 ∂x 2i ∂y(10)Введём специальные обозначения для дифференциальных операторов.∂fОпределение. Формальными частными производными ∂f∂z и ∂z называются выражения в скобках в формуле (10).Условие Коши – Римана в терминах формальных частных производных записывается так: ∂f∂z = 0.
Условиекомплексной дифференцируемости означает, что функция не зависит от z.dfЕсли комплексная производная существует, то её можно вычислить по одной из двух формул: либо dx, либоdfdfdfidy , так как по условию Коши – Римана dx = idy :(∂u∂vdudvdudv∂x =∂y ,−=+⇒ ∂v(11)∂udx idxidy dy∂x = − ∂y .2.1.5. Сопряжённые гармонические функцииОпределение. Вещественная функция u = u(x, y) называется гармонической в области D, если u ∈ C2 (D)и в этой области выполнено условие Лапласа:∆u :=∂2u ∂2u+ 2 = 0.∂x2∂y(12)Утверждение 2.4.
Если f (z) = u (x, y)+iv (x, y) — голоморфна в области D, то функции u и v гармоничныв этой области. Напишем условие Коши – Римана и два раза продифференцируем:(( 2∂u∂v∂ u∂2 v= ∂x∂y,∂x =∂y ,∂x2(13)2∂u∂v∂ v∂2u= − ∂y2 .∂y = − ∂x∂x∂yСкладывая равенства, получаем, что ∆u = ∆v = 0, что и требовалось. Остаётся только обосновать существование второй производной, но это будет сделано позднее. Определение.
Сопряжёнными гармоническими функциями называются гармонические функции, являющиеся вещественной и мнимой частями некоторой голоморфной функции.Вреде бы он этого не доказывал, но в прошлом году оно на лекциях было... Пусть остаётся для полноты, но мелким шрифтом.Утверждение 2.5. Если функция u гармонична в односвязной области D, то найдётся функция f = u + iv, голоморфная вобласти D. В силу условия Коши – Римана дифференциал искомой функции равенdf = vx′ dx + vy′ dy = −u′y dx + u′x dy.Положим P (x, y) :=форму P dx + Qdy:−u′yи Q(x, y) =u′x .Функции P , Q,Q′xиPy′(14)непрерывны в односвязной области D.
Продифференцируемd (P dx + Q dy) = (Px′ dx + Py′ dy) ∧ dx + (Q′x dx + Q′y dy) ∧ dy = Py′ dy ∧ dx + Q′x dx ∧ dy = (Q′x − Py′ ) dx ∧ dy.Она будет полным дифференциалом, еслиимеемQ′x−Z∂DPy′= 0. Покажем, что верно и обратное. ЕслиZP dx + Q dy = (Q′ x − Py′ ) dx dy = 0,D13Q′x−Py′(15)= 0, то по формуле Грина(16)а из критерия потенциальности поля (вспомните математический анализ!) следует, что если интеграл по замкнутому контурунулевой, то поле потенциально, то есть его компоненты являются частными производными некоторой функции. Таким образомможно построить требуемую функцию v:(x,y)Zv(x, y) :=P dx + Q dy.(17)(x0 ,y0 )Из того же критерия следует, что интеграл не зависит от выбора пути интегрирования.
Замечание. В многосвязной области такое утверждение не верно. Пример: функция u = ln r.Задача 2.2. Выразить оператор Лапласа через формальные частные производные∂∂∂z , ∂z .Тут есть некоторое количество задач, которых на лекциях этого года их не было, но они были 2 года назад. Возможно, Долженколюбит давать их на экзаменах.Задача 2.3. Пусть функция w R-дифференцируема. Доказать, что она C-дифференцируема, если существует один из следующих пределов:˛˛˛ ∆w ˛∆w∆w˛,lim Re,lim ˛˛lim arg.(18)∆z→0∆z→0 ∆z ˛∆z→0∆z∆zonестьЗадача 2.4.
Пусть функция f является R-дифференцируемой. Доказать, что множество предельных точек ∆f∆zлибо точка, либо окружность. Найти её центр и радиус.Задача 2.5. Функция f = u + iv голоморфна в области D, и f 6= 0. Доказать, что линии уровня функций u и v (то естьu = const, v = const) пересекаются под прямым углом.Задача 2.6. Доказать инвариантность условия Коши – Римана относительно вращения плоскости:∂uТогда условие Коши – Римана запишется следующим образом: ∂n= ∂v, ∂v = − ∂u, где |s| = 1 и |n| = 1.
В частности,∂s ∂n∂sзаписать условие Коши – Римана в полярных координатах.2.1.6. Полианалитические функцииОпределение. Функция f называется полианалитической (точнее, n-аналитической), еслиПолианалитические функции имеют видw(z) = ϕ0 (z) + zϕ1 (z) + z 2 ϕ2 (z) + . . . + z n−1 ϕn−1 (z),∂nf∂z n= 0.(19)где ϕi (z) — аналитические функции.2.2. Конформность и дифференцируемость2.2.1. Геометрический смысл комплексной производнойВыясним геометрический смысл аргумента и модуля комплексной производной. Рассмотрим R-дифференциa bруемую функцию w = f (z). У неё есть дифференциал df =— некоторое линейное преобразование плосc da −bкости. Функция будет C-дифференцируемой ⇔ df =вследствие условия Коши – Римана. Линейноеbaпреобразование такого вида, очевидно, есть умножение на число a+ib.
Таким образом, «в первом приближении»происходит растяжение в |f ′ (z0 )| раз и поворот на угол arg f ′ (z0 ), если, конечно, f ′ (z0 ) 6= 0.Таким образом, голоморфные функции обладают свойством постоянства растяжений и сохранения углов.Если же f ′ (z0 ) = f ′′ (z0 ) = . . . = f (k−1) (z0 ), а f (k) 6= 0, то по формуле Тейлора∆w = ck (∆z)k + ck+1 (∆z)k+1 + . . . ,(20)поэтому происходит увеличение углов в k раз.Задача 2.7. Доказать, что если функция обладает свойством постоянства растяжений и сохраняетуглы, то она аналитична.Решение. Откройте лекции В. К. Белошапки (см. http://dmvn.mexmat.net) на странице 15 и прочтите Предложение 1.3 и Утверждение 3.3.
Мне лень их переписывать оттуда... 2.2.2. Основные теоремы о конформных отображенияхТеорема 2.6 (Х. Бор, 1918 г.). Если функция f в области G является однолистным гомеоморфизмом иимеет постоянство растяжений в каждой точке, причём коэффициент растяжения k не равен нулю, толибо f , либо f аналитична в G.В 1919 году Радемахером было доказано ещё более сильное утверждение: было убрано требование k 6= 0.14Теорема 2.7 (Д.
Е. Меньшов, 1923 – 1926 г.). Если функция f в области G является гомеоморфизмоми сохраняет углы (как по ориентации, так и по величине), то она аналитична в G.Теорема 2.8 (Б. Риман). Пусть область G односвязна и граница ∂G состоит более чем из одной точки.Тогда существует конформное отображение этой области на единичный круг {z : |z| < 1}.Таких отображений на самом деле существует бесконечно много. Анри Пуанкаре доказал, что если зафиксировать прообраз нуля, то есть такую точку a, что f (a) = 0, и число α = arg f ′ (a), то такое отображениеединственно.
Это и есть нормировка конформного отображения (один из способов).Теорема 2.9 (Каратеодори). Пусть D1 и D2 — односвязные области с жордановыми границами, иf : D1 → D2 — конформное отображение. Тогда f продолжается до гомеоморфизма между D1 и D2 .Эта теорема позволяет ввести ещё одно условие нормировки. Фиксируем точкиa1 ∈ D 1 ,b1 ∈ ∂D1 ,a2 ∈ D 2 ,b2 ∈ ∂D2 .Отображение f , такое что f (a1 ) = a2 и f (b1 ) = f (b2 ), единственно.Теорема 2.10 (принцип симметрии).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
