К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1124202), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Уравнения ГамильтонаПример 15. Функция Гамильтона гармонического осциллятора. Функция Лагранжа гармонического осциллятораmẋ2 mω 2 x2L(x, ẋ) =−,22где m, ω – масса и частота осциллятора. Из выражения для обобщенного импульса осциллятора∂Lp== mẋ∂ ẋнаходим обобщенную скоростьpẋ =.mПодставляя это выражение в обобщенную энергию осциллятораE=mẋ2 mω 2 x2+,22находим его функцию ГамильтонаH(x, p) =mω 2 x2p2+.2m2(5.8)Пример 16. Функция Гамильтона заряженной частицы в электромагнитном поле. Из функции Лагранжа (1.22) находим обобщенный декартов импульс частицы в электромагнитном поле∂Lqp== mṙ + A(r, t) .∂ ṙcОтсюда´1 ³qṙ =p − A(r, t) .(5.9)mcПодставляя это выражение в обобщенную энергию (2.17), получаем функцию Гамильтона´21 ³qH(r, p, t) =p − A(r, t) + qϕ(r, t) .2mcПример 17.
Гармонический осциллятор с частотой, зависящей от амплитуды. Рассмотримодномерную систему, функция Гамильтона которой имеет видµ 2¶2p2mω 2 x2pmω 2 x2H(x, p) =++λ+,(5.10)2m22m2где m, ω, λ – постоянные положительные параметры. Найдем закон движения системы.Поскольку функция Гамильтона (5.10) не зависит от времени явно, то имеем закон сохраненияµ 2¶2mω 2 x2pmω 2 x2p2++λ+= const ,2m22m2откуда следует, чтоp2mω 2 x2+=C,2m265(5.11)Глава 5. Канонический формализмс некоторой положительной постоянной C. Это уравнение связывает две неизвестныхфункции x(t), p(t). Дополним его уравнением (5.6):µ 2¶∂H(x, p)ppmω 2 x2 pẋ ==+ 2λ+.∂pm2m2mВыражая здесь p через x с помощью (5.11), получаем дифференциальное уравнение дляфункции x(t) :r2Cẋ = ±(1 + 2λC)− ω 2 x2 ,mинтегрируя которое путем разделения переменных, находимr2Cx(t) =sin {(1 + 2λC)ω(t − t0 )} .mω 2Этот pзакон описывает гармоническое колебание с частотой Ω = (1 + 2λC)ω и амплитудойA = 2C/mω 2 .
Другими словами, частота рассматриваемых колебаний зависит от ихамплитуды согласноΩ = ω(1 + λmω 2 A2 ) .B.Скобки ПуассонаУравнения Гамильтона можно представить в формально симметричном виде, если ввести так называемую скобку Пуассона, определенную для двух функций обобщенных координат и обобщенных импульсов f (q, p), g(q, p) (эти функции также могут зависеть отвремени или от каких-либо других параметров):¶s µX∂f ∂g∂f ∂g{f, g} =−.∂p∂q∂q∂pααααα=1(5.12)Тогда уравнения (5.5) и (5.6) могут быть переписаны в видеṗα = {H, pα } ,q̇α = {H, qα } ,α = 1, ..., s ,α = 1, ..., s .(5.13)(5.14)Действительно, учитывая независимость переменных q, p, имеем, например,¶ss µXX∂H∂H ∂pα ∂H ∂pα∂H−=−δαβ = −.{H, pα } =∂pβ ∂qβ∂qβ ∂pβ∂qβ∂qαβ=1β=1Заметим, что с помощью скобок Пуассона можно компактно записать выражение дляполной производной по времени от произвольной функции f (q, p, t), а именно, используяуравнения Гамильтона, получае춶s µs µXX∂f∂f∂f∂f ∂H∂f ∂H∂fdf=q̇α +ṗα +=−+,dt α=1 ∂qα∂pα∂t∂qα ∂pα ∂pα ∂pα∂tα=166§5.1.
Уравнения Гамильтонаилиdf∂f= {H, f } +.dt∂t(5.15)Оказывается, что значение операции, определенной в (5.12), простирается гораздо дальше простых соображений удобства. Скобки Пуассона обладают рядом важных свойств,для вывода которых приведем сначала несколько простых правил их вычисления, непосредственно следующих из определения. Для любых функций f, g, h, зависящих от обобщенных координат и импульсов, а также, возможно, от некоторого параметра λ (ролькоторого может играть, например, время t){f, g}{f + h, g}{f h, g}∂{f, g}∂λ= −{g, f } ,= {f, g} + {h, g} ,= h{f, g} + f {h, g} ,¾½¾ ½∂f∂g=, g + f,.∂λ∂λ(5.16)(5.17)(5.18)(5.19)Докажем, например, свойство (5.18).
Имеем¶s µX∂(f h) ∂g∂(f h) ∂g{f h, g} =−∂pα ∂qα∂qα ∂pαα=1µ¶sX∂h ∂g∂f ∂g∂h ∂g∂f ∂g=+f−h−fh∂p∂q∂p∂q∂q∂p∂qα ∂pαααααααα=1¶¶s µs µXX∂f ∂g∂f ∂g∂h ∂g∂h ∂g= h−−+f∂pα ∂qα ∂qα ∂pα∂pα ∂qα ∂qα ∂pαα=1α=1= h{f, g} + f {h, g} .Докажем теперь следующее важное и нетривиальное свойство скобок Пуассона: для любых трех функций f, g, h справедливо тождество Якоби{f, {g, h}} + {g, {h, f }} + {h, {f, g}} = 0 .(5.20)Это тождество проверяется прямым вычислением. Левая его часть представляет собой сумму членов, каждый из которых пропорционален второй производной одной изфункций f, g, h по переменным q, p.
В силу симметрии относительно перестановки этихфункций, достаточно доказать, что каждая из производных ∂ 2 f /∂pα ∂pβ , ∂ 2 f /∂qα ∂qβ ,∂ 2 f /∂qα ∂pβ входит в левую часть (5.20) с нулевым коэффициентом. Проверим это, например, для вторых производных ∂ 2 f /∂pα ∂pβ . Отмечая члены, не содержащие производных67Глава 5.
Канонический формализм∂ 2 f /∂pα ∂pβ , многоточием, имеем{f, {g, h}} = 0 + · · · ,()Ã!sssXXX∂h ∂f∂g ∂∂h ∂f{g, {h, f }} = g, −+ ··· = −−+ ···∂qα ∂pα∂qβ ∂pβ∂qα ∂pαα=1α=1β=1sX∂g ∂h ∂ 2 f+ ··· ,=∂qβ ∂qα ∂pβ ∂pαα,β=1)Ã s!(ssXX ∂f ∂gX∂f ∂g∂h ∂+ ··· = −+ ···{h, {f, g}} = h,∂pα ∂qα∂q∂pβ ∂pβα ∂qαα=1α=1β=1ssXX∂h ∂ 2 f ∂g∂h ∂ 2 f ∂g= −+ ··· = −+ ··· .∂q∂qβ ∂pβ ∂pα ∂qαα ∂pα ∂pβ ∂qβα,β=1α,β=1Складывая эти выражения и учитывая перестановочность вторых производных, мы видим, что члены, содержащие производные ∂ 2 f /∂pα ∂pβ , действительно сокращаются.Теперь с помощью тождества Якоби мы докажем следующее интересное утверждение,называемое теоремой Пуассона: Если две функции f (q, p, t) и g(q, p, t) являются интегралами движения, т.е. f˙ = ġ = 0, то интегралом движения является и их скобка Пуассона{f, g} .
Доказательство. Поскольку по условию теоремы f и g остаются постоянными придвижении системы, то из формулы (5.15) следует, что∂f= −{H, f } ,∂t∂g= −{H, g} .∂t(5.21)Вычислим полную производную по времени от {f, g} по формуле (5.15):d{f, g}∂{f, g}= {H, {f, g}} +.dt∂tПрименяя правило (5.19) дифференцирования скобки Пуассона по параметру и учитываяуравнения (5.21), получаемd{f, g}= {H, {f, g}} − {{H, f }, g} − {f, {H, g}} ,dtили, переставляя аргументы скобок Пуассона по правилу (5.16),d{f, g}= {H, {f, g}} + {g, {H, f }} + {f, {g, H}} .dtПравая часть последнего равенства равна нулю в силу тождества Якоби.
Теорема доказана.C.Вычисление скобок ПуассонаПрактически наиболее удобно вычислять скобки Пуассона, последовательно упрощаяих с помощью правил (5.16) – (5.18). Если хотя бы один из аргументов данной скобки68§5.1. Уравнения ГамильтонаПуассона является полиномом по обобщенным координатам и обобщенным импульсам,то в результате такого упрощения приходят к скобкам Пуассона вида {qα , f } или {pα , f }.Из определения (5.12) следует, что{qα , f } = −∂f,∂pα{pα , f } =∂f.∂qα(5.22)В частности,{pα , qβ } = δαβ ,{qα , qβ } = 0 ,{pα , pβ } = 0 .(5.23)Скобки (5.23) называют фундаментальными скобками Пуассона.Пример 18.
Скобки Пуассона компонент момента импульса. Найдем скобки Пуассона x, yкомпонент момента импульса частицы, предполагая, что обобщенными координатами являются декартовы компоненты ее радиус-вектора. Имеем{Mx , My } = {(ypz − zpy ), (zpx − xpz )}= {ypz , zpx } − {zpy , zpx } − {ypz , xpz } + {zpy , xpz }= y{pz , z}px + py {z, pz }x .(5.24)Для краткости, в последней строке здесь выписаны лишь члены, содержащие ненулевыефундаментальные скобки Пуассона. Подставляя сюда {pz , z} = −{z, pz } = 1, находим{Mx , My } = ypx − py x = −Mz .Аналогично можно получить формулы{My , Mz } = −Mx ,{Mz , Mx } = −My .Из этих формул и теоремы Пуассона следует, что если проекции момента импульса накакие-либо две декартовы оси (инерциальной) системы отсчета сохраняются, то сохраняется также и его проекция на третью ось.Пример 19. Скобки Пуассона компонент скорости частицы в электромагнитном поле.
Рассмотрим, далее, заряженную частицу в электромагнитном поле и вычислим скобки Пуассона компонент вектора ее скорости v, например, {vx , vy }. Для этого необходимо сначалавыразить компоненты вектора v через обобщенные координаты и обобщенные импульсы частицы с помощью формулы (5.9). Выписывая опять лишь нетривиальные скобкиПуассона, получаем½ ³´ 1 ³´¾1qq{vx , vy } =px − Ax (r, t) ,py − Ay (r, t)mcmcq= − 2 [{Ax (r, t), py } + {px , Ay (r, t)}]m ·c¸q∂Ax (r, t) ∂Ay (r, t)= 2−,(5.25)mc∂y∂xили, используя обозначение (1.25),{vx , vy } = −69qHz .m2 cГлава 5. Канонический формализм§5.2.Принцип наименьшего действияАналогично тому, как уравнения Лагранжа могут быть получены из принципа минимальности действия (2.19), так и уравнения Гамильтона могут быть получены из условияминимальности следующего функционала действияS[q(t), p(t)] =Zt2 ÃXs!pα q̇α − H(q, p, t) dt ,(5.26)α=1t1в котором по-прежнему предполагаются фиксированными значения обобщенных координат в начальный и конечный моменты времени:qα (t1 ) = qα(1) ,qα (t2 ) = qα(2) ,α = 1, ..., s .(5.27)причем при отыскании минимума действия S[q(t), p(t)] функции p(t) варьируются независимо от функций q(t), что и отражено добавлением p(t) вторым аргументом в обозначение функционала действия.Вывод уравнений Гамильтона из принципа наименьшего действия вполне аналогичен выводу уравнений Лагранжа, подробно разобранному в §2.3.
Пусть функционалS[q(t), p(t)] принимает наименьшее значение на функциях q̄(t), p̄(t), где q̄(t) удовлетворяют условиям (5.27). Рассмотрим виртуальную траекторию, описываемую функциямиq̄(t) + δq(t), p̄(t), где малые функции δq(t) удовлетворяют условиямδqα (t1 ) = δqα (t2 ) = 0 ,α = 1, ..., s .(5.28)При этом действие получает приращениеZt2δS = S[q̄(t) + δq(t), p̄(t)] − S[q̄(t), p̄(t)] =t1¯ss¯XX∂H(q,p̄,t)¯p̄α δ (q̇α ) −¯¯∂qαα=1α=1δqα dt .q=q̄Используя равенство (2.1) и интегрируя по частям, находим¯t2 Zt2ï !s¯X∂H(q, p̄, t) ¯¯¯δS =p̄α δqα ¯ −δqα dt .p̄˙α +¯¯∂qαq=q̄α=1α=1sXt1(5.29)t1Поскольку правая часть этого уравнения линейна по вариации δq(t), необходимым условием минимума действия является δS = 0.
Первый член в правой части (5.29) равен нулюв силу условий (5.28), интегральный же член может быть равен нулю, только если равнынулю множители при всех независимых произвольных вариациях δqα , α = 1, ..., s :¯∂H(q, p̄, t) ¯¯˙p̄α += 0 , α = 1, ..., s .¯∂qαq=q̄Таким образом, функции q̄(t), p̄(t) должны удовлетворять s уравнениям Гамильтона (5.5).70§5.3. Канонические преобразованияРассмотрим теперь вариацию действия при переходе от траектории q̄(t), p̄(t) к близкой виртуальной траектории q̄(t), p̄(t) + δp(t), где δp(t) – произвольные малые функциивремени:ï !Zt2 Xs∂H(q̄, p, t) ¯¯δS = S[q̄(t), p̄(t) + δp(t)] − S[q̄(t), p̄(t)] =q̄˙α −δpα dt .
(5.30)¯∂pαp=p̄α=1t1Снова необходимым условием минимальности действия является обращение правой частиравенства (5.30) в нуль, откуда ввиду независимости и произвольности вариаций δpα ,α = 1, .., s следует, что функции q̄(t), p̄(t) должны удовлетворять уравнениям¯∂H(q̄, p, t) ¯¯= 0 , α = 1, ..., s ,q̄˙α −¯∂pαp=p̄т.е. оставшимся s уравнениям Гамильтона (5.6).§5.3.Канонические преобразованияКак было установлено в §1.3, уравнения Лагранжа ковариантны относительно преобразований обобщенных координат, т.е. имеют один и тот же вид при любом их выборе. Отсюда следует, что и уравнения Гамильтона также ковариантны, поскольку попостроению они имеют один и тот же вид (5.5), (5.6) независимо от конкретного выбораобобщенных координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
