К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1124202), страница 14
Текст из файла (страница 14)
С другой стороны, как мы видели в предыдущем пункте, в гамильтоновой формулировке принципа наименьшего действия функции p(t), заменяющиеобобщенные скорости q̇(t) лагранжева формализма, являются независимыми от функцийq(t). Этот факт позволяет расширить понятие преобразования переменных в гамильтоновом формализме, включив в него наряду с преобразованиями обобщенных координаттакже и преобразования обобщенных импульсов системы. Итак, в общем случае такоепреобразование имеет видQα = Qα (q, p, t) ,Pα = Pα (q, p, t) ,α = 1, ..., s ,(5.31)где q, p и Q, P – наборы старых и новых обобщенных координат и обобщенных импульсов,соответственно.
Поскольку преобразования (5.31) шире, чем обычные преобразования координат, с которыми мы имели дело в лагранжевом формализме, по отношению к нимуравнения движения уже не обязаны быть ковариантными. Если тем не менее данноепреобразование (5.31) не меняет вида уравнений движения, то оно называется каноническим. Таким образом, каноничность преобразования означает, что в новых переменныхQ, P уравнения движения имеют вид∂H 0, α = 1, ..., s ,∂Qα∂H 0, α = 1, ..., s ,Q̇α =∂PαṖα = −(5.32)(5.33)с некоторой новой функцией Гамильтона H 0 = H 0 (Q, P, t).Гамильтонова формулировка принципа наименьшего действия, изложенная в предыдущем пункте, дает возможность очень просто выделить один важный и широкий подкласс71Глава 5.
Канонический формализмканонических преобразований. Как мы видели, уравнения Гамильтона (5.32), (5.33) могутбыть получены из условия минимальности действия0S [Q(t), P (t)] =Zt2 ÃXs!0Pα Q̇α − H (Q, P, t) dt ,(5.34)α=1t1при условииQα (t1 ) = Q(1)α ,Qα (t2 ) = Q(2)α ,α = 1, ..., s .(5.35)Допустим, что нам удалось задать некоторое соотношение между двумя функционаламиS[q(t), p(t)] и S 0 [Q(t), P (t)], такое, что если S[q(t), p(t)] принимает минимальное значениена функциях q̄(t), p̄(t), то S 0 [Q(t), P (t)] принимает минимальное значение на функцияхQ̄(t), P̄ (t), связанных с q̄(t), p̄(t) соотношениями вида (5.31), и наоборот. Поскольку уравнения Гамильтона получаются именно из условия минимальности действия, то это означало бы, что при преобразовании (5.31) уравнения (5.5), (5.6) переходят в уравнения (5.32),(5.33), т.е.
как раз каноничность преобразования (5.31).Свяжем теперь функционалы S[q(t), p(t)] и S 0 [Q(t), P (t)] следующим соотношениемZt20S[q(t), p(t)] = S [Q(t), P (t)] +dF (q, Q, t)dt ,dt(5.36)t1с некоторой функцией F (q, Q, t) старых и новых обобщенных координат. Это соотношение задает желаемое соответствие между минимумами функционалов S[q(t), p(t)] иS 0 [Q(t), P (t)].
Действительно, второй член в его правой части можно переписать так:Zt2dF (q, Q, t)dt = F (q, Q, t)|tt21 = F (q (2) , Q(2) , t2 ) − F (q (1) , Q(1) , t1 ) .dt(5.37)t1В силу условий (5.27), (5.35) правая часть последнего равенства представляет собой некоторую фиксированную постоянную, значение которой не зависит от выбора виртуальнойтраектории на промежутке t ∈ [t1 , t2 ], и поэтому из минимальности действия S следуетминимальность S 0 , и наоборот.Равенство (5.36) будет выполняться для всех моментов времени t1 , t2 , только еслиподынтегральные выражения в обеих его частях тождественно совпадают:sXpα q̇α − H(q, p, t) =α=1sXPα Q̇α − H 0 (Q, P, t) +α=1dF (q, Q, t).dtПоследнее равенство может быть также переписано в виде соотношения для дифференциаловsXα=1pα dqα − H(q, p, t)dt =sXPα dQα − H 0 (Q, P, t)dt + dF (q, Q, t) .α=172(5.38)§5.3.
Канонические преобразованияПодставляя сюда выражение для дифференциала функции F (q, Q, t)¶s µX∂F∂F∂Fdqα +dQα +dt ,dF (q, Q, t) =∂q∂Q∂tααα=1и приравнивая коэффициенты при независимых дифференциалах dqα , dQα и dt, получимформулы перехода от набора переменных q, p к Q, P в виде∂Fpα =, α = 1, ..., s ,(5.39)∂qα∂FPα = −, α = 1, ..., s ,(5.40)∂Qα∂FH0 = H +.(5.41)∂tТаким образом, канонические преобразования рассматриваемого типа определяются заданием некоторой функции старых и новых обобщенных координат системы и времени,в связи с чем эту функцию называют производящей функцией канонического преобразования.То же самое преобразование можно также задать с помощью производящей функции,зависящей от старых координат и новых импульсов (и времени).
Для этого совершим втождестве (5.38) преобразование Лежандра от независимых переменных q, Q, t к независимым переменным q, P, t, написав тождественно в его правой частиPα dQα = d (Pα Qα ) − Qα dPα .ПолучимsXÃ(pα dqα + Qα dPα ) + (H 0 − H) dt = d F (q, Q, t) +α=1sX!P α Qα.(5.42)α=1Обозначим величину, стоящую под знаком полного дифференциала в правой части этоготождества через Φ и выразим ее через переменные q, P, t с помощью уравнений (5.39),(5.40):#"sXPα Qα.Φ(q, P, t) = F (q, Q, t) +α=1Q=Q(q,P,t)Подставляя выражение для дифференциала этой функции¶s µX∂Φ∂Φ∂ΦdΦ(q, P, t) =dqα +dPα +dt∂qα∂Pα∂tα=1в уравнение (5.42) и приравнивая коэффициенты при независимых дифференциалах dqα ,dPα , dt, получим формулы канонического преобразования в виде∂Φ, α = 1, ..., s ,(5.43)pα =∂qα∂ΦQα =, α = 1, ..., s ,(5.44)∂Pα∂Φ.(5.45)H0 = H +∂tАналогичным образом можно было бы задать переход q, p → Q, P помощью производящейфункции, зависящей от переменных p, Q или p, P.73Глава 5.
Канонический формализмПример 20. Точечные преобразования. Рассмотрим каноническое преобразование, задаваемое производящей функциейΦ(q, P, t) =sXfα (q)Pα ,(5.46)α=1где fα (q) – некоторые функции. По формулам (5.43) – (5.45) находимpα =sX∂fβ (q)β=1sX∂qαPβ ,α = 1, ..., s ,(5.47)sX∂PβQα =fβ (q)=fβ (q)δαβ = fα (q) ,∂Pαβ=1β=1α = 1, ..., s ,H0 = H .(5.48)(5.49)Уравнение (5.48) показывает, что канонические преобразования, порождаемые функциями вида (5.46) являются не чем иным, как обычными заменами обобщенных координатq → f (q), с которыми мы имели дело в лагранжевом формализме (их обычно называютточечными).Пример 21.
Гармонический осциллятор. Совершим каноническое преобразование переменных линейного гармонического осциллятора [см. пример 15], задаваемое производящей функциейmωx2F (x, Q, t) =ctg Q .2По формулам (5.39) – (5.41) находимp=∂F= mωx ctg Q ,∂xP =−∂Fmωx2 1=,∂Q2 sin2 QH0 = H .Отсюдаrx=2Psin Q ,mωp=√2P mω cos Q .(5.50)Подставляя эти выражения в старую функцию Гамильтона (5.8), получаем новую функцию Гамильтона в видеH 0 = ωP .Уравнения Гамильтона в новых переменныхṖ = −∂H 0= 0,∂QQ̇ =∂H 0= ω.∂PИх решением являетсяP = P0 ,Q = ωt + Q0 ,где P0 , Q0 – некоторые постоянные. Подставляя его в (5.50), получаем закон движения висходных координатахr2P0sin(ωt + Q0 ) .x(t) =mω74§5.4.
Бесконечно-малые преобразования§5.4.Бесконечно-малые канонические преобразованияЛюбое преобразование переменных, в том числе и каноническое, можно представитькак последовательность большого числа преобразований, каждое из которых близко ктождественному. Для таких преобразований многие формулы и доказательства существенно упрощаются, поскольку их можно проводить в дифференциальной форме. Например, если некоторое свойство системы остается неизменным при любых преобразованиях,близких к тождественному, то оно не изменится и при конечном преобразовании.Рассмотрим каноническое преобразование, задаваемое производящей функциейΦ(q, P, t) =sXqα Pα + φ(q, P, t) .α=1Согласно формулам (5.43) – (5.45)∂φ, α = 1, ..., s ,(5.51)∂qα∂φQα = qα +, α = 1, ..., s ,(5.52)∂Pα∂φH0 = H +.∂tВидно, что если функция φ(q, P, t) является малой, то старые и новые переменные малоотличаются друг от друга.
В этом случае формулы перехода можно переписать в компактном виде с помощью скобок Пуассона. Для этого заметим, что поскольку φ(q, P, t)мала, то пренебрегая величинами порядка O(φ2 ) ее аргумент P можно заменить на p.Например, производные ∂φ(q, P, t)/∂P можно заменить на ∂φ(q, p, t)/∂p . Тогда используяформулы (5.22), перепишем формулы перехода от старых переменных к новым в видеpα = Pα +Pα = pα + {φ, pα }q,p ,Qα = qα + {φ, qα }q,p ,α = 1, ..., s ,α = 1, ..., s ,(5.53)(5.54)где нижний индекс у скобок Пуассона указывает переменные, относительно которых ониопределены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
