К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1124202), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Выбрав в качестве обобщенных координат X, Y, φ, θ, ψ, выражаем функцию Лагранжа черезобобщенные координаты и скорости³´oµ Ẋ 2 + Ẏ 2 + l2 θ̇2 sin2 θ1n222200Ix (φ̇ sin θ + θ̇ ) + Iz (φ̇ cos θ + ψ̇) − µgl cos θ .L =+22(4.51)Координаты X, Y, φ, ψ – циклические. Соответствующие сохраняющиеся обобщенные импульсы имеют вид∂L= µẊ ,∂ Ẋ∂LpY == µẎ ,∂ Ẏ∂Lpφ == Ix0 φ̇ sin2 θ + Iz0 (φ̇ cos θ + ψ̇) cos θ ,∂ φ̇∂L= Iz0 (φ̇ cos θ + ψ̇) .pψ =∂ ψ̇pX =(4.52)(4.53)(4.54)(4.55)Функция Лагранжа (4.51) также не зависит от времени явно, поэтому сохраняется обобщенная энергия´³oµ Ẋ 2 + Ẏ 2 + l2 θ̇2 sin2 θ1n+Ix0 (φ̇2 sin2 θ + θ̇2 ) + Iz0 (φ̇ cos θ + ψ̇)2 + µgl cos θ .E=22(4.56)Смысл законов сохранения (4.52) – (4.55) тот же, что и в случае свободного волчка.
Вотличие от последнего, однако, при наличии поля тяжести сохраняется не весь вектор M ,а лишь его проекция на ось z.59Глава 4. Интегрирование уравнений движенияИтак, мы имеем систему из пяти интегралов движения для пяти неизвестных функцийX(t), Y (t), φ(t), θ(t), ψ(t).Перейдем к интегрированию этой системы. Как и в случае свободного волчка, мыдля простоты исключим поступательное движение волчка, перейдя в систему отсчета, вкоторой pX = pY = 0 (и потому X(t) = X(t0 ), Y (t) = Y (t0 )).
Из уравнения (4.55) следует,что второй член в фигурных скобках в выражении для E есть постоянная, равная p2ψ /Iz0 .Далее, из уравнений (4.54), (4.55) имеемpφ = Ix0 φ̇ sin2 θ + pψ cos θ .(4.57)Выражая отсюда φ̇ и подставляя в уравнение (4.56), получимIx0 + µl2 sin2 θ 2E =θ̇ + Ueff (θ) ,2(pφ − pψ cos θ)2Ueff (θ) =+ µgl cos θ ,2Ix0 sin2 θ0E0 = E −p2ψ.2Iz0Разделение переменных в этом уравнении даетpIx0 + µl2 sin2 θ dθdt = ± √ p,2 E 0 − Ueff (θ)(4.58)(4.59)откуда интегрированием получаемZθ pIx0 + µl2 sin2 θ dθt − t0 =,√ p± 2 E 0 − Ueff (θ)θ0 = θ(t0 ) .(4.60)θ0Знак + (−) в правой части этой формулы берется на участках траектории, на которыхθ̇ > 0 (θ̇ < 0).
Далее, разделяя переменные φ и t в уравнении (4.57), и используя равенство(4.59), находимp(pφ − pψ cos θ)dt(pφ − pψ cos θ) Ix0 + µl2 sin2 θ dθ,(4.61)dφ ==√ pIx0 sin2 θIx0 sin2 θ± 2 E 0 − Ueff (θ)откудаZθφ − φ0 =θ0p(pφ − pψ cos θ) Ix0 + µl2 sin2 θ dθ,√ pIx0 sin2 θ± 2 E 0 − Ueff (θ)φ0 = φ(t0 ) .(4.62)Наконец, разделение переменных в уравнении (4.55) с учетом уравнения (4.61) даетpψψ − ψ0 =(t − t0 ) −Iz0Zθθ0p(pφ − pψ cos θ) cos θ Ix0 + µl2 sin2 θ dθ,√ pIx0 sin2 θ± 2 E 0 − Ueff (θ)ψ0 = ψ(t0 ) .Формулы (4.60), (4.62) и (4.63) определяют закон движения волчка в квадратурах.60(4.63)§4.3. Движение твердого телаРис.
9: Возникновение приливного бугра на Земле под влиянием гравитационного поля Луны.Угловая скорость вращения Земли Ω⊕ больше угловой орбитальной скорости Луны ω, поэтомубугор смещается от линии Земля-Луна в направлении вращения Земли.Пример 14. Влияние приливных сил на движение системы Земля-Луна. Если бы силы тяготения между планетами были строго центральными (зависящими лишь от положенияих центров масс), приближение, в котором планеты рассматриваются как материальныеточки, было бы точным. Однако в действительности имеются отклонения от центральности, связанные с тем, что распределения масс в планетах не являются строго сферическисимметричными.
Одной из причин этой несимметричности являются сами силы тяготениямежду планетами, приводящие к тому, что взаимодействующие планеты слегка вытягиваются в направлении, соединяющем их центры. Примером такого рода влияния Лунына Землю являются морские приливы. Из-за того, что скорость вращения Земли большеугловой орбитальной скорости Луны, приливный бугор несколько смещается от направления Земля-Луна в направлении вращения Земли, поскольку массам воды для перемещения требуется некоторое время. Получающаяся конфигурация показана схематически наРис. 9.
Сила тяготения Луны, действующая на приливный бугор, стремится вернуть егона линию Земля-Луна. Возникающая своеобразная “сила трения,” называемая приливнойсилой, тормозит вращение Земли. Однако поскольку сила тяготения является потенциальной, это трение не приводит к уменьшению полной механической энергии или полногомомента импульса системы.
Исходя только лишь из этих законов можно ответить на интересный вопрос о том, как будет двигаться система, когда приливные силы полностьюзатормозят относительное вращение Земли и Луны, т.е. когда угловые скорости их вращения сравняются. Сделаем это, предполагая для простоты, что орбиты тел являютсякруговыми, а оси их вращения перпендикулярны плоскости орбиты. Для этого запишемвыражение сохраняющегося момента импульса системы.
Он складывается из моментаимпульса орбитального движения тел и момента импульса их вращения. Орбитальныймомент импульса находим по формуле (3.16) задачи двух тел:Morb = mr2 ω ,(4.64)где m обозначает приведенную массу системыm=m⊕ mL,m⊕ + mLа ω – угловая скорость вращения вектора r = rL − r⊕ ; нижние индексы ⊕, L относятся кЗемле и Луне, соответственно. По условию задачи моменты импульса вращения Земли и61Глава 5. Интегрирование уравнений движенияЛуны перпендикулярны плоскости орбиты и, согласно формуле (4.40), по величине равныM⊕ = I⊕ Ω⊕ ,ML = IL ΩL .(4.65)При вычислении моментов инерции Земли и Луны их можно считать шаровыми волчками, поскольку изменение распределения массы планеты под действием приливных силотносительно малó.
Таким образом, полный момент импульса системы равенM = mr2 ω + I⊕ Ω⊕ + IL ΩL = const .(4.66)С другой стороны, поскольку изменение орбит под действием приливных сил происходиточень медленно, движение системы на каждом витке хорошо описывается решением задачи двух тел, полученным в §3.3. Подставляя T = 2π/ω, a = r, |α| = Gm⊕ mL в формулу(3.38), получаемrG(m⊕ + mL )ω=,r3откуда следует, что текущие значения параметров ω, r связаны с их конечными значениями ω 0 , r0 соотношением, аналогичным третьему закону Кеплераµ 0 ¶2 ³ ´ωr 3= 0 .(4.67)ωrУчитывая, что в конечном состоянииω 0 = Ω0L = Ω0⊕ ,находим из уравнения (4.66)¡¢mr2 ω + I⊕ Ω⊕ + IL ΩL = ω 0 mr02 + I⊕ + IL .Подставляя сюда r0 из уравнения (4.67), получаем уравнение для конечной угловой скорост赶³ ω ´4/3202mr ω + I⊕ Ω⊕ + IL ΩL = ω mr+ I⊕ + IL .(4.68)ω0Используя формулу (4.45) и учитывая, что масса Луны примерно в восемьдесят раз меньше массы Земли, а ее радиус – почти в четыре раза меньше земного, пренебреаем IL посравнению с I⊕ , полагаем m ≈ mL и переписываем уравнение (4.68) в вид嵶¶2 µ2m⊕ R⊕Ω⊕− x = x−1/3 ,(4.69)1+5mLrωгде x = ω 0 /ω, причем нас интересуют решения x < 1 (т.к.
приливные силы замедляютвращение). Текущие значения параметров, входящих в это уравнения, таковы:m⊕= 81 ,mLΩ⊕= 27 ,ωR⊕= 1/60 .rПри этих значениях решением уравнения (4.69) является x ≈ 0, 53, т.е. продолжительность земных суток составит 1месяц/0, 53 ≈ 27 · 24 часа/0, 53 ≈ 1220 часов. При этомr0 = rx−2/3 ≈ 1, 53r.62§5.1. Уравнения ГамильтонаГлава 5.§5.1.КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМУравнения ГамильтонаОсновной величиной, определяющей механические свойства систем в формализмеЛагранжа, является функция Лагранжа L(q, q̇, t).
В рамках самой классической механикиэта функция не имеет непосредственного физического смысла. Для решения ряда задачклассической механики, а также при формулировке перехода к квантовой теории удобноработать с величинами, более тесно связанными с механическими свойствами систем. Оказывается, что уравнения движения механики можно представить в виде, в котором рольосновной величины, определяющей механические свойства системы, играет обобщеннаяэнергия системы, а в качестве независимых переменных используются обобщенные координаты и обобщенные импульсы системы. Математически такой переход осуществляетсяс помощью так называемого преобразования Лежандра, которое состоит в следующем.Построим полный дифференциал функции ЛагранжаssXX∂L∂L∂LdL(q, q̇, t) =dqα +dq̇α +dt .∂qα∂ q̇α∂tα=1α=1(5.1)Величина ∂L/∂ q̇α есть, по определению, обобщенный импульс pqα , соответствующий обобщенной координате qα . Для краткости, обозначение pqα будет сокращаться ниже до pα .С этим обозначением, а также с помощью уравнений Лагранжа равенство (5.1) можнопереписать так:dL(q, q̇, t) =sXṗα dqα +α=1sXpα dq̇α +α=1∂Ldt .∂t(5.2)Правая часть уравнения (5.2) содержит дифференциалы независимых переменных q, q̇ иt.
Для того чтобы перейти от этого набора к новому набору независимых переменныхq, p, t, напишем тождественноpα dq̇α = d(pα q̇α ) − q̇α dpα ,α = 1, ..., sи представим уравнение (5.2) в видеà s!ssXXX∂Ldt .dpα q̇α − L(q, q̇, t) = −ṗα dqα +q̇α dpα −∂tα=1α=1α=1(5.3)Тот факт, что правая часть этого тождества содержит дифференциалы переменных q, p, tозначает, что величина, стоящая в его левой части под знаком полного дифференциала,также может быть выражена как функция этого набора переменных. В соответствии сопределением (2.13), эта величина численно совпадает с обобщенной энергией системы.Выраженная через обобщенные координаты и импульсы (и время), она называется функцией Гамильтона системы и обозначается через H(q, p, t). Таким образом, по определению, при построении функции Гамильтона переменные q, p рассматриваются как независимые переменные, аналогично тому, как в функции Лагранжа независимыми являютсяпеременные q, q̇.
Для того чтобы получить эту функцию, следует разрешить определение63Глава 5. Канонический формализмp = ∂L/∂ q̇ относительно q̇ и подставить результат в функцию E(q, q̇, t):à s!¯¯X¯H(q, p, t) =pα q̇α − L(q, q̇, t) ¯.¯α=1q̇=q̇(p,q)Расписав явно полный дифференциал функции H(q, p, t) в левой части (5.3), получимsX∂Hα=1sssXXX∂H∂H∂Ldqα +dpα +dt = −ṗα dqα +q̇α dpα −dt .∂qα∂p∂t∂tαα=1α=1α=1(5.4)Приравнивая коэффициенты при дифференциалах независимых переменных в этом тождестве, находим следующие уравнения∂H, α = 1, ..., s ,∂qα∂Hq̇α =, α = 1, ..., s ,∂pα∂H∂L= −.∂t∂tṗα = −(5.5)(5.6)(5.7)Уравнения (5.5), (5.6) представляют собой систему 2s дифференциальных уравнений первого порядка для 2s функций qα (t), pα (t), α = 1, ..., s, которые заменяют s уравнений второго порядка (1.16) лагранжева формализма.
Эти уравнения называются уравнениямиГамильтона или каноническими уравнениями.A.Интегрирование уравнений ГамильтонаДля нахождения закона движения системы необходимо проинтегрировать дифференциальные уравнения (5.5), (5.6). Так же как и в формализме Лагранжа, для этого надосначала исследовать систему на наличие законов сохранения. Если пространство однородно или изотропно по каким-либо направлениям, следует выписать соответствующиезаконы сохранения (2.5), (2.8), выразив левые их части через обобщенные координаты иобобщенные импульсы. В таком виде они будут представлять интегралы уравнений Гамильтона.
В случае однородности задачи по времени следует записать закон сохраненияобобщенной энергии (2.13). Как мы знаем, признаком сохранения обобщенной энергии является равенство нулю частной производной ∂L/∂t. Из уравнения (5.7) следует, что приэтом и ∂H/∂t = 0. Таким образом, если функция Гамильтона системы не зависит явно отвремени, то имеет место закон сохраненияH(q, p) = const .Найденные законы сохранения следует дополнить уравнениями из набора (5.5), (5.6) так,чтобы в результате получить 2s независимых уравнений для 2s функций qα (t), pα (t), α =1, ..., s и проинтегрировать полученную систему уравнений.64§5.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
