Е.П. Долженко - Курс лекций по комплексному анализу (1124326), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Определение. Производной функции F по множеству E в точке a называется числоFE′ (a) := z→a,lima,z∈EF (z) − F (a).z−a(26)Определение. Первообразной функции f называется такая функция F , что F ′ = f .Теорема 3.12 (Формула Ньютона – Лейбница). Пусть γ = z(t) — гладкая кривая, f ∈ C(γ) и f = Fγ′ .ТогдаZf (z) dz = F z(β) − F z(α) .(27)γИмеемF z(τ ) − F z(t) z(τ ) − z(t)dF z(t) = lim·= f z(t) z ′ (t).τ →tdtτ −tz(τ ) − z(t)(28)По предыдущей теореме и обычной формуле Ньютона – ЛейбницаZγf (z) dz =Zβαf z(t) z ′ (t) dt = F z(β) − F z(α) .(29)2 Отанглийского «break point». Обозначение E(f ), которое было на лекциях, крайне неестественно.223.2.
Интегральная теорема Коши3.2.1. Шаг 0: интеграл от линейных функцийУтверждение 3.13. Пусть γ : [α, β] → C замкнутая спрямляемая кривая, то есть γ(α) = γ(β). ТогдаZ(az + b) dz = 0.(30)γМы знаем, чтоRγ1 dz = γ(β) − γ(α) иRBz dz =Aγ(β)2 −γ(α)2.2Но так как γ(α) = γ(β), то оба интеграларавны нулю. В силу линейности и исходный интеграл равен нулю. Возникает следующая естественная гипотеза: поскольку интеграл от любой линейной функции по замкнутойспрямляемой кривой равен нулю, то можно предположить, что оно верно для любой голоморфной функции.Интегральная теорема Коши подтверждает эту гипотезу.3.2.2.
Шаг 1: интегральная теорема Коши для односвязной областиЛемма 3.14 (Гурса). Пусть △ — треугольник, лежащий в области D вместе с внутренностью, и f (z)голоморфна в окрестности △. ТогдаZf (z) dz = 0.(31)△Обозначим △0 := △, P0 — периметр △0 , аZI0 := f (z) dz .(32)△Поделив стороны △0 пополам и соединив между собой точки деления, получимещё четыре треугольника. Обозначим через △1 «центральный» треугольник.
Интегралпо всему контуру равен сумме интегралов по всем 4 треугольникам. Значит, хотя быодно слагаемое не меньше четверти интеграла I0 . Обозначим его I1 , а соответствующийконтур — через △1 . Итак, имеемZ I0I1 := f (z) dz > .4(33)△1Продолжая процесс, получим последовательность вложенных треугольников △0 ⊃ △1 ⊃ . . . ⊃ △n → a, где a —некоторая точка в треугольнике, причёмI0In > n .(34)4Имеем f (z) = f (a) + f ′ (a)(z − a) + o(z − a) = f (a) + f ′ (a)(z − a) + α(z)(z − a). Как мы уже убедились,интеграл от линейной функции f ′ (a)(z − a) по △n равен нулю.
Значит, вклад в интеграл может дать тольконелинейное слагаемое o(. . . ). Далее заметим, что (z − a) не превосходит периметра треугольника, по которомумы интегрируем. Учитывая это, имеемZ Z P PI0 006I=o(z−a)dz=α(z)(z−a)dz(35) 6 n · n max |α(z)| → 0.n4n22 △n△n△nУмножая неравенство на 4n , получаем I0 6 P02 · max |α(z)| → 0.
Значит, I0 = 0. △nСледствие 3.1. Если D — односвязная область, а f (z) голоморфна в D и γ — замкнутая ломаная в D, тоZf (z) dz = 0.(36)γ Разобьём многоугольник, образованный ломаной, на треугольники. По лемме Гурса интеграл по каждому из них равен нулю, но ориентации на «стыках» разные, поэтому суммарный интеграл равен 0. 23Следствие 3.2 (интегральная теорема Коши). Если D — односвязная область, и f (z) голоморфна в D,а γ — спрямляемая кривая в D, тоZf (z) dz = 0.(37)γЗамечание.
Для многосвязной области эта теорема неверна. Пример:H|z|=1dzz= 2πi.Следствие 3.3. Еслиграница области D есть простая замкнутая спрямляемая кривая, а функция f (z)Rf (z) dz = 0.голоморфна в D, то∂D Если f (z) голоморфна в D, то она дифференцируема в некоторой окрестности D. Значит, к ней можноприменить уже доказанную теорему. Остаётся убедиться в том, что эта область односвязна (докажите это!).
Верен и более общий результат:Теорема 3.15. Если граница областиR D есть простая, замкнутая спрямляемая кривая, а функция f (z)голоморфна в D и непрерывна на D, то f (z) dz = 0.γЗадача 3.3. Доказать эту теорему для круга.3.2.3. Шаг 2: интегральная теорема Коши для многосвязной областиОпределение. Область D называется правильной, если она ограничена и её граница ∂D состоит из конечного числа попарно не пересекающихся простых, замкнутых, спрямляемых кривых. Будем говорить, что границыправильной области ориентированы положительно, если при обходе границы область остаётся слева.Теорема 3.16.R Если D — правильная область с положительно ориентированной границей γ, и f (z) голоf (z) dz = 0.морфна в D, то∂D Мы не будем проводить строгое доказательство, а приведём лишь его основную идею.
Она заключаетсяв том, чтобы перейти от многосвязного контура к односвязному. Пусть в области имеется k «дырок». Проведёмразрез от некоторой точки на внешней границе до некоторой точки внутренней границы (одной из её компонент).Дырок станет на одну меньше, и так далее. В итоге получится односвязная область и k лишних разрезов. Ноони не помешают: когда мы будем интегрировать по ним, то два раза пройдём по одним и тем же точкамв противоположных направлениях, то есть интегралы по разрезам уничтожатся.
А по границе полученнойодносвязной области интеграл равен нулю. Значит, и интеграл по границе исходной области равен нулю. Замечание. Справедливо усиление теоремы, когда f (z) голоморфна в D и непрерывна в D.24.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
