К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1124202), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Колебания систем со многими степенями свободыГлава 4.ЖЕНИЕ)§4.1.ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ (ПРОДОЛ-Колебания систем со многими степенями свободыРассмотрим систему с произвольным числом степеней свободы s. Пусть для простотыV = 0, а потенциальная энергия U (q) системы не зависит явно от времени и при q = q (0)имеет экстремум:∂U (0)(q ) = 0 , α = 1, ..., s .∂qαИсследуем движение системы в малой окрестности q (0) . Для этого, во-первых, запишемфункцию Лагранжа, подставляя выражения (1.6) для декартовых скоростей точек системы в L = T − U :à s!NssXXX∂rimαβ (q)mi X ∂riL=q̇α ,q̇β − U (q) =q̇α q̇β − U (q) ,(4.1)2∂q∂q2αβα=1i=1β=1α,β=1гдеmαβ (q) =NXµmii=1Введем новые переменныеξα = qα − qα(0) ,∂ri ∂ri,∂qα ∂qβ¶.(4.2)α = 1, ..., s .ξ определяют величину отклонения системы от положения равновесия и по предположению малы. Предположим, далее, что в начальный момент времени t0 скорости q̇ = ξ˙ такжемалы, и будем рассматривать движение системы при таких t, при которых эти предположения выполняются.
Тогда можно разложить функцию Лагранжа (4.1) по степеням˙ Разложение потенциальной энергии имеет видмалых величин ξ, ξ.U (q(0)ssX∂U (0)1 X ∂2U+ ξ) = U (q ) +(q )ξα +(q (0) )ξα ξβ + O(ξ 3 )∂qα2 α,β=1 ∂qα ∂qβα=1(0)s1 X= U (q ) +kαβ ξα ξβ + O(ξ 3 ) ,2 α,β=1(0)гдеkαβ =(4.3)∂ 2U(q (0) )∂qα ∂qβесть матрица постоянных коэффициентов. Заметим, что kαβ = kβα , в силу перестановочности вторых производных. Член U (q (0) ) в выражении (4.3) может быть опущен – поскольку в уравнения движения входят только производные от L, добавление постояннойк функции Лагранжа не меняет этих уравнений. Далее, кинетическая энергия являет˙ поэтому в низшем порядке в коэффициентахся квадратичной по малым скоростям ξ,(0)m(q) следует положить q = q : учет зависимости m(q (0) + ξ) от ξ привел бы к членам41Глава 4.
Интегрирование уравнений движенияследующего порядка малости. Таким образом, в низшем порядке по малым ξ, ξ˙ функцияЛагранжа принимает видssXmαβ ˙ ˙1 XL=ξα ξβ −kαβ ξα ξβ ,22 α,β=1α,β=1(4.4)где mαβ = mαβ (q (0) ). Составим уравнения Лагранжа. Мы имеемÃ!sX˙β∂Lmαβ ∂ ξ˙α ˙∂ξ=ξβ + ξ˙α, γ = 1, ..., s.2∂ ξ˙γ∂ ξ˙γ∂ ξ˙γα,β=1В силу независимости обобщенных скоростей ξ˙∂ ξ˙α= δαγ .∂ ξ˙γПоэтомуsss´ XXXmαβ ³mγβ ˙∂Lmαγ ˙˙˙=δαγ ξβ + ξα δβγ =ξβ +ξα ,22∂ ξ˙γ α,β=1 2α=1β=1γ = 1, ..., s.Из определения (4.2) следует, что mαβ = mβα .
Учитывая это и заменяя индекс суммирования в последнем уравнении на α, получимsX∂L=mγα ξ˙α ,∂ ξ˙γγ = 1, ..., s.α=1Аналогично,sX∂Lkγα ξα ,=−∂ξγα=1γ = 1, ..., s.Таким образом, уравнения Лагранжа имеют следующий видs ³X´mαβ ξ¨β + kαβ ξβ = 0 ,α = 1, ..., s.(4.5)β=1Напоминание. В выводе уравнений (4.5) использовалась симметричность матриц mαβ , kαβ .Поэтому после “считывания” этих матриц по функции Лагранжа следует проверить, действительно ли они получились симметричными.
Если нет, то их следует симметризовать,т.е. заменить mαβ → (mαβ + mβα )/2, kαβ → (kαβ + kβα )/2.Заметим, что ξα (t) = 0, α = 1, ..., s являются решением уравнений (4.5). Это означает,что если в начальный момент времени система находилась в состоянии q = q (0) , q̇ = 0, тоона будет оставаться в этом состоянии неограниченно долго. Другими словами, положениесистемы, определяемое набором q (0) , является положением равновесия.
Если при q = q (0)функция U (q) имеет локальный минимум, то при малом отклонении состояния системы отq = q (0) , q̇ = 0 она будет стремиться вернуться обратно. Другими словами, при достаточно42§4.1. Колебания систем со многими степенями свободымалом значении разности E − U (q (0) ) движение в окрестности q (0) будет финитным. Такоеположение равновесия называют устойчивым.Наряду с системой (4.5) рассмотрим аналогичную систему уравнений для комплексныхфункций ηα (t) :sX(mαβ η̈β + kαβ ηβ ) = 0 ,α = 1, ..., s.(4.6)β=1Системы уравнений (4.5) и (4.6) эквивалентны. Действительно, любое решение (4.5) является также решением (4.6).
С другой стороны, поскольку коэффициенты mαβ , kαβ поопределению вещественны, то, беря вещественную либо мнимую части уравнений (4.6),найдем¶ss µXXd2Re(mαβ η̈β + kαβ ηβ ) =mαβ 2 Re ηβ + kαβ Re ηβ = 0 , α = 1, ..., s,dtβ=1β=1¶ss µXXd2Im(mαβ η̈β + kαβ ηβ ) =mαβ 2 Im ηβ + kαβ Im ηβ = 0 , α = 1, ..., s.dtβ=1β=1Таким образом, вещественные величины Re η и Im η являются решениями системы (4.5).Отсюда следует, что любое решение ξ(t) системы (4.5) можно записать какξα (t) = Re ηα (t) ,α = 1, ..., s,где η(t) – решение системы (4.6).Будем искать частное решение системы уравнений (4.6) в видеηα (t) = Aα eiωt ,α = 1, ..., s,(4.7)с постоянными комплексными амплитудами Aα и частотой ω.
Соответствующий наборξα (t), α = 1, ..., s описывает нормальное колебание системы с частотой ω. Подставляявыражения (4.7) в (4.5), приходим к системе алгебраических уравненийsX¡¢−mαβ ω 2 + kαβ Aβ = 0 ,α = 1, ..., s.(4.8)β=1Условием совместности этой системы линейных однородных уравнений является обращение в нуль определителя, составленного из коэффициентов при Aβ :det(−mαβ ω 2 + kαβ ) = 0 .(4.9)Уравнение (4.9) называется характеристическим уравнением. Оно является алгебраическим уравнением порядка s относительно ω 2 , и по основной теореме алгебры имеет sкорней ωk2 , k = 1, ..., s. ωk называют собственными частотами системы.
Некоторые изкорней ωk2 могут оказаться кратными. В этом случае соответствующие частоты называют вырожденными. Подставляя решения характеристического уравнения поочередно в(k)систему (4.8), найдем s линейно-независимых векторов Aα , k = 1, ..., s. Общее решениеуравнений (4.5) является суммой всех частных решений:( s)X(k) iωk tξα (t) = ReAα e, α = 1, ..., s .(4.10)k=143Глава 4. Интегрирование уравнений движенияA.Невырожденный случайКак известно из курса линейной алгебры, в случае когда все корни характеристического уравнения различны, система (4.8) имеет для каждого ωk ровно одно линейно(k)независимое решение Aα .
Для того чтобы записать закон движения в явно вещественном(k)(k)виде, определим вещественные величины Cα и φα согласно(k)(k)A(k)α = Cα exp{iφα } ,φ(k)α ∈ [0, π) .(4.11)Эта запись аналогична представлению комплексного числа через его модуль и фазу, за(k)исключением того, что в данном случае величина Cα может быть как положительной,(k)так и отрицательной, в соответствии с тем, что фаза φα может принимать значения(k)только из полуоткрытого отрезка [0, π).
В силу единственности решения все фазы φα сданным k равны:(k)φ(k), α = 1, .., s.α = φДействительно, если бы это было не так, система (4.8) имела бы для данного k два неза(k)(k)(k)(k)(k)(k)висимых решения Re Aα = Cα cos φα и Im Aα = Cα sin φα . Подставляя выражение(4.11) в уравнение (4.10), переписываем общее решение уравнений движения в видеξα (t) =sXCα(k) cos(ωk t + φ(k) ) ,α = 1, ..., s .(4.12)k=1(k)Заметим, что в невырожденном случае коэффициенты Cα могут быть выражены черезэлементы матрицы (−mαβ ωk2 + kαβ ) явно:Cα(k) = C (k) Mα(k),kαα = 1, ..., s,(4.13)(k)где C (k) – произвольная комплексная постоянная, а Mαk α – миноры элементов αk -ой строки матрицы (−mαβ ωk2 + kαβ ). Номер строки αk может быть любым, лишь бы эта строкасодержала хотя бы один элемент с отличным от нуля минором (такой элемент существуетв силу предположения о невырожденности собственных частот).
Таким образом, общеерешение уравнений движения имеет следующий видξα (t) =sXC (k) Mα(k)cos(ωk t + φ(k) ) ,kαα = 1, ..., s .(4.14)k=1Это решение содержит 2s произвольных постоянных C (k) , φ(k) , k = 1, ..., s, определяемыхиз начальных условий.B.Вырожденный случайВ случае наличия кратных частот решения уравнений (4.8), соответствующие невырожденным частотам, по-прежнему имеют вид (4.13), тогда как для вырожденных частотчисло линейно-независимых уравнений в системе (4.8) равно s − r, где r > 1 – кратностьданного корня характеристического уравнения, и потому все миноры s − 1-го порядка44§4.2.
Колебания систем со многими степенями свободыMαβ = 0, так что решение не может быть записано в виде (4.13). Совпадение некоторых частот означает наличие произвола в выборе линейно-независимых решений системы(1)(2)(4.8). Действительно, если для каких-либо двух решений Aα , Aα системы (4.8) ω12 = ω22 ,(1)(2)то и любая их линейная комбинация c1 Aα + c2 Aα является решением системы (4.8) с тойже частотой. Конкретный выбор линейно-независимых решений в вырожденном случаеопределяется соображениями удобства, в остальном же алгоритм решения задачи тот же,что и в невырожденном случае.
В частности, общее решение уравнений движения имеет(k)вид (4.12), где вещественные амплитуды Cα удовлетворяют системе уравненийsX¡¢ (k)−mαβ ωk2 + kαβ Cβ = 0 ,α = 1, ..., s.(4.15)β=1Для уяснения природы вырождения укажем, что его появление связано с наличиемтой или иной непрерывной симметрии в системе. Рассмотрим, например, двумерный осциллятор, описываемый функцией Лагранжа22m1 ξ˙1m2 ξ˙2k1 ξ12 k2 ξ22L=+−−.(4.16)2222Эта система вырождена, если ω12 = k1 /m1 = k2 /m2 = ω22 . При выполнении этого условияпреобразование независимых переменных¶µ r¶µrm2 0m1 000ξ sin γ , ξ2 = −ξ sin γ + ξ2 cos γ ,(4.17)ξ1 = ξ1 cos γ +m1 2m2 1где γ произвольно, не меняет вида функции Лагранжа:22m2 ξ˙20k1 ξ102 k2 ξ202m1 ξ˙10+−−.(4.18)L=2222Поэтому если пара функций ξ10 (t), ξ20 (t) является решением уравнений движения, то решением является и их комбинация (4.17).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
