К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1124202), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Неизменность свойств движения системы при такихчастного вида перемещениях называют соответственно однородностью и изотропией пространства относительно данной системы. Аналогично, механические свойства замкнутыхсистем оказываются одними и теми же независимо от того, на каком интервале временирассматривается их эволюция. Это свойство называют однородностью времени.Поскольку механические свойства системы полностью определяются заданием еефункции Лагранжа, то эти свойства будут оставаться неизменными при любом из указанных перемещений в пространстве или во времени, если данное перемещение не меняетфункции Лагранжа системы.§2.1.Законы сохранения импульса и момента импульсаРассмотрим следствия, вытекающие из свойств симметрии пространства.
Получимсперва общее выражение для вариации функции Лагранжа при перемещении системыв пространстве. Пусть силы, действующие на систему, а также наложенные на нее связитаковы, что функция Лагранжа не меняется при вариации обобщенных координат видаδqα = Qα (q)², где Qα (q) есть некоторые заданные функции обобщенных координат, а ² –малый постоянный параметр (независящий от q, t).
Найдем соответствующее изменениеобобщенных скоростей. По определению производной имее쵶qα (t + ∆t) − qα (t)dqα= δ limδ∆t→0dt∆tqα (t + ∆t) − qα (t)(qα + δqα )(t + ∆t) − (qα + δqα )(t)− lim= lim∆t→0∆t→0∆t∆tδqα (t + ∆t) − δqα (t),= lim∆t→0∆t18§2.1. Законы сохранения импульса и момента импульсат.е.δdqαd= δqα ,dtdt(2.1)и следовательно, δ q̇α = Q̇α ² . Используя этот результат, а также уравнения Лагранжа(1.16), вариацию функции Лагранжа можно представить в виде¾¾ Xs ½s ½X∂L∂Ld ∂L∂LδL =δqα +δ q̇α =Qα ² +Q̇α ² ,∂qα∂ q̇αdt ∂ q̇α∂ q̇αα=1α=1илиsd X ∂LQα .δL = ²dt α=1 ∂ q̇α(2.2)Таким образом, из условия неизменности функции Лагранжа, δL = 0, вытекает следующий закон сохраненияsX∂LQα = const .∂ q̇αα=1(2.3)Если вспомнить, что функция Лагранжа в обобщенных координатах получается изфункции Лагранжа в декартовых координатах согласно L = L(r(q), ṙ(q, q̇), t), то, применяя правило дифференцирования сложной функции, а также соотношение (1.13), левуючасть уравнения (2.3) можно переписать такÃ!¶ss XN µNsXXXX∂L∂L ∂ ṙi∂L∂ri δqαQα =,Qα =,,∂ q̇α∂ ṙi ∂ q̇α∂ ṙi α=1 ∂qα ²α=1α=1 i=1i=1или, учитывая формулу (1.8),¶sN µXX∂L∂L δriQα =,.∂q̇∂ṙ²αiα=1i=1(2.4)Рассмотрим теперь отдельно трансляции и повороты системы.
Пусть внешние поля исвязи, наложенные на систему, не нарушают однородности пространства в направлении,определяемом единичным вектором n. При трансляции системы в направлении вектораn на расстояние δr = ² радиус-векторы всех частиц системы получают одно и то жеприращение δri = n². По формулам (2.3), (2.4) находим закон сохранения!Ã NX ∂L, n = const.(2.5)∂ ṙii=1Таким образом, следствием однородности пространства в некотором направлении является сохранение проекции на это направление вектораP =NXpi ,i=119pi =∂L.∂ ṙiГлава 2. Законы сохраненияРис. 1: К выводу формулы (2.6).Относительно замкнутой системы пространство однородно по всем направлениям, и поэтому все три компоненты вектора P такой системы сохраняются.
Мы будем называтьP обобщенным декартовым импульсом системы (а вектор pi – обобщенным декартовымимпульсом i-ой частицы).Замечание 1: вектор pi = ∂L/∂ ṙi не совпадает, вообще говоря, с обычным импульсомmi ṙi . Характерным примером является движение при наличии магнитного поля (см.
§1.4).В этом случае формула (1.22) дает p = ∂L/∂ ṙ = mṙ + qc A.Рассмотрим теперь поворот системы как целого на угол δϕ = ² относительно некоторойоси, направление которой задается единичным вектором n по правилу правого винта.Выберем начало системы координат где-нибудь на оси поворота и определим, как приэтом меняется радиус-вектор r. Обозначим угол между векторами n и r через β (см.Рис. 1). Вектор δr ортогонален плоскости, проходящей через векторы n, r, а его величина|δr| = (|r| sin β)δϕ .Если ввести вектор δϕ = nδϕ, то это выражение можно представить как модуль векторного произведения векторов δϕ и r : |δr| = |[δϕ, r]|. С другой стороны, направлениевектора [δϕ, r] совпадает с направлением δr, поэтому справедливо векторное равенствоδr = [δϕ, r] .(2.6)Таким образом, при повороте системы на угол δϕ радиус-векторы частиц системыполучают приращение δri = [δϕ, ri ], i = 1, ..., N.
Используя формулу (2.4) и циклическипереставляя сомножители скалярно-векторного произведения, найдем¶ XNN µNXX∂L δri(n, [ri , pi ]) .,(pi , [n, ri ]) ==∂ṙ²ii=1i=1i=1Закон сохранения (2.3) принимает вид!ÃNXn,[ri , pi ] = const .i=120(2.7)(2.8)§2.1. Законы сохранения импульса и момента импульсаТаким образом, из изотропии пространства относительно вращений вокруг направленияn следует сохранение проекции на это направление вектораM=NXmi ,mi = [ri , pi ] ,i=1называемого моментом импульса системы.
Относительно замкнутой системы пространство изотропно по всем направлениям, и потому все три компоненты ее момента импульсасохраняются.Замечание 2: Так же как pi не всегда совпадает с обычным импульсом, mi не равен,вообще говоря, величине [ri , mi ṙi ].На величины, стоящие в левых частях уравнений (2.5) и (2.8), можно посмотреть такжеи с другой точки зрения. Вернемся к записи законов сохранения в форме (2.3).
Обозначимчерез x декартову координату, определяющую положение системы как целого по оси,параллельной вектору n. Если мы примем x за одну из обобщенных координат, скажемx ≡ q1 , то при трансляции в направлении n вариации обобщенных координат будут иметьвид½½δq1 = ²,Q1 = 1,⇒δqα = 0, α = 2, ..., s,Qα = 0, α = 2, ..., s,Подстановка в уравнение (2.3) приводит к закону сохранения∂L= const .∂ ẋ(2.9)Поскольку правая часть тождества (2.4) не зависит от выбора обобщенных координат, товеличина const – та же, что и в уравнении (2.5), т.е.∂L= (P , n) .∂ ẋ(2.10)Другими словами, производная функции Лагранжа по ẋ дает величину проекции обобщенного декартова импульса системы на направление n. Аналогично, если мы выберемугол поворота ϕ системы как целого вокруг некоторой оси за одну из обобщенных координат, например, ϕ ≡ q1 , то вариации обобщенных координат при повороте вокруг даннойоси будут иметь тот же вид, что и выше, а соответствующая сохраняющаяся величина∂L= const∂ ϕ̇(2.11)в силу тождества (2.4) совпадает с величиной проекции момента импульса системы наэту ось:∂L= (M , n) .∂ ϕ̇(2.12)Как мы видим, в данной формулировке оба закона сохранения являются следствием того,что функция Лагранжа не меняется при сдвигах какой-либо обобщенной координаты qαна произвольную постоянную величину, qα → qα + ², при фиксированных остальных qβ21Глава 2.
Законы сохраненияс β 6= α. Такие обобщенные координаты называют циклическими. Если координата qαциклическая, то при описанном сдвиге∂L∂L∂Lδqα +δ q̇α =²,∂qα∂ q̇α∂qα0 = δL =поскольку по определению параметра ² имеем δ q̇α = ²̇ = 0, так что критерием цикличностикоординаты qα является условие∂L= 0.∂qαСоответствующая этой координате величина pqα = ∂L/∂ q̇α сохраняется при движениисистемы:pqα = const .То, что pqα сохраняется, видно также непосредственно из уравнений Лагранжа (1.16).Величину pqα называют обобщенным импульсом, соответствующим обобщенной координате qα .Пример 4. Циклические координаты. В примере 1 (глава 1) функция Лагранжа (1.19)материальной точки не зависит от угловой переменной φ (φ – циклическая координата).Поэтому сохраняется проекция ее момента импульса на ось z :Mz =§2.2.∂L= mρ2 φ̇ = const.∂ φ̇Закон сохранения энергииПерейдем к выяснению следствий однородности времени.
В силу этой однородностифункция Лагранжа не может зависеть от времени явно, т.е. должно быть∂L= 0.∂tВычислим полную производную функции Лагранжа по времени, учитывая это условие,а также уравнения Лагранжа (1.16)¾ X¾ X½¾s ½s ½sdL X ∂L∂Ld ∂L∂Ld ∂L=q̇α +q̈α =q̇α +q̈α =q̇α ,dt∂q∂q̇dt∂q̇∂q̇dt∂q̇αααααα=1α=1α=1илиddt()sX∂Lq̇α − L = 0 .∂ q̇αα=1Отсюда следует, что величинаsX∂Lq̇α − L ,E=∂q̇αα=1(2.13)называемая обобщенной энергией, сохраняется при движении системы. Это есть наиболееобщее выражение для обобщенной энергии, применимое к функции Лагранжа произвольного вида. Применим его к случаю когда функция Лагранжа имеет вид L = T + V − U,22§2.2. Закон сохранения энергиигде V обозначает члены, линейные по скоростям частиц (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
