К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1124202), страница 16
Текст из файла (страница 16)
По его истечении каждое состояние(q (1) , p(1) ) ∈ g перейдет в некоторое конечное состояние (q (2) , p(2) ), так что область g отобразится на некоторую новую область G фазового пространства системы (см. Рис. 10).Выясним, как соотносятся фазовые объемы этих областей. Для этого заметим, что соотношения (5.60), (5.61), (5.64), (5.65) эквивалентны следующему выражению для полногодифференциала действия как функции координат и времени:(1)(2)dS(q , t1 ; q , t2 ) =sX£¤p̄α (t2 )dqα(2) − p̄α (t1 )dqα(1) − H̄(t2 )dt2 + H̄(t1 )dt1 .(5.66)α=1Учитывая, что при фиксированном tdt2 = dt1 ,перепишем уравнение (5.66) в видеsXα=1p̄α (t1 )dqα(1)− H̄(t1 )dt1 =sXp̄α (t2 )dqα(2) − H̄(t2 )dt1 − dS(q (1) , t1 ; q (2) , t1 + t) .α=1(5.67)Поскольку конечное состояние системы однозначно определяется начальным, соответствие между точками областей g, G можно рассматривать как преобразование координат(q (1) , p(1) ) → (q (2) , p(2) ).
Сравнение уравнений (5.38) и (5.67) показывает тогда, что этопреобразование является каноническим с производящей функциейF (q (1) , q (2) , t1 ) = −S(q (1) , t1 ; q (2) , t1 + t) ,причем q (1) , p(1) играют роль старых обобщенных координат и обобщенных импульсов, аq (2) , p(2) – новых. С другой стороны, выше было доказано, что фазовый объем инвариантенотносительно канонических преобразований.
Таким образом, мы приходим к выводу, чтообъемы областей g и G равны, т.е. фазовый объем сохраняется при движении системы.Этот результат, называемый теоремой Лиувилля, играет важнейшую роль в статистической физике.80§5.5. Действие как функция координат и времениРис. 10: Эволюция области в фазовом пространстве в случае одномерной системы.D.Уравнение Гамильтона-ЯкобиСоотношения (5.60), (5.64) позволяют записать замкнутое уравнение для функцииS(q (1) , t1 ; q (2) , t2 ). Для этого зафиксируем момент времени t1 и начальные координаты q (1) ибудем рассматривать зависимость действия лишь от параметров t2 , q (2) , обозначая их длякраткости просто t, q.
Соответственно, обозначение S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 ) сократим до S(q, t).Поскольку в дальнейшем все величины вычисляются на действителной траектории, черта над q, p, H будет опускаться. Выражая аргументы p функции Гамильтона в правойчасти (5.64) через производные от действия с помощью (5.60), приходим к уравнениюГамильтона-Якоб赶∂S∂S+ H q,,t = 0.(5.68)∂t∂qУравнение (5.68) является нелинейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка для действия S(q, t), являющегося функцией от s+1 независимыхпеременных: s координат qα и времени t.
Оказывается, что уравнение Гамильтона-Якобивполне эквивалентно уравнениям Гамильтона (или Лагранжа), в том смысле что решениями этого уравнения определяется также и закон движения системы. Однако для этогоподходит далеко не всякое решение. Например, для свободной частицы уравнение (5.68)имеет такое малоинтересное решение: S(q, t) = A с произвольной постоянной A. Выделимнужный нам класс решений следующим определением: полным интегралом уравненияГамильтона-Якоби для системы с s степенями свободы называется его решение, содержащее ровно s + 1 независимых произвольных постоянных интегрирования.
Одной из этихпостоянных будет аддитивная постоянная, поскольку S входит в уравнение (5.68) толькочерез свои производные, так что если некоторое S(q, t) является его решением, то решением является и S 0 (q, t) = S(q, t)+A. Полный интеграл будем обозначать через S(q, C, t)+A,где C = {Cα } , α = 1, ..., s есть набор s независимых произвольных постоянных.Покажем теперь каким образом можно найти закон движения системы, если известенполный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби.
Для этого совершим каноническое преобразование переменных q, p → Q, P, выбрав в качестве производящей функции Φ(q, P, t) =81Глава 5. Канонический формализмS(q, P, t). Другими словами, функциональная зависимость действия от Cα , α = 1, ..., sрассматривается как зависимость от новых обобщенных импульсов Pα , α = 1, ..., s. Такое рассмотрение допустимо, т.к. постоянные Cα по условию независимы и произвольны.Тогда согласно формулам перехода (5.43) – (5.45) получим∂S, α = 1, ..., s ,∂qα∂SQα =, α = 1, ..., s ,∂Pα∂SH0 = H +.∂tpα =(5.69)(5.70)(5.71)Но поскольку S удовлетворяет уравнению (5.68), то новая функция Гамильтона H 0 ≡ 0.Поэтому уравнения Гамильтона в новых переменных Q, P имеют следующий простой вид∂H 0= 0,∂Qα∂H 0Q̇α == 0.∂PαṖα = −(5.72)(5.73)Из уравнения (5.72) следует постоянство новых импульсов Pα , α = 1, ..., s (эти постоянныемы будем по-прежнему обозначать через Cα ), а из уравнения (5.73) – постоянство новыхкоординат Qα , α = 1, ..., s .
Учитывая это обстоятельство, вернемся снова к уравнениям(5.69) – (5.70). Первое из этих уравнений воспроизводит соотношение (5.60), определяющее обобщенные импульсы в данной точке траектории по действию системы. Второеже связывает обобщенные координаты системы и время, т.е. определяет закон движениясистемы.Итак, формулируем общий алгоритм решения основной задачи механики методомГамильтона-Якоби.a. По функции Лагранжа системы построить ее функцию Гамильтона [см.
§5.1].b. С помощью найденной функции Гамильтона записать уравнение Гамильтона-Якоби(5.68).c. Найти решение этого уравнения S(q, C, t) + A, содержащее независимые произвольные постоянные C (помимо аддитивной постоянной A) в числе, равном числу степеней свободы системы.d.
Продифференцировать найденную функцию S(q, C, t) по произвольным постояннымC, приравнивая результаты дифференцирования новым произвольным постояннымQ:∂S(q, C, t)= Qα∂Cα82α = 1, ..., s .(5.74)§5.5. Действие как функция координат и времениE.Разделение переменных в уравнении Гамильтона-ЯкобиПолный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби может быть найден в квадратурах вслучае так называемых систем с разделяющимися переменными. Перепишем уравнение(5.68) схематически в вид嵶∂S∂S ∂SF q1 , ..., qs , t,, ...,,= 0.(5.75)∂q1∂qs ∂tПредположим, что какая-либо из независимых переменных, скажем q1 , входит в это уравнение вместе с соответствующей производной ∂S/∂q1 в некоторой комбинации, не содержащей явно других переменных (неявно в S входят все переменные). Это означает, чтоуравнение (5.75) имеет специальный видµ µ¶¶∂S∂S∂S ∂SF f q1 ,, q2 , ..., qs , t,, ...,,= 0.(5.76)∂q1∂q2∂qs ∂tВ этом случае говорят, что переменная q1 отделяется.
Тогда решение уравненияГамильтона-Якоби можно искать в видеS(q, t) = S1 (q1 ) + S 0 (q2 , ..., qs , t) .Подставляя это выражение в уравнение (5.76), получаемµ µ¶¶dS1∂S 0 ∂S 0∂S 0F f q1 ,, ...,,= 0., q2 , ..., qs , t,dq1∂q2∂qs ∂t(5.77)(5.78)В результате в уравнении Гамильтона-Якоби выделилась комбинация f (q1 , dS1 /dq1 ) , которая ни явно, ни неявно не содержит переменные q2 , ..., qs , t. Поскольку же все переменные q1 , ..., qs , t в уравнении Гамильтона-Якоби являются независимыми, то равенство(5.78) может выполняться только в том случае, когда эта комбинация тождественно равнанекоторой постоянной:µ¶dS1f q1 ,= C1 .(5.79)dq1Уравнение (5.79) является уже обыкновенным дифференциальным уравнением первогопорядка, которое может быть решено в квадратурах.
Уравнение же (5.78) принимает ви䵶∂S 0 ∂S 0∂S 0F C1 , q2 , ..., qs , t,, ...,,= 0.(5.80)∂q2∂qs ∂tЭто уравнение имеет тот же вид, что и исходное уравнение (5.75), но содержит на однунезависимую переменную меньше. Может оказаться, что в уравнении (5.80) некоторая изпеременных q2 , ..., qs , t снова отделяется. Тогда к ней следует применить описанную вышепроцедуру. Если таким образом удается отделить все переменные, то в результате мыполучаем решение уравнения Гамильтона-Якоби в видеS = A + S0 (t) +sXSα (qα , C) ,(5.81)α=1содержащее s + 1 независимых произвольных постоянных A, Cα , α = 1, ..., s, т.е.
полныйинтеграл.83Глава 5. Канонический формализмПример 22. Движение в поле электрического диполя. Рассмотрим заряженную материальную точку, движущуюся в поле системы зарядов на расстояниях, больших по сравнениюс характерными размерами системы. Даже если система является в целом электрическинейтральной, на точку будет действовать некоторая сила благодаря тому, что кулоновыполя частиц, составляющих систему, не вполне компенсируют друг друга. Например, придвижении электрона в поле молекулы H Cl электрон будет притягиваться к молекуле,облетая ее со стороны атома водорода, и отталкиваться со стороны атома хлора. Определим потенциал поля такой системы.
Выберем начало декартовой системы координатгде-нибудь внутри системы и обозначим через ri , i = 1, ..., n радиус-векторы составляющих ее частиц, а через r – радиус-вектор материальной точки. По условию,|r| À |ri | ,i = 1, ..., n .Используя это неравенство, кулонов потенциал i-ой частицы в точке r можно приближенно написать как (qi – ее заряд)ϕi =qiqiqiqq (r, r )qi¶≈ i+ i 3 i .=p≈ r≈ µ2(r, ri )|r − ri |rr(r − ri )2(r, ri )r 1−r 1−2rr2nPСуммируя по всем частицам и учитывая электронейтральность системы ( qi = 0), поi=1лучаемnX(d, r)ϕ=,d=qi ri .r3i=1Вектор d называется дипольным моментом системы. Найдем закон движения точки вслучае, когда d не зависит от времени.
Выберем сферическую систему координат с началом в точке r = 0 и полярной осью, направленной параллельно вектору d. Тогда функцияЛагранжа материальной точки будет иметь вид´ qd cos θm³ 22222 2L=ṙ + r sin θ φ̇ + r θ̇ −, d ≡ |d|(5.82)2r2(q – ее заряд). Отсюда находим обобщенные импульсы и обобщенную энергию точки∂L∂L∂L= mṙ , pφ == mr2 sin2 θ φ̇ , pθ == mr2 θ̇ ,∂ ṙ∂ φ̇∂ θ̇´ qd cos θm³ 2.E =ṙ + r2 sin2 θ φ̇2 + r2 θ̇2 +2r2pr =(5.83)Выражая обобщенные скорости через обобщенные импульсы и подставляя результат вобобщенную энергию, находим функцию Гамильтонඵp2φp2θqd cos θ12.H=pr + 2 2 + 2 +2mr2r sin θ rНаконец, по функции Гамильтона записываем уравнение Гамильтона-Якоби(µ ¶µ ¶2 )µ ¶22111 ∂S∂S∂S∂Sqd cos θ++ 2 2+ 2= 0.+∂t2m∂rr∂θr2r sin θ ∂φ84(5.84)§5.5.
Действие как функция координат и времениПеременные t, φ входят в это уравнение лишь через производные ∂S/∂t, ∂S/∂φ. В соответствии с методом разделения переменных ищем решение в видеS = S1 (t) + S2 (φ) + S 0 (r, θ)и приходим к уравнениямdS1= C1 ,dtdS2= C2 ,dφ(µ¶2¶2 )µC22qd cos θ1∂S 01 ∂S 0+ 2 2 + 2+C1 += 0.2m∂r∂θr2r sin θ rПервые два из этих уравнений интегрируются тривиально:S1 = C 1 t ,S2 = C2 φ .Перепишем последнее уравнение в виде"#µ 0 ¶2µ 0 ¶21C22∂S∂S+ 2++ 2mqd cos θ = 0 .2mC1 +∂rr sin2 θ∂θИз этой записи видно, что переменная θ отделяется, поэтому мы полагаемS 0 = S3 (θ) + S4 (r)и получаем уравненияC22+sin2 θµdS3dθ¶2+ 2mqd cos θ = C3 ,µ¶2dS4C32mC1 ++ 2 = 0.drrИх решения имеют видZθS3 =r± C3 − 2mqd cos θ −θ0Zrr± −2mC1 −S4 =C22dθ ,sin2 θC3dr .r2r0Итак, мы нашли решение уравнения Гамильтона-Якоби в видеrZθS = A + C1 t + C2 φ +±C22C3 − 2mqd cos θ −dθ +sin2 θθ0rZr±−2mC1 −C3dr .
(5.85)r2r0Это решение содержит произвольные постоянные A, C1 , C2 , C3 , θ0 , r0 . Однако изменениеθ0 , r0 эквивалентно переопределению A, так что независимыми являются лишь постоянные A, C1 , C2 , C3 . Их число равно числу степеней свободы материальной точки плюс85Глава 6. Канонический формализмодин, следовательно, выражение (5.85) представляет собой полный интеграл уравнения(5.84). Определим знаки, с которыми следует брать корни в этом решении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
