К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1124202), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Заметим, что преобразование произвольной функции F (Q, P ) также можнопредставить в аналогичном виде, а именно, имее쵶¶s µX∂φ∂F ∂φ∂φ∂F ∂φF (Q, P ) = F q +,p −= F (q, p) +−,∂p∂q∂q∂p∂p∂qααααα=1т.е.F (Q, P ) = F (q, p) + {φ, F }q,p .A.(5.55)Теорема об инвариантности скобок ПуассонаРассмотрим две произвольные функции обобщенных координат и обобщенных импульсов F, G. Оказывается, что если преобразование от переменных q, p к Q, P является каноническим, то значение величины {F, G} не зависит от того, вычисляется ли она по старымпеременным или по новым, т.е.{F, G}q,p = {F, G}Q,P .75Глава 5.

Канонический формализмДоказательство. Будем рассматривать F и G как функции новых переменных и рассмотрим скобки Пуассона {F (Q, P ), G(Q, P )}q,p . Используя формулу (5.55) и пренебрегаявеличинами порядка O(φ2 ), эти скобки можно преобразовать так:{F (Q, P ), G(Q, P )}q,p = {F (q, p) + {φ, F }q,p , G(q, p) + {φ, G}q,p }q,p= {F (q, p), G(q, p)}q,p + {F, {φ, G}q,p }q,p + {{φ, F }q,p , G}q,p= {F (q, p), G(q, p)}q,p + {F, {φ, G}q,p }q,p + {G, {F, φ}q,p }q,p .Согласно тождеству Якоби, сумма второго и третьего членов в последнем выраженииравна −{φ, {G, F }}q,p . Таким образом,{F (Q, P ), G(Q, P )}q,p = {F (q, p), G(q, p)}q,p + {φ, {F, G}}q,p .В силу формулы (5.55) правая часть этого равенства есть в{F (Q, P ), G(Q, P )}Q,P , что и доказывает инвариантность скобок Пуассона.B.точностиТеорема об инвариантности фазового объемаРассмотрим систему, имеющую s степеней свободы и введем 2s-мерное пространство,снабженное декартовой системой координат, по осям которой откладываются значенияобобщенных координат и обобщенных импульсов системы.

Это пространство называютфазовым пространством системы. Каждая его точка определяет некоторое состояние системы. Действительно, согласно определению, данному в главе 1, состояние системы внекоторый момент времени определяется значениями ее обобщенных координат и обобщенных скоростей в этот момент, обобщенные же скорости взаимнооднозначно связаны собобщенными импульсами соотношениями pα = ∂L/∂ q̇α , α = 1, ..., s.Рассмотрим некоторую область g фазового пространства и определим ее объем γ :ZsYγ = dγ , dγ =dqα dpα .(5.56)α=1gРассмотрим, далее, произвольное каноническое преобразование от переменных q, p к новым переменным Q, P. Область в фазовом пространстве, образованном новыми переменными, на которую отображается область g, обозначим через G.

Определим объем Γ этойобласти формулой, аналогичной (5.56):ZsYΓ = dΓ , dΓ =dQα dPα .α=1GОказывается, что имеет место равенствоγ = Γ.(5.57)Доказательство достаточно провести для бесконечно-малого канонического преобразования. Согласно известной формуле замены переменных интегрирования в кратном интеграле,ZZdΓ =Jdγ ,gG76§5.5. Действие как функция координат и временигде J есть якобиан преобразования от переменных q, p к переменным Q, P. Он представляет собой определитель матрицы, составленной из частных производных новых координатпо старым: ∂Q1∂Q1 ∂Q1∂Q1 ······∂q1∂qs ∂p1∂ps ........

 ....  ∂Qs∂Qs ∂Qs∂Qs · · · ∂qs ∂p1 · · · ∂ps ∂q1J = det ∂P 1 · · · ∂P1 ∂P1 · · · ∂P1  ∂q1∂qs ∂p1∂ps  ..... .... ... ∂Ps∂Ps ∂Ps∂Ps· · · ∂qs ∂p1 · · · ∂ps∂q1Для бесконечно-малого преобразования (5.53), (5.54) эта матрица отличается от единичной на члены порядка O(φ). Если элементы некоторой матрицы A имеют вид Aik =δik + aik , i, k = 1, ..., n, где все величины aik малы, то, пренебрегая величинами порядкаO(a2 ), имеем для ее определителя:det(δik + aik ) = 1 +nXaii .i=1Применяя эту формулу к матрице якобиана преобразования (5.53), (5.54), находимJ =1+sX∂{φ, qα }α=1∂qα+sX∂{φ, pα }α=1∂pα=1+sXα=1sX ∂ 2φ∂ 2φ−= 1,∂qα ∂pα α=1 ∂pα ∂qαчто и доказывает равенство (5.57).§5.5.Действие как функция координат и времениВ рамках классической механики величина действия системы, вычисленного на действительной траектории системы, сама по себе не имеет прямого физического смысла.Однако исследование зависимости этой величины от начального и конечного положений системы позволяет сформулировать принципиально новый подход к интегрированиюуравнений движения – так называемый метод Гамильтона-Якоби.Полагая q(t) = q̄(t), p(t) = p̄(t) в функционале S[q(t), p(t)], мы получим некоторую функцию параметров q (1) , t1 , q (2) , t2 , которые определяют действительную траекторию.

Обозначим эту функцию через S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 ). Структуру этой функции можно определить, исследуя ее изменение при малом изменении какого-либо из параметровq (1) , t1 , q (2) , t2 при фиксированных остальных.A.Зависимость действия от координатРассмотрим две близкие действительные траектории системы, одна из которых определяется условиями (2.18), а другая – условиямиqα (t1 ) = qα(1) ,qα (t2 ) = qα(2) + δqα(2) ,77α = 1, ..., s .(5.58)Глава 5. Канонический формализмФункции, описывающие эти траектории, обозначим соответственно через [q̄(t), p̄(t)] и[q̄(t) + δ q̄(t), p̄(t) + δ p̄(t)].

Другими словами, в обоих случаях система выходит из точки с координатами q (1) в момент времени t1 , но в момент времени t2 приходит в точки,разность координат которых равна δq (2) . Разность значений функционала действия (5.26)для этих двух траекторий естьS(q (1) , t1 ; q (2) + δq (2) , t2 ) − S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 )!ï¯Zt2 Xs¯¯∂H(q̄, p, t) ¯∂H(q, p̄, t) ¯δ q̄α −=p̄α δ q̄˙α + q̄˙α δ p̄α −¯¯ δ p̄α dt∂qα∂pαq=q̄p=p̄α=1t1¯t2à ""!¯ #¯ #s Zt2¯X∂H(q, p̄, t) ¯¯∂H(q̄, p, t) ¯¯¯=p̄α δ q̄α ¯ +− p̄˙α +δ q̄α + q̄˙α −δ p̄α dt .¯¯¯∂q∂pααq=q̄p=p̄α=1α=1sXt1t1Интегральный член в последнем выражении тождественно равен нулю, поскольку траектория q̄(t), p̄(t) – действительная, т.е. удовлетворяет уравнениям Гамильтона (5.5), (5.6).Поэтому с учетом условий (5.58) находим(1)S(q , t1 ; q(2)(2)(1)(2)+ δq , t2 ) − S(q , t1 ; q , t2 ) =sXp̄α (t2 )δqα(2) .(5.59)α=1С другой стороны, согласно определению частной производнойS(q (1) , t1 ; q (2) + δq (2) , t2 ) − S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 ) =∂S (2)δq .∂q (2)Подставляя это в уравнение (5.59) и сравнивая коэффициенты при независимых вариа(2)циях δqα , α = 1, ..., s, получаем∂S(2)∂qα= p̄α (t2 ) ,α = 1, ..., s .(5.60)Аналогичным образом можно вывести соотношение∂S(1)∂qαB.= −p̄α (t1 ) ,α = 1, ..., s .(5.61)Зависимость действия от времениРассмотрим теперь две близкие траектории, одна из которых по-прежнему определяется условиями (2.18), а другая – условиямиqα (t1 ) = qα(1) ,qα (t2 + δt2 ) = qα(2) ,α = 1, ..., s ,(5.62)снова обозначая функции, описывающие эти траектории, через [q̄(t), p̄(t)] и [q̄(t) +δ q̄(t), p̄(t) + δ p̄(t)], соответственно.

Другими словами, в обоих случаях система выходит78§5.5. Действие как функция координат и временииз точки с координатами q (1) в момент времени t1 , но в точку с координатами q (2) приходит с разницей во времени, равной δt2 . Соответствующая разность в величине действияестьS(q (1) , t1 ; q (2) , t2 + δt2 ) − S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 )!!t2Z+δt2à sZt2 ÃXsX=(p̄α + δ p̄α )(q̄˙α + δ q̄˙α ) − H(q̄ + δ q̄, p̄ + δ p̄, t) dt −p̄α q̄˙α − H(q̄, p̄, t) dt .t1α=1α=1t1Разлагая первый интеграл по δt2 с помощью формулы Ньютона-Лейбница, находимà s!XS(q (1) , t1 ; q (2) , t2 + δt2 ) − S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 ) =p̄α q̄˙α − H̄δt2α=1t=t2!ï¯Zt2 Xs∂H(q̄, p, t) ¯¯∂H(q, p̄, t) ¯¯+p̄α δ q̄˙α + q̄˙α δ p̄α −¯ δ q̄α −¯ δ p̄α dt ,∂q∂pααq=q̄p=p̄α=1t1где H̄ ≡ H(q̄, p̄, t) есть значение функции Гамильтона на действительной траектории.Преобразуя интегральный член как и выше с помощью интегрирования по частям и учитывая, что q̄(t), p̄(t) удовлетворяют уравнения Гамильтона, получаемà s!" s#t2XXS(q (1) , t1 ; q (2) , t2 + δt2 ) − S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 ) =p̄α q̄˙α − H̄δt2 +p̄α δ q̄α.α=1t=t2α=1t1Для определения величины δ q̄(t2 ) запишем условие (5.62) для функции q̄(t) + δ q̄(t) :(q̄α + δ q̄α )(t2 + δt2 ) = qα(2) ,откуда, разлагая левую часть равенства по малому δt2 , найдемq̄α (t2 ) + q̄˙α (t2 )δt2 + δ q̄α (t2 ) = qα(2) .Учитывая, что в силу условий (2.18) для функции q̄(t)q̄α (t2 ) = qα(2) ,получаемδ q̄α (t2 ) = −q̄˙α (t2 )δt2 .Таким образом,S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 + δt2 ) − S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 )à s!sXX˙=p̄α (t2 )q̄α (t2 ) − H̄(t2 ) δt2 −p̄α (t2 )q̄˙α (t2 )δt2 = −H̄(t2 )δt2 ,α=1α=1С другой стороны, согласно определению частной производнойS(q (1) , t1 ; q (2) , t2 + δt2 ) − S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 ) =79∂Sδt2 .∂t2(5.63)Глава 5.

Канонический формализмПодставляя это в уравнение (5.63) и сокращая на δt2 , получаем∂S= −H̄(t2 ) .∂t2(5.64)∂S= H̄(t1 ) .∂t1(5.65)Аналогично выводится соотношениеC.Теорема ЛиувилляРассмотрим некоторую область g в фазовом пространстве данной системы. Как мызнаем, каждая точка этой области определяет некоторое состояние системы. Будем считать, что все эти состояния заданы в момент времени t1 и рассмотрим их эволюцию зафиксированный промежуток времени t2 − t1 = t.

Характеристики

Список файлов книги