К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1124202), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Эта энергия меняется как при изменении расстояний между атомами (соответствующие колебанияназываются валентными), так и при изменении углов между различными валентнымисвязями (такие колебания называют деформационными). Поэтому в рассматриваемом случае молекулы CO2 U (r) имеет видU (r) = U (|r1 − r2 |, |r3 − r2 |, α) ,где α есть угол между векторами r1 − r2 и r2 − r3 . В окрестности положения равновесияфункция U (|r1 − r2 |, |r3 − r2 |, α) квадратична по малым приращениям ее аргументов.Поэтому сами эти приращения достаточно найти в первом порядке по малым величинамui .
Имеемq00|r1 − r2 | = |(r1 − r2 ) + (u1 − u2 )| = [(r10 − r20 ) + (u1 − u2 )]2r2(r10 − r20 , u1 − u2 )(r10 − r20 , u1 − u2 )≈l 1+≈l+= l + x2 − x1 .(4.31)l2lАналогично,|r2 − r3 | = l + x3 − x2 .Далее, при малых деформациях молекулы угол α мал, и поэтомуα≈y1 − y2 y3 − y2+.llРазложение функции U по малым xi , yi , α содержит, вообще говоря, всевозможные произведения: (x1 −x2 )2 , (x1 −x2 )(x2 −x3 ), (x1 −x2 )α и т.д. Однако для простоты мы рассмотримслучай, когда потенциальные энергии валентных связей C − O независимы друг от друга, а также от потенциальной энергии деформационных колебаний. Это означает, что вразложении функции U (r) = U (|r1 − r2 |, |r3 − r2 |, α) отсутствуют перекрестные члены(x1 − x2 )(x2 − x3 ) и т.д., т.е.kκl2 α2k,U = U (l, l, 0) + (x1 − x2 )2 + (x3 − x2 )2 +222где k, κ – некоторые положительные константы.50§4.2.
Колебания молекулТак как имеется три уравнения связей (4.28) – (4.30), то из шести переменныхx1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3 только три являются независимыми. Выберем в качестве обобщенныхкоординат x1 , x3 и y1 . Тогда остальные переменные выражаются через обобщенные координаты из уравнений связи:x2 = −m(x1 + x3 ),My3 = y1 ,y2 = −2my1.MПодставляя их в функцию ЛагранжаL=m(ẋ21 + ẏ12 + ẋ23 + ẏ32 ) M (ẋ22 + ẏ22 )+−U,22получаем функцию Лагранжа малых колебаний молекулы:µ¶µ¶2m³m´ 2m22m2m22L =1+(ẋ1 + ẋ3 ) +ẏ1 − 2κ 1 +y12ẋ1 ẋ3 + m 1 +2MMMM½¾k2m ³2km ³m´m´−1+1+(x21 + x23 ) −1+x 1 x3 .(4.32)2MMMMКак видно, функция Лагранжа представляется суммой двух функций, зависящих либотолько от y1 и ẏ1 , либо от x1 , x3 , ẋ1 , ẋ3 .
Это – следствие предположения о независимостивалентных и деформационных колебаний. Поэтому общее решение уравнений движенияпо этим двум наборам переменных можно искать независимо друг от друга. Рассмотримсперва уравнение движения по переменной y1 . Имее쵶µ¶2∂L2m∂L2m= 2m 1 +ẏ1 ,= −4κ 1 +y1 ,∂ ẏ1M∂y1Mпоэтому уравнение Лагранжа имеет видµ2mmÿ1 + 2κ 1 +M¶y1 = 0 .Общее решение этого уравнения естьy1 (t) = C (1) cos(ω1 t + φ(1) ) ,где C (1) и φ(1) – произвольные амплитуда и фаза, аsµ¶2κ2mω1 =1+mM– частота колебания.
Таким образом, частное решение уравнений движения, описывающеедеформационное колебание молекулы CO2 , имеет вид x1 (t)0x3 (t) = C (1) 0 cos(ω1 t + φ(1) ) .y1 (t)151Глава 4. Интегрирование уравнений движенияРассмотрим теперь валентные колебания. Матрицы кинетической и потенциальнойэнергий имеют следующий ви䵶µ¶mρ m2 /Mk(1 + 2mρ/M )2kmρ/Mmαβ =, kαβ =,m2 /M mρ2kmρ/Mk(1 + 2mρ/M )где ρ = 1 + m/M. Характеристическое уравнение имеет ви䵶−mρω 2 + k(1 + 2mρ/M ) −m2 /M ω 2 + 2kmρ/Mdet= 0,−m2 /M ω 2 + 2kmρ/M −mρω 2 + k(1 + 2mρ/M )или−mρω 2 + k(1 + 2mρ/M ) = ±(−m2 /M ω 2 + 2kmρ/M ) .Отсюда находим собственные частотыrkω2 =,mrω3 =k(2m + M ).mMЭти частоты различны, т.е. система невырождена.
Применяя формулу (4.13), находимчастные решения, соответствующие частотам ω2,3 x1 (t)1x1 (t)1x3 (t) = C (2) −1 cos(ω2 t + φ(2) ) , x3 (t) = C (3) 1 cos(ω3 t + φ(3) )y1 (t)0y1 (t)0с произвольными амплитудами C (2) , C (3) и фазами φ(2) , φ(3) . Таким образом, общее решение уравнений движения, описывающее колебания молекулы CO2 в плоскости x, y имеетвид x1 (t)011x3 (t) = C (1) 0 cos(ω1 t + φ(1) ) + C (2) −1 cos(ω2 t + φ(2) ) + C (3) 1 cos(ω3 t + φ(3) ) .y1 (t)100Как было указано выше, линейная молекула может совершать одновременно колебания в двух плоскостях, пересекающихся по оси, проходящей через положения равновесияатомов.
В рассматриваемом случае четвертым независимым нормальным колебанием является деформационное колебание в плоскости x, z. Соответствующее решение получится,если в вышеприведенных формулах заменить y на z.52§4.3. Движение твердого тела§4.3.Движение твердого телаЕсли в условиях данной задачи движение системы материальных точек таково, чтоизменением взаимных расстояний между этими точками можно пренебречь, то такуюсистему называют твердым телом. Исследуем движение твердого тела, следуя общемуалгоритму применения лагранжева формализма, указанному в начале главы 3.A. Определим число степеней свободы твердого тела. Зафиксируем какую-либо еготочку. Для этого требуется задать три ее пространственные координаты (например, декартовы).
После этого зафиксируем какую-либо другую точку тела. Поскольку расстояния между всеми точками тела фиксированы, то для этого потребуется задать две еекоординаты (например, два угла, определяющие направление вектора, соединяющего выбранные точки). Наконец, если в твердом теле имеются точки, не принадлежащие прямой,проходящей через первые две точки, то остающийся произвол в их положении соответствует поворотам вокруг указанной прямой, для фиксации которого необходимо задатьодин параметр, например, угол поворота. Таким образом, в этом случае число степенейсвободы твердого тела s = 3 + 2 + 1 = 6.
Если же все точки твердого тела лежат на однойпрямой, то число степеней свободы такого тела s = 3 + 2 = 5.B. Выберем теперь обобщенные координаты твердого тела. Для описания поступательного движения твердого тела удобно ввести радиус-вектор центра инерции тела, R. Запервые три обобщенные координаты мы примем декартовы компоненты R в некоторойинерциальной системе отсчета (которую мы будем называть неподвижной). Для описания же его вращательного движения определим три угловых координаты следующимобразом. Введем подвижную систему отсчета, жестко связанную с твердым телом, а вней – декартову координатную систему, начало которой поместим в центре инерции тела,а направления координатных осей выберем пока произвольно.
Оси подвижной системыбудем отличать штрихом, (x0 , y 0 , z 0 ). Любую данную ориентацию твердого тела можно получить из некоторой исходной, поворачивая подвижную систему координат относительнонеподвижной. При этом удобно считать, что центры обеих систем совпадают.
Этого всегда можно добиться с помощью параллельных переносов подвижной системы, посколькутакие переносы не меняют ее ориентации. Пусть исходной является ориентация, когда координатные оси обеих систем совпадают. Тогда повернем подвижную систему 1) вокругоси z на угол φ, затем 2) вокруг нового направления оси x0 на угол θ и, наконец, 3) вокругнового направления оси z 0 на угол ψ (см. Рис. 8). Все повороты производятся по правилуправого винта.
Определенные таким образом углы (φ, θ, ψ) называются углами Эйлера.C. Для того чтобы вычислить полную производную по времени от функцииri (R, φ, θ, ψ), i = 1, ..., N, удобно ввести вектор ρi = ri − R, соединяющий центр масстела с его i-ой материальной точкой. Поскольку расстояния между точками твердого тела неизменны, то вектор ρi остается постоянным по величине при движении твердоготела, меняя лишь свое направление.
Обозначим через dϕ бесконечно малый вектор, направленный по оси поворота тела в данный момент времени, и по величине равный углуповорота за промежуток времени dt. Тогда согласно формуле (2.6) изменение вектора ρiза это время естьdρi = [dϕ, ρi ] .Подставляя ρi = ri − R в левую часть этого равенства и деля его на dt, получаемṙi = Ṙ + [Ω, ρi ] ,53(4.33)Глава 4. Интегрирование уравнений движенияРис. 8: Определение ориентации твердого тела с помощью углов Эйлера. Пунктирная линия –линия узлов.гдеΩ≡dϕ.dt(4.34)Вектор Ω называется угловой скоростью вращения твердого тела. В формуле (4.33) векторы ρi должны быть еще выражены через обобщенные координаты φ, θ, ψ, а вектор Ω –через φ, θ, ψ и обобщенные скорости φ̇, θ̇, ψ̇.Теперь с помощью формулы (4.33) выразим кинетическую энергию твердого тела черезṘ, Ω.
ИмеемT =NXmi ṙ 2ii=12µṘ2=+2где µ =NPÃ=NXmi Ṙ2i=1[Ṙ, Ω],2NX+NXmi (Ṙ, [Ω, ρi ]) +i=1!mi ρii=1+NXmi [Ω, ρi ]2i=1NXmi [Ω, ρi ]2i=12,2(4.35)mi есть полная масса тела. Второй член в этой формуле тождественно равенi=1нулю, поскольку начало подвижной системы выбрано в центре инерции тела, так что54§4.3. Движение твердого телаNPmi ρi = 0. Третий же член можно переписать так:i=1NXmi [Ω, ρi ]2i=12NN3oXª Xmi © 2 2mi X nβαβ 2α2Ωα Ωβ δ ρi − Ωα ρi Ωβ ρi=Ω ρi − (Ω, ρi ) ≡22 α,β=1i=1i=13NnoX1 X=Ωα Ωβmi δ αβ ρ2i − ραi ρβi ,2 α,β=1i=1(4.36)где греческие индексы нумеруют декартовы компоненты векторов Ω и ρi , а δ αβ – единичная матрица. Эти индексы помещены сверху для удобства записи.
Поскольку кинетическая энергия выражается через скалярные произведения векторов Ω и ρi , то не имеетзначения в какой системе вычисляются их проекции на оси координат. Однако в неподвижной системе проекции векторов ρi изменяются со временем из-за вращения тела,тогда как в подвижной системе они фиксированы. Поэтому в этой системе матрицаIαβ=NXnmi δαβρ2i−ραi ρβio(4.37)i=1постоянна и, в частности, не зависит от обобщенных координат. Эта матрица называетсятензором моментов инерции тела и является основной его механической характеристикой.
Итак, кинетическая энергия твердого тела принимает вид3µṘ2 1 X αβT =+I Ωα Ωβ ,22 α,β=1(4.38)где индексы α, β нумеруют оси подвижной системы координат. По определению, тензормоментов инерции симметричен: I αβ = I βα . Как и всякая симметричная матрица, поворотом системы координат I αβ может быть приведен к диагональному виду, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
