В.Г. Левич - Физико-химическая гидродинамика (1124062), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Распределение давления можно найти из уравнения Эйлера. Поскольку при потенциальном течении всюду в жидкосзи го1у = О, можпо пэписатги от (чг) ч = — пгад —.. 2 ' Тогда ураппепие Эйлера приобретает яид пгзб (--+ —, + -~-+ -) = О. откуда слелует, что — + — +; + — = сопя!. (3,6) Дальнейшее существенное упрошепие возникает при стационарном реигиме дви,копия, когда - =О и дт дг л ш (г + — + — = — с опя1. 2 (3,7) В отличие от (3,3). в (3,7) постоянная имеет одно и то же значение па всех линиях тока в жилкости. 1!з уравнения Бернулли (3,3) следует, что если илеальиая жидкость обтекает твердое тело, то наибольшее давление булет достигаться в той точке, я которой скорость жидкости обрашается и пуль (от лсйствия поля тяжести мы отвлекаемся).
Такая точка пазывасгся точкой пабегапия потока нли критической то исоа. д 35 лви>кгниг. жнлкосюг п> и гольших чнсллх гейпольдсл 23 ниченную применимость. Оказывается, что влнш>нс вязкости имеет весьма существенное зна >ение в области, пепосрелствеп~>о прилега>ошей к поверхности твердого тела. Можно показа гь, что в этой области показательство закона сохранения циркуляции теряет силу.
Оказывается при этом, что уравнения движения идеальной жилкости допускают разрывные решения. Бо»ее того, этп решения ста~>овятся неоднозначными. Приближение идеальной жнлкости является неудовлетворительным при рассмотрении лвижения жидкости вблизи границы раздела фаз. В классической гидродинамике рассмагривают обычно свойства течения вблизи твердой поверхнос>и. В 3 80 мы остановимся также и на свойствах течения вблизи границы раздела жидкость — газ.
В реальной жидкости на поверхности твердого тела скорость течения лолжна обратиться в нуль. Между тем из законов движения идеальной жидкости, пе накладывающих какого-.тибо ограничения на касательную слагающую скорости жидкости вблизи твердой поверхности, следует, что жидкость движется здесь со скоростью, сравнимой со скоростью течения впали от тверлой поверхности. Таким образом, вблизи поперхности тверлого тела должна существовать узкая область, в которой касательная слагающая скорости претерпевает весьма резкое изменение, от больших значений на внешней ее границе до пуля на поверхности твердого тела. Этот тонкий слой жидкости получил название пограничного слоя.
Все рассуждения предыдущего параграфа о малой величине вязких снл при течении жилкооп> с большими числами Рейнольдса неприменимы к пограничному сло>о. Торможение жилкостн в пограничном слое пронсхолит исключительно благоларя вязким силам, играю>цим здесь основную роль. Математически это выражается в том, что в пограничном слое весьма велик градиент скорости в нормальном к стенке направлении, и вязкие члены в уравнениях Навье — Стокса, содержащие производные, в этом направлении велики, несмотря на малую вязкость жидкости.
Хотя пограничный слой за»имает ничтожный объем, он играег весьма сун>ественну>о роль в движении >килкости. Вяления, пронсходацие в пограничном слое, служат источником гидролинамнческого сопротивления при движении тел в жидкостях. Пограничный слой имеет очень большое значение и для ряда вопросов физико-химической гнлролинамики.
уравнения движения .жидкости в погрзнн н>ом слое попускают существенное упрощение. Именно, в тонком пограничном слое быстрота изменения всех величин в направлении, перпендикулярном к стенке, велика но сравнению с быстротой нх изменения в тзнгенцнальпом направлении. Кроме того, на дос>аточно малом участке тела течение в пограничном слое можно считать плоским (разумеется, если размеры тела нелпкн но сравнению с толщиной пограничного слоя). 24 введение [гл, ! (3, 8) (3,9) ."=1Х у=де) ° (3,1 1) Определенные таким образом безразмерные координаты изменяются в пределах О < Х < 1, О < У < 1.
(3,12) В новых переменных уравнения (3,8) — (3,10) примут вид ех дех вздох 1 др ~ дух т дух — — + — — = — — +- — +— ! дХ а,ду Г!дХ ! дХ Зедуз' о о доз "я доя ! др т дев„„даава ! дХ Зо д»' уао дУ Гз дХ- 'Зе дУ' ' 1 дев, 1 доя — — ~ — —" =о. ! дХ Ь~ д1' (3, 10') Сравним. прежде всего, порядки величин компонентов скоростей э„ и оя.
Из (3,10') имеем: (3,8') з 1,/ д Ь !'дв, з 1,/ дХ о (3,13) Рассмотрим плоское стационарное течение жидкости, направив ось у перпендикулярно к поверхности тела н ось х влоль поверх- мости в направлении течения, Уравнения движения (1,1) и (1,2) з компонентах для стационар- ного движения приобретают вид дел дех , 1 дд /дтох д'~М о — '+и — ' — — — +т! — + — ), и дх з ду Г дх (дхз дуя)' н --К+э — К= — — — +т ! — Я-1- — ау1, де до 1 дл гдев д~е ! е дх Я ду р ду !дх~ дуя)' — и+ —" =О. дх ду (3, ! О) Если обозначить через йе толщину пограничного слоя и через 1 размеры тела, то можно счичать, что изменение скорости по осн у происходит на расстояниях порядка йе, а вдоль оси х — на расстоя- ниях порядка 1.
Всю область движения можно приближенно разбить на две: область невязкого движения и область пограничного слоя, в которой вязкость играет существенную роль. В первой области в уравнениях Навье †Сток можно отбросить члены с вязкостью, за)ярнив их уравнениями Эйлера. Внутри погрзничнодо слоя для упрощения уравнений Навье— Стокса можно воспользоваться тем, что пограничный слой имеет толщину, весьма малую по сравнению с его протяженностью вдоль тела. Введем в уравнениях (3,8) — (3,10) безразмерные координаты, написав: ф 3) движение жидкости пги вольших числах гайно.чьдсз 25 Производная — ие имеет каких-либо особенностей, а ее интеграл дог дХ в пределах от 0 до 1 имеет порядок салшго о .
Г!пятому в пограиичиом слое ьо оз — —,о (о (3,14) С помощью (3,14) можно оценить различные члены в уравнении (3,8). Заметим, что, поскольку изменение У происходит в пределах (3,12), производные дох дгох — ' — — * — т> дУ дуг Точно так же до . дго — — — '- — О дХ дХг Поэтому в правой части (3,8') можно пренебречь членом г дьв 1г дХг по сравнепи>о с членом дгп зг дуг о от. 1г цт ьо г В левой части (3,8'), однако, оба члена имеют тот же порядок величины: „г г>х д~~т 1 дХ 1' в силу (3,14) г пз г>"х охов г'х зо д) ьо Поэтому уравиепис (3,8) можно написать окончательно в виде дох дох 1 дР х+О х +„'т хдх з ду р дх дуг' (3, 15) Толщину пограничного слоя 8о можно оцепить из условия, чтобы все члены, оставленные в уравнении (3,15), были одного и того >ке порядка малости. Это дает: о дг>„т г)га 1 дХ Зг дуг' о (3,1 6) 1'о Если скорость ох иа внешней граиипе пограничного слоя достигает значения 6/ш то из (3,16) следует: (гл.
г ввадениа нли (3,17) Таким образом, Ьо меньше размеров тела в отношении корня из числа Рейнольдса. При этом, разумеется, необходимо. чтобы выполнялось неравенство у' Ке)) 1. Эта оценка подтверждается точным расчетом (см. ниже). Нужно, однако, подчеркнуть, что понятие толщины пограничного слоя является условным. Переход от вязкого течения в пограничном слое к неаязкому течению в основном потоке происходит плавно и постепенно.
Толщина оо представляет толщину той области, в которой происходит основное изменение скорости от нуля до (1о. Из (3,15) следует также, что производная 1др о одх 1 (3,18) Переходя к оценке членов, в)содящих в уравнение (3,9), находим, И',ао что они имеют порядок величины —, т. е. меньше членов урав- 1Я пения (3,8) в отношении —. ао Отсюда следует, что градиент давления по нормали к поверхности, входящий в (3,9), равен 1 др ао(1о рду Р Сравнивая это с (3,18), мы видим, что др Ьо др ду 1 дх' ду р = О. (3,19) Уравнение (3,19) показывает, что в весьма тонком пограничном слое давление не успевает измениться в нормальном направлении и остается равным давлению вне пограничного слоя.
Поэтому изменение давления р с координатой х в пограничном слое определяется характером изменения его вне пограничного слоя. Последний определяется интегралом Бернулли. Уравнения пограничного слоя допускают точное решение для случая обтекания полубесконечной пластинки, на передний край которой набегает поток жидкости, движущийся со скоростью с1о (рнс. 1). Это означает, что градиент давления в направлении по нормали мал по сравнению с изменением давления вдоль поверхности.
Поэтому с точностью до членов второго порядка малости вместо (3,9) можно написать: й 3) движепиг жидкости пгп гольших числах гейпольдсл 27 Для нахождения решения уравнеиий (3,15) и (3,19) при граничных условиях о,=па=О пРи У=О, о -+ (7„ при у -+ оо (вне пограничного слоя) (3,20) (3,21) заметим, прежде всего, что скорость во внешнем потоке имеет постоянное значение, Из интеграла Бернулли следует, что и давление во внешнем потоке имеет постоянное .
значение. Благодаря этому Рис. 1. Обтекание пластинки. в выражении (3,!5) можно опустить член с градиентом давления, переписав уравнение в виде дв„ дп» дтпк э, — -и+о — =у — ' ди в ду = дут. (3,22) Для нахождения распределения скоростей о„ и ок в пограничном слое, удовлетворяюпшх уравнению непрерывности (3,10), удобно ввести функцию тока ф, определяемую соотношением д' :о д дф в дх' (3,23) (3,24) (3,25) Будем искать фупкпию тока ф и виде ф=- у ~(уех 7(т)), (3,26) При этом уравнение (3,10) обрагцается я тождество. Уравнения (3,10) и (3,22) и граничные условия пе содержат щпгакого характерного параметра, имеющего размерность длшпл. Отсюда следует, что в уравнении (3,22) целесообразно перейти к новой безразмерной переменной 28 введения При этом оказывается, что У(о1) удовлетворяет уравнению производных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
