Е.П. Долженко - Курс лекций по комплексному анализу (1124326), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Отсюда сразу следует утверждение задачи, но доказательство второго фактаотнюдь не тривиально и потому здесь не приводится.Задача 1.7. Доказать, что длина кривой не зависит от параметризации.Указание. Нужно воспользоваться тем, что для каждой частичной суммы при одной параметризации можнонайти такое разбиение второго отрезка параметризации, что эти суммы совпадут.Определение.
Кривая γ называется гладкой, если функция γ дифференцируема на [a, b] и γ ′ (t) 6= 0 для∀ t ∈ [a, b].Задача 1.8. Доказать, что длина гладкой кривой γ вычисляется по формуле|γ| =Zba|γ ′ (t)| dt.8(12)Замечание. В дальнейшем мы будем рассматривать только правильные параметризации кривых, то естьγ(t) 6= const ни на каком интервале отрезка параметризации.Задача 1.9. Доказать, что для любой параметризации кривой существует эквивалентная правильнаяпараметризация.1.2.
Стереографическая проекция1.2.1. Формулы стереографической проекции2Рассмотрим сферу S единичного радиуса с центром в начале координат и плоскость π := Oxy. ПустьP (0, 0, 1) — северный полюс сферы. Возьмём на сфере любую точку М и через точки Р и М проведём прямую,которая при условии M 6= P пересекает π в точке М ′ . Это так называемая стереографическая проекция сферына плоскость. Очевидно, отображение взаимно однозначное. Получим координатные формулы для стереографической проекции.Пусть M имеет координаты (ξ, η, ζ), а M ′ имеет координаты (x, y) на плоскости.
Напишем уравнение прямой,проходящей через точки P (0, 0, 1) и M ′ (x, y, 0):ξηζ−1= =.xy−1(13)Преобразуя его, получаемξ = x(1 − ζ),Отсюда получаем выражения для координат точки M ′ :x=ξ,1−ζПусть z = x + iy. Тогдаz=η = y(1 − ζ).y=η.1−ζξ + iη.1−ζ(14)(15)(16)Так как точка M лежит на сфере, то ξ 2 +η 2 +ζ 2 = 1. Учитывая это и подставляя выражения для ξ и η, получаемвыражения для координат точки M через координаты точки M ′ :ξ=2x,x2 + y 2 + 1η=2yx2 + y 2 − 1,ζ=.x2 + y 2 + 1x2 + y 2 + 1(17)|z|2 − 1.|z|2 + 1(18)В комплексных числах — совсем просто:ξ + iη =2z,|z|2 + 1ζ=Замечание.
Можно также рассматривать другие виды стереографической проекции. Например, можно положить сферу на плоскость так, чтобы она касалась её южным полюсом. При этом немного изменятся формулы,но все свойства останутся прежними.1.2.2. Расширенная комплексная плоскостьПри стереографической проекции одна из точек на сфере, а именно северный полюс, не имеет образа наплоскости. Если точка на плоскости стремится к бесконечности (по модулю), то её прообраз на сфере, очевидно, стремится к полюсу. Это наблюдение побуждает выполнить совершенно естественную операцию: добавитьк C бесконечно удалённую точку.
Тогда стереографическая проекция будет биективным отображением C ∪ {∞}на S 2 . Окрестностями ∞ будем назвать множества точек {z ∈ C : |z| > r}. Построенное таким образом топологическое пространство будем обозначать через C. Отображение стереографической проекции, доопределённое вточке P , будет гомеоморфизмом. Пополненную комплексную плоскость часто называют сферой Римана.Замечание.
Операция, которая была проделана выше, называется компактификацией, так как некомпактное многообразие C превращается в компактное S 2 . Иногда его ещё называют проективизацией, ибо полученноемножество, как легко видеть, есть не что иное, как комплексная проективная прямая CP1 .Определение. Сферическим расстоянием между двумя точками на C называется расстояние между соответствующими точками на сфере (длина дуги большого круга). Хордальным расстоянием между точками на Cназывается длина хорды, соединяющей их образы на сфере.Замечание. Хордальная метрика плоха тем, что она не является инвариантной относительно сдвигов: вообще говоря, ρ(x + z, y + z) 6= ρ(x, y).9Замечание.
Любая рациональная функция непрерывно отображает C в C.Пример 2.1. Рассмотрим отображение w = 1z , доопределим его: 0 ↔ ∞. Тогда оно будет непрерывным.Задача 1.10. Вывести формулу для сферического расстояния.1.2.3. Свойства стереографической проекцииВ следующей теореме прямую на плоскости мы считаем окружностью бесконечного радиуса.Теорема 1.12 (Круговое свойство).
Стереографическая проекция осуществляет биекцию между окружностями на сфере Римана и окружностями на плоскости. Запишем общее уравнение окружности на плоскости:A(x2 + y 2 ) + Bx + Cy + D = 0.(19)Подставляя координаты стереографической проекции, получаемAξ 2 + η2ξη+B+C+ D = 0.(1 − ζ)21−ζ1−ζ(20)Теперь вспомним, что ξ 2 + η 2 = 1 − ζ 2 . Подставим это выражение в уравнение и преобразуем его:(21)Bξ + Cη + (A − D)ζ + (A + D) = 0.Получилось линейное уравнение, задающее некоторую плоскость. В пересечении этой плоскости со сферойРимана получится окружность.Остаётся заметить, что образом прямой на плоскости будет окружность на сфере, проходящая через северныйполюс P . Действительно, если A = 0, то точка (0, 0, 1) удовлетворяет полученному уравнению.
1.2.4. Постоянство растяженийСейчас мы покажем, что при стереографической проекции имеет место так называемое постоянство растяжений: бесконечно малые вектора dz при проекции растягиваются «одинаково по всем направлениям», то есть|dM (z)| = K(z)|dz|, где функция K(z) зависит только от точки z и не зависит от направления вектора dz.Предварим эти формулы одной фразой из курса дифференциальной геометрии: Именно, покажем, что стереографическаяпроекция индуцирует на сфере конформно-евклидову метрику.Утверждение 1.13. Для стереографической проекции функция K(z) равна Имеем∂ξdx +∂x∂ηdη =dx +∂x∂ζdζ =dx +∂xdξ =21+|z|2 .∂ξ2(y 2 − x2 + 1)4xydy =dx −dy,∂y(1 + x2 + y 2 )2(1 + x2 + y 2 )2∂η4xy2(x2 − y 2 + 1)dy = −dx+dy,∂y(1 + x2 + y 2 )2(1 + x2 + y 2 )2∂ζ4x4ydy =dx +dy.∂y(1 + x2 + y 2 )2(1 + x2 + y 2 )2(22)(23)(24)(25)Отсюда|dM (z)|2 = (dξ)2 + (dη)2 + (dζ)2 =4(dx2 + dy 2 )(1 + x2 + y 2 )2⇒|dM (z)| =2· |dz|.1 + |z|2(26)1.2.5.
Угол с вершиной в бесконечностиПусть на плоскости заданы две ориентированные прямые, проходящие через точку a, и угол между нимиравен α. Напомним, что углом между прямыми называется такой угол, при повороте на который вокруг точкиa одна из прямых переходит в другую (так, чтобы ориентации совпали).Пусть a = 0.
Сделаем стереографическую проекцию этих прямых. Они перейдут в два больших круга ω1 и ω2сферы, проходящих через северный полюс P . Очевидно, что угол между окружностями по модулю равен α, а поориентации — противоположен ему, то есть равен −α. Это число мы и примем за определение угла с вершинойв бесконечности. Покажем, что эта величина не зависит от точки a. В самом деле, осуществим параллельныйперенос на плоскости так, чтобы точка a переехала в нуль. Угол и его ориентация при этом не изменится, а припроекции поменяется только знак.10Разумно поставить вопрос: а чему равен угол между параллельными прямыми? Стереографические проекциипараллельных прямых имеют общую касательную, а потому угол между ними равен нулю.Определение.
Углом между кривыми в бесконечности называется угол между их касательными в точке ∞,если смотреть из центра сферы.Определение. Отображение двумерных ориентируемых поверхностей называется конформным, если онообладает свойствами постоянства растяжений и сохранения углов по модулю и ориентации.Если меняется ориентация углов, то говорят, что это конформное отображение второго рода.Замечание. Из конформности в каждой точке не вытекает глобальная конформность.
Пример: ez конформна в каждой точке C. Но оно не является взаимно-однозначным отображением в силу периодичности.Теорема 1.14. Стереографическая проекция сохраняет углы между кривыми. Доказательство, которое было дано на лекциях, мне не понравилось, тем более, что мы в предыдущемпункте уже вывелиформулы для метрики на сфере, конформно-эквивалентной евклидовой.
Рассмотрим кривые~r1 (t) = x1 (t), y1 (t) и ~r2 (t) = x2 (t), y2 (t) на плоскости, пересекающиеся в точке z. Из постоянства растяжений(dr1 ,dr2 ). В силу постоянствакасательных векторов очевидным образом следует сохранение углов: cos ϕ = |dr1 |·|dr2 |растяженийK(z)(dx1 dx2 + dy1 dy2 )dx1 dx2 + dy1 dy2ppcos ϕ = p= p 2.(27)2222K(z)(dx1 + dy1 ) · K(z)(dx2 + dy2 )dx1 + dy12 · dx22 + dy22Правая часть последнего равенства есть в точности выражение для угла между кривыми на плоскости. 1.2.6.
Симметрии сферы Римана и отображение1zРассмотрим пару точек M и M ∗ на сфере, симметричных относительно экватора (плоскости Oξη). Пустьони имеют координаты M (ξ, η, ζ) и M ∗ (ξ, η, −ζ). Пусть z и z ∗ — их прообразы при стереографической проекции.Тогдаξ 2 + η2ξ + iηξ + iηz=, z∗ =⇒ z∗ · z =.(28)1−ζ1+ζ1 − ζ2Снова вспоминая, что ξ 2 + η 2 = 1 − ζ 2 , получаем, что z ∗ · z = 1. Это свойство можно положить в основуопределения симметрии на расширенной плоскости.Определение. Точки z и z ∗ называются симметричными (относительно единичной окружности), еслиz ∗ · z = 1.(29)В общем случае, для окружности произвольного радиуса r, справа от знака равенства стоит число r2 .Точка 0 симметрична точке ∞, так как z ∗ = z1 .Из свойств стереографической проекции получаем, что преобразование z1 сохраняет углы. В самом деле,мы показали, что оно соответствует зеркальной симметрии сферы, которая, разумеется, сохраняет углы, а припроекции углы тоже не поменяются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
