Е.П. Долженко - Курс лекций по комплексному анализу (1124326), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Геометрический смысл преобразования z 7→ az, a = reiϕ — это композиция гомотетии скоэффициентом r и поворота на угол ϕ вокруг начала координат.−z0— ориентированный угол между векторами z1 − z0Следствие 1.2. Геометрический смысл числа arg zz21 −z0и z2 − z0 .nСледствие 1.3 (Формула Муавра). reiϕ = rn einϕ .Определение.
Корнем n-й степени из комплексногочисла z называется всякое число w, для которого√wn = z. Множество корней из z обозначается n z.√Утверждение 1.4. Если z = 0, то и n z = 0. Если же z 6= 0, то существует ровно n различных корнейиз этого числа, и√√ϕ + 2kπnnz = r · exp i, k = 0, . . . , n − 1.(4)n√√ o√√ n32kπПример 1.2. 3 1 = cos 2kπ1 = 1, 12 + i 23 , 12 − i 23 .3 + i sin 3 , то есть1.1.5. Многозначные функции и однозначные ветви на примере Arg zОдной из самых простых многозначных функций является функцияArg z := {arg z + 2πk | k ∈ Z} .(5)Для многозначных функций запись «f (z)» обозначает множество значений в точке z.Определение.
Функция f многозначна, если Card f (z) > 1 для хотя бы одной точки z ∈ D(f ).Определение. Многозначные функции f и g совпадают на множестве E, если f (z) = g(z) для ∀ z ∈ E.Определение. Функция f0 (z) — однозначная ветвь многозначной функции f (z), если f0 (z) ∈ f (z) для∀ z ∈ D(f ).Определение. Говорят, что f0 (z) — однозначная непрерывная ветвь многозначной функции f (z), еслиf0 (z) — однозначная ветвь и f0 непрерывна на D(f ).1.1.6. Метрика и топология C. Последовательности и пределыНа множестве C определено расстояние ρ(z, w) := |z − w|.
Под сходимостью будем понимать сходимость вэтой метрике.Определения открытых и замкнутых множеств, окрестностей и т. д. полностью совпадают с определениями этих понятий, данных в курсе математического анализа. Топология C, задаваемая метрикой, совпадаетсо стандартной топологией R2 . Таким образом, комплексная прямая1 является хаусдорфовым топологическимпространством (любые две несовпадающие точки обладают непересекающимися окрестностями).Определение. Окрестностью точки в Cn называется открытый шар с центром в этой точке.1 Нехорошоназывать плоскостью одномерное векторное пространство над полем C.5Определение.
Множество K ⊂ Cn называется компактным, если из любой последовательности его точекможно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке z ∈ K.Как следует из теоремы Больцано – Вейерштрасса, компакты в Cn — это в точности замкнутые ограниченныемножества.Определение. Расстоянием между подмножествами X и Y метрического пространства называется число(6)ρ(X, Y ) := inf {ρ(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y } .Утверждение 1.5. Пусть F1 и F2 — непересекающиеся замкнутые множества в C, и хотя бы одно изних компактно. Тогда ρ(F1 , F2 ) > 0.
Допустим, ρ(F1 , F2 ) = 0. Тогда найдутся последовательности {xn } и {yn } такие, что ρ(xn , yn ) → 0. Безограничения общности F1 компактно. Тогда перейдём к сходящейся подпоследовательности (и перенумеруем).Теперь можно считать, что xn → x0 и yn → x0 . Но тогда в силу замкнутости x0 ∈ F1 , а так как x0 будетпредельной точкой для F2 , то x0 ∈ F2 . Противоречие. Замечание. Условие компактности здесь по существу.
Если потребовать только замкнутости, то утверждение перестаёт быть верным. Например, рассмотрим график функции ex и ось Ox. Эти множества замкнуты ине пересекаются, но расстояние между ними равно нулю.Задача 1.1. Найти множества предельных точек для последовательностейexp (2πie · n!) ,√ exp πi · n 2 ,n Y1+k=1ik.(7)Непрерывность функций определяется точно так же, как и в математическом анализе.Пример 1.3. Непрерывными комплексными функциями являются• Многочлены f (z) ∈ C[z];• Дробно-рациональные функции w(z) ∈ C(z);• ez = ex+iy := ex (cos y + i sin y) — периодическая функция с периодом 2πi;• cos z :=eiz +e−iz2и sin z :=eiz −e−iz.2iМногие теоремы о рядах, доказанные в курсе математического анализа, очевидным образом обобщаются накомплексный случай.Задача 1.2. Исследовать на сходимость ряд√∞X(−1)[nn=1n]z n.(8)Как мы потом увидим, можно пополнить пространство C бесконечно удалённой точкой.
Тогда, по определению, zn → ∞ ⇔ |zn | → ∞. Более подробно о топологии расширения C будет сказано в главе о стереографической проекции.1.1.7. Кривые, пути и областиОпределение. Кривая — непрерывное отображение γ : [a, b] → C. Кривая называется жордановой, если онане имеет самопересечений. Кривая называется замкнутой, если γ(a) = γ(b).Определение. Множество E называется связным, если его нельзя разбить на два непустых открытыхотносительно Е подмножества.
Множество Е называется линейно связным, если любые две его точки можносоединить непрерывной кривой в Е .Замечание. С тем же успехом в определении связного множества можно открытые множества заменить назамкнутые.Определение. Область — непустое открытое связное множество.Утверждение 1.6. Если множество линейно связно, то оно связно. В самом деле, допустим, что множество E линейно связно и несвязно, то есть разбивается на два открытых: E = A⊔B. Пусть x ∈ A, а y ∈ B.
Соединим эти точки непрерывной кривой γ : [0, 1] → E, причём γ(0) = x, аγ(1) = y. Рассмотрим tA := sup {t ∈ [0, 1] : γ(t) ∈ A}. Если γ (tA ) лежит в B, то лежит там вместе с окрестностью.Так как прообраз открытого множества при непрерывном отображении открыт, то точка tA отображается в B6вместе со своей окрестностью в [0, 1], то есть интервалом. Но это противоречит определению tA . Если же tA ∈ A,то по аналогичным соображениям получаем противоречие с тем, что tA есть точная верхняя грань. Задача 1.3.
Докажите, что замыкание связного множества M связно.Решение. Допустим, что Cl M = A ⊔ B. Положим AM := A ∩ M , а BM := B ∩ M . В силу определенияиндуцированной топологии, множества AM и BM открыты в M . Они, очевидно, не пересекаются, поэтому одноиз них пусто, иначе M не было бы связным. Пусть, например, AM пусто. Тогда A не содержит точек из M иявляется открытым подмножеством в замыкании. Но это противоречит определению замыкания. Задача 1.4. Рассмотрим замыкание графика функции y = sin x1 , x > 0 на плоскости.
Это эквивалентнодобавлению отрезка [−1, 1] на оси Oу. В силу предыдущей задачи это множество связно. Докажите, что ононо не линейно связно.Итак, мы видим, что линейная связность — более сильное условие. Однако, как показывает следующаятеорема, для областей эти понятия равносильны.Теорема 1.7. Область D в Cn является линейно связным множеством.Рассмотрим произвольные точки x и y в области D и докажем, что их можно соединить кривой.Пусть E — множество тех точек, до которых можно дойти из точки x.
Оно непусто, так как x ∈ E, и открыто, так как если z ∈ E, то U (z) ⊂ D, а окрестность U линейно связна, поэтому U (z) ⊂ E. По аналогичнымсоображениям D r E открыто. Таким образом, мы разбили D на два непересекающихся открытых множества,что противоречит связности D. Теорема 1.8. Открытое множество в Cn разбивается на не более чем счётное число непересекающихсяобластей. Рассмотрим открытое множество E и разобьём его на классы эквивалентности относительно линейнойсвязности. Очевидно, что такое отношение будет симметричным, рефлексивным и транзитивным. Каждый классбудет областью.
В каждом классе, очевидно, есть точка с рациональными координатами, значит, самих классовне более чем счётное число. Замечание. Вообще говоря, следствие справедливо в полном сепарабельном метрическом пространстве.Определение. Континуумом называется связный компакт, состоящий более чем из одной точки.Утверждение 1.9. Континуум имеет мощность континуум, чем и оправдывает своё название.
Рассмотрим континуум K. Пространство Cn является полным пространством, а замкнутое подмножество полного пространства полно. Таким образом, K является полным метрическим пространством. Если Kне более чем счётно, то его можно представить в виде не более чем счётного объединения нигде не плотныхмножеств — его точек. Тогда K было бы множеством первой категории, но по теореме Бэра это невозможно. Определение. Область G называется n-связной, если ∂G распадается на n континуумов, и не распадаетсяна большее их число.Несложно придумать пример ограниченной области с бесконечным числом компонент границы. Возьмёмединичный круг и выкинем из него последовательность кругов радиуса 101n с центрами в точках 21n , n ∈ N.
Онизаведомо не пересекаются, и граница каждого из них является континуумом.Теорема 1.10 (Жордана). Любая замкнутая жорданова кривая разбивает плоскость на два непересекающихся множества, границей каждого из которых она является.Доказательства этой теоремы в нашем курсе не будет.1.1.8. Кривая Пеано и жорданова кривая положительной площадиКривая Пеано является отображением отрезка [0, 1] на квадрат [0, 1]2 . На рисунке показано 3 итерации еёпостроения. Каждая следующая итерация может быть получена из предыдущей таким образом: берём образпри n-й итерации, уменьшаем вдвое по каждому измерению, а затем 4 копии этого множества располагаем вовсех четвертях единичного квадрата. При этом первая копия поворачивается на − π2 , последняя — на π2 . Затемсоединяем отрезками соответствующие концы кусков кривой.
Параметризуется эта кривая очевидным образом:7отрезок [0, 1] дробится на 4n частей, каждая из которых параметризует прямолинейный кусочек кривой Пеано.010101Утверждение 1.11. На плоскости существует жорданова кривая кривая положительной площади.Честно говоря, я не понял, как оно там строится. Кроме того, не совсем ясно, почему получаемое множество вообще измеримо.Есть хорошая (но редкая) книжка «Контрпримеры в анализе», там есть этот пример, но её у меня в данный момент нет, и переписатьдоказательство неоткуда.1.1.9. Спрямляемые кривые.
Натуральная параметризацияОпределение. Длина кривой γ : [a, b] → C — это число|γ| := supnXk=1|γ(tk ) − γ(tk−1 )|,(9)где точная верхняя грань берётся по всем разбиениям отрезка [a, b] точками a = t0 , , . . . , tn = b.Определение. Говорят, что кривая спрямляема, если её длина конечна.Определение.
Говорят, что кривая γ имеет натуральную параметризацию, если [a, b] = [0, |γ|], и для любыхточек s1 и s2 выполнено неравенство|z(s1 ) − z(s2 )| 6 |s1 − s2 |.(10)Для «хороших» кривых у этого неравенства есть очень простой смысл: |ż(t)| ≡ 1.Куда более практичным является следующее определение натуральной параметризации:Определение.
Пусть γ : [0, L] → C. Параметризация называется натуральной, если для всякого s ∈ [0, L] длина ограничениякривой на отрезок [0, s] равна s.Определение. Две параметризации одной и той же кривой z(t1 ) : [α1 , β1 ] → C и z(t2 ) : [α2 , β2 ] → C назовёмэквивалентными, если существует непрерывнаяи строго монотонная функция θ : [α1 , β1 ] 7→ [α2 , β2 ], такая чтоθ(α1 ) = α2 , θ(β1 ) = β2 и z(t2 ) = z θ(t1 ) .Задача 1.5.
Доказать эквивалентное определение длины кривой:|γ| = limλT →0nXk=1|z(tk ) − z(tk−1 )|.(11)Задача 1.6. Доказать, что спрямляемая кривая имеет касательную почти всюду.Указание. Здесь нужно вспомнить два факта: во-первых, спрямляемая кривая — это функция ограниченнойвариации, и во-вторых, теорему из курса действительного анализа о том, что функции ограниченной вариациидифференцируемы почти всюду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
