К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1124202), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Для этого достаточно рассмотреть график потенциальной энергии, изображенный на Рис. 3. Поскольку m(q) > 0, то из уравнения (3.4) следует, что при заданном значении энергии Eсистема может двигаться лишь в областях, в которыхU (q) 6 E.В точках, удовлетворяющих уравнению U (q) = E, обобщенная скорость обращается внуль. Такие точки называются точками остановки. На Рис. 3 точки q1 , q2 , q3 являютсяточками остановки при движении с энергией E = E2 .
При этом допустимыми для движения областями являются q ∈ [q1 , q2 ] и q > q3 . Поскольку функция q(t) непрерывна, системапри своем движении не может “перескочить” из одной допустимой области в другую.27Глава 3. Интегрирование уравнений движенияU (q )E1E2q1q2q3qE3Рис. 3: Схематический вид потенциальной энергии одномерного движения. Функция U (q) неограниченно возрастает при q → −∞ и стремится к нулю при q → +∞.Пусть q 0 – точка остановки. Рассмотрим движение системы в малой окрестности этойточки. ЕслиdU 0(q ) > 0 ,dqто область справа от точки q 0 недостижима для системы с данным значением E.
Поэтомув точке остановки обобщенная скорость переходит от положительных к отрицательнымзначениям. Наоборот, еслиdU 0(q ) < 0 ,dqто недостижимой для системы является область слева от q 0 , и в этой точке обобщеннаяскорость переходит от отрицательных значений к положительным.Если движение системы таково, что все составляющие ее материальные точки всевремя остаются в ограниченной области пространства, то такое движение называетсяфинитным. В противном случае движение называется инфинитным. Это определениеприменимо к движению с любым s. При s = 1 финитное движение ограничено двумяточками остановки: q ∈ [q1 , q2 ].
Пусть в начальный момент времени t0 система начинаетдвижение из точки q(t0 ) = q0 ∈ (q1 , q2 ) с q̇(t0 ) > 0. По достижении точки q2 обобщеннаяскорость изменит знак, и система будет двигаться от q2 к q1 , пройдя при этом точку q0с отрицательной скоростью. В точке q1 скорость снова изменит знак на положительный,и в некоторый момент времени t = t0 система окажется в точке q0 , имея положительнуюскорость в этой точке. Согласно формуле (3.4) абсолютная величина обобщенной скорости однозначно определяется значением q, поэтому |q̇(t0 )| = |q̇(t0 )|, а как мы только чтовидели, знаки q̇ в моменты времени t0 и t0 также одинаковы, и потому q̇(t0 ) = q̇(t0 ).
Другими словами, в моменты времени t0 и t0 система находится в одном и том же состоянии28§3.1. Движение с одной степенью свободы(понятие состояния см. в §1.1). Из формулы (3.5) следует, чтоrrrm(q)m(q)m(q)Zq2Zq1Zq0dqdqdq2220pppt − t0 ≡ T =++,E − U (q)− E − U (q)E − U (q)q0q2q1илиZq2 p2m(q) dqp.T =E − U (q)(3.6)q1Как мы видим, величина T не зависит от выбора точки q0 .
Поэтому для любой точкиq ∈ [q1 , q2 ], которую система проходит в момент времени t, мы будем иметьq(t) = q(t + T ) ,q̇(t) = q̇(t + T ) .Поскольку соотношениями (1.6), (1.11) декартовы координаты и декартовы скорости точек системы однозначно выражаются через q, q̇, то отсюда следует также, чтоri (t) = ri (t + T ) ,ṙi (t) = ṙi (t + T ) ,i = 1, ..., N .(3.7)Движение системы, удовлетворяющее условиям (3.7), называется периодическим, а T –периодом движения. Это определение применимо к системам с любым числом степенейсвободы.Таким образом, финитное движение с одной степенью свободы периодично.Пример 7. Финитное и инфинитное движение. Вернемся к Рис. 3.
Пусть q является декартовой координатой, задающей положение материальной точки на прямой, а m(q) = m– ее масса. Тогда, по определению, движение с E = E2 является финитным в областиq ∈ [q1 , q2 ]. Если же q0 > q3 , то даже если q̇(t0 ) < 0, скорость поменяет знак через конечный промежуток времениrm(q)Zq0dqp 2∆t =,E − U (q)q3после чего будет оставаться все время положительной и конечной по величине. Поэтомуq → ∞ при t → ∞. Таким образом, в области q > q3 движение инфинитно.
Аналогичныерассуждения показывают, что при E = E1 возможно лишь инфинитное движение, а приE = E3 – лишь финитное.Пример 8. Математический маятник. Пусть материальная точка массы m, соединеннаяжестким невесомым стержнем длины l с неподвижной точкой подвеса, движется в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.
Такая система называется математическим маятником. За обобщенную координату маятника примем угол φ между вертикалью и стержнем. Тогда декартовы координаты точки выражаются через φ согласноx = l sin φ,y = −l cos φ .29Глава 3. Интегрирование уравнений движенияОтсюдаẋ = lφ̇ cos φ,ẏ = lφ̇ sin φ ,ẋ2 + ẏ 2 = l2 φ̇2 .Функция Лагранжа математического маятника имеет видL=ml2 φ̇2+ mgl cos φ ,2где g – ускорение силы тяжести. Подставляя m(φ) = ml2 , U = −mgl cos φ в уравнение (3.5), получаемrt − t0 =ml22Zφdφ√.± E + mgl cos φφ0(3.8)Рассмотрим движение маятника с энергией E > mgl. В этом случае уравнение U (q) = Eне имеет решений вовсе, и поэтому обобщенная скорость φ̇ имеет постоянный знак, т.е.движение маятника представляет собой вращение.
Это движение является периодическим: x(t + T ) = x(t), y(t + T ) = y(t), гдеrT =ml22Z2π√0dφ.E + mgl cos φОбратим внимание на то, что условие φ(t + T ) = φ(t) при этом не выполняется: с каждымоборотом угол φ увеличивается (или уменьшается) на 2π.§3.2.Задача двух телРассмотрим систему, состоящую из двух материальных точек, потенциальная энергиявзаимодействия которых зависит лишь от расстояния между ними: U (|r1 − r2 |), а связиотсутствуют. Число степеней свободы такой системы s = 3×2 = 6. В качестве обобщенныхкоординат выберем три компоненты радиус-вектора центра инерции системыR=m1 r1 + m2 r2m1 + m2и три компоненты вектора r = r1 − r2 .
Выразим радиус-векторы точек через обобщенныекоординаты. Мы имеемr1 = R +m2 r,m1 + m2r2 = R −m1 r.m1 + m2(3.9)Дифференцируя эти соотношения по времени, получаем выражения для скоростей частицṙ1 = Ṙ +m2 ṙ,m1 + m2ṙ2 = Ṙ −m1 ṙ,m1 + m2(3.10)подстановка которых в функцию Лагранжа даетL=m1 ṙ12 m2 ṙ22µṘ2 mṙ 2+− U (|r1 − r2 |) =+− U (r) ,222230(3.11)§3.2. Задача двух телгде µ = m1 + m2 , а величина m = m1 m2 /(m1 + m2 ) называется приведенной массой двухчастиц. Мы видим, что в координатах R, r функция Лагранжа распадается на два слагаемых, зависящих от различных наборов переменных. А именно, первый член в (3.11)описывает свободное движение материальной точки с массой µ и радиус-вектором R, аостальные – движение материальной точки с массой m и радиус-вектором r в заданномпотенциальном поле U (r). Тот факт, что функция Лагранжа является суммой функцийЛагранжа этих систем означает, что уравнения Лагранжа для первой системы не содержат координат второй, и наоборот, и потому их движения независимы.
Таким образом,исходная задача двух тел сведена к одночастичной.Компоненты R являются циклическими координатами. В соответствии с формулой(2.10) ∂L/∂ Ṙ есть сохраняющийся декартов импульс системы:P =∂L= µṘ ,∂ Ṙоткуда следует, чтоPt+ R(0) .µРассмотрим теперь движение точки с массой m. Оно описывается функцией ЛагранжаR(t) =L=mṙ 2− U (r) .2(3.12)Поскольку потенциальная энергия зависит лишь от r, функция Лагранжа не меняется приповоротах относительно любой оси, проходящей через точку r = 0. Поэтому сохраняетсяее момент импульсаM = [r, p] ,p=∂L= mṙ .∂ ṙ(3.13)Отсюда следует, что(r, M ) = 0 .(3.14)Другими словами, материальная точка движется все время в плоскости, перпендикулярной сохраняющемуся вектору M .
Выберем полярные координаты r, φ в этой плоскости(с полярной осью, направленной по вектору M )x = r cos φ ,y = r sin φ .Полагая в формуле (1.19) ρ = r, z = 0, получаем функцию Лагранжа в координатах r, φL=m 2(ṙ + r2 φ̇2 ) − U (r) .2(3.15)В соответствии с формулой (2.12) дифференцирование этой функции по φ̇ дает величинумомента импульса, поскольку угол φ задает угол поворота частицы вокруг оси, направленной по вектору M .
Итак,M=∂L= mr2 φ̇ .∂ φ̇31(3.16)Глава 3. Интегрирование уравнений движенияИз этой формулы следует, что φ̇ > 0 в течение всего движения точки. Далее, функцияЛагранжа (3.15) не зависит от времени явно, ∂L/∂t = 0, и поэтому сохраняется энергия(2.16)m 2(ṙ + r2 φ̇2 ) + U (r) .2E=(3.17)Итак, имеется два дифференциальных уравнения первого порядка (3.16), (3.17) для двухнеизвестных функций r(t), φ(t). Для того чтобы решить эту систему, выразим φ̇ из уравнения (3.16) и подставим результат в (3.17):E=mṙ2M2+ U (r) .+22mr2(3.18)Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение (3.3) при движении с одной степеньюсвободы q = r в эффективном поле с потенциальной энергиейUeff (r) = U (r) +M2.2mr2(3.19)Второе слагаемое в этом выражении называется центробежной энергией.
Поэтому мыможем применить формулу (3.5), заменяя в ней U (r) на Ueff (r)rt − t0 =m2Zrr0drp.± E − Ueff (r)(3.20)Найдем теперь уравнение траектории точки, т.е. связь координат r, φ. Для этого разделяем дифференциалы в уравнении (3.16)dφ =Mdt ,mr2(3.21)подставляемrmdr2dt = p,± E − Ueff (r)(3.22)и получаем после интегрирования:Zrφ − φ0 =r0M√dr22mrp,± E − Ueff (r)φ0 = φ(t0 ) .(3.23)Напомним, что в этой формуле корень берется со знаком плюс, если на данном участкетраектории ṙ > 0, и со знаком минус, если ṙ < 0. Уравнение (3.20) определяет в неявномвиде зависимость r(t), а уравнение (3.23) – функцию φ(r), подставляя в которую r(t)найдем зависимость φ от времени. Таким образом, мы получили полное решение задачидвух тел в квадратурах.32§3.3. Движение в кулоновом полеИз формулы (3.23) имеет интересное следствие.
Пусть момент времени t = t0 соответствует какой-либо точке поворота, т.е. точке, в которой ṙ = 0. Договоримся отсчитыватьугол φ от направления радиус-вектора материальной точки в этот момент, т.е. положимφ0 = 0, и рассмотрим движение в окрестности φ = 0. Если на данном участке траекторииṙ > 0, то из формулы (3.23) найдемZrφ =r0M√dr22mrp,+ E − Ueff (r)(3.24)Если же на данном участке траектории ṙ < 0, то будетZrφ =r0M√dr22mrp.− E − Ueff (r)(3.25)Сравнивая выражения (3.24), (3.25), заключаем, что r(φ) = r(−φ). Таким образом, оберассматриваемые ветви траектории переходят друг в друга при отражении относительнопрямой φ = 0. Поскольку это справедливо для любой точки поворота, то мы приходимк выводу, что при движении в центрально-симметричном поле вся траектория являетсясимметричной при отражении относительно любой прямой, соединяющей центр поля скакой-либо точкой поворота.§3.3.Движение в кулоновом полеПрименим полученные результаты к важнейшему случаю кулонова поляαU (r) = .rСлучай α > 0 (α < 0) соответствует полю отталкивания (притяжения).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
