В.Г. Левич - Физико-химическая гидродинамика (1124062), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Скорость Уо представляет некоторую характерную скорость движения и должна быть выбрана за масштаб скорости. Будем выражать скорости в безразмерных величинах Ъ'» = — . Тогда уравнения О» У„' 1!авве †Сток для стационарного течения несжимаемой жидкости мшкно записать в виде (о дЬ', 1 др 1 У доЬ'» 2 — Р» — — — — — — — + ч — — ', ! » дХ» Р дХ» ! !о дХ» ' » (2.
1) или дЪг» дР ч до»г» » » дХ» — дХ Уо! дХ» (2, 2) где Р = †,, — безразмерное давление. Р РУо В преобразованное к безразмерному виду уравнение (1,2) входит один безразмерный параметр, именуемый числом Рейнольдса Де= —. Уз! ч Вводя это обозначение, можно переписать уравнение (2,2) в виде д1г» дР 1 дт»г» !'» — » = — — + "дХ» дХ» йе дХ» ' (2,3) Длйъполноты к (2,3) должно быть придано уравнение нецрерызности д~5 ддХ вЂ” — О.
(2,4) .лчоэначное решение любой гилродинамической задачи требует, помимо уравнений (2,3) и (2,4), задания системы граничных условий на поверхностях, ограничивающих объем, в котором происходит движение жидкости. Рассмотрим два потока жидкости, движущихся в геометрически юдобных областях (т. е. таких областях, которые могут быть 18 [гл.
л введения преобразованы друг в друга одним лишь изменением линейного масштаба). Пусть задана тождественная для обоих потоков система граничных условий и пусть оба потока характеризуются одинаковым значением числа Рейнольдса. Тогда безразмерные уравнения движения обоих потоков будут совершенно тождественны. а потоки полностью подобны друг другу в геометрическом и динамическом отношении. Таким образом, условие геометрического подобия, тождественности граничных условий и равенства чисел Рейнольдса является необходимым и достаточным условием подобия двух течений. В виде примера можно указать на обтекание шаров радиусов гг, и )гя двумя потоками одной и той же жидкости с различными скоростями У, и Уа такими, что — = †, или обтекание одинаковых шаров различными и ю и,=я,' жидкостями с разными скоростями, так что выполнено равенство — = —.
Критерий (число) Рейнольдса составлен из величин Уэ, 1 и и чг тя и ч, задаваемых по произволу; вязкость представляет константу жидкости, характерные скорость и размер могут иметь любые, не связанные между собой значения, определяемые граничными условиями. Безразмерные кпитерин, подобные числу Рейнольдса, составленные из произвольно сдаваемых величин, носят название определяющих критериев.
Любые другие безразмерные величины, характеризующие текущую жидкость. являются функциями определяюшнх критериев. Поэтому всякая гидродинамическая величина может быть представлена как функция определяющих критериев и безразмерных величин. Например, скорость жидкости можно выразить следующим образом: )',=~ =.1(Ке, ~'). При стационарном течении несжимаемой жидкости имеется только один определяющий критерий — число Рейнольдса. Все другие величины являются функциями числа Рейиольдса. Так, например, безразмерная сила трения, действующая на 1 см' обтекаемой поверхности, равна т =ДКе). В более сложных случаях при нестационарном течении или течении при наличии внешнего поля объемных сил и т.
п. наряду с числом Рейнольдса появляются другие определяющие критерии. В этом случае течения подобны, если подобны геометрические условия, тождественны начальные н граничные условия, а все определяющие критерии имеют одинаковое числовое значение. ,Мы не будем рассматривать этих более сложных случаев и ограничимся стационарным потоком несжимаемой жидкости.
В этом случае режим- течения определяется значением критерия Рейнольдса. ф 3] движеиие жидкости пРи гольших числах Рейиольлск 19 ф 3. Движение жидкости при больших числах Рейнольдса. Пограничный слой Наиболее распрострапсииь>л> иа практике случаем лвп>кспия жидкости является движение ее при больших числах Рейпольлса. При Ке )) 1 послслпим члено>> в уравнении (2,3) мо>кио пред> >г, иебречь, если только по каким-либо при шнам производная — „' пе дХАЕ имеет особенно больших значений.
Опуская, как малый, послслний член в (2,3), мы можем иаписзтеи д!'; дР "дх, = ах, или, в размерных величинах, В об>цем случае псстацио~арпого движения и при напиши висшпнх обьсмп»,х спл Имеем; — +(чу) ч = — йгас1 — +1. —. дч р ! дг (3,1) (ч егзд) ч = — йгад ( — + -' ) . гр (3,2) Для интегриропання уравнения (3,2) >аслсм по>итпс ливий токз. Под линией тока иоиима>от кривую, касзтс>ь>шя к которой я каждой точке совпзлзсг по папрзвлсппю с вектором скорости жидкости.
При стационарном течении ли пш токз представляют траектории жидких частиц. Воспользовавшись то>клее>вом '„.гзг!.,;=-(ч йгзг!) ч +(ч го! ч) В уравнении (3,!) мы пренебрегаем вязкостью. Это означает. что при бочьших числах Рсйпольлса вязкис силы малы и играют второстепенную роль. Жилкость, пс имеющую пязкостп, ямскую г обычно нлсальпой. Уравнение (3,1), вырз>кшощсс закон лвпкгсшш илсзльпой жидкости, называется уравнением Эйлера. Пренсбре>ксппс членом, солсржащим вязкость.
и персхол от уравпспия Навье — Стокса к уравнению Эйлера прелставляст весьма существенное упрощение. Уращип>ис Эйлера — первого порялка, а не второго, как уравнение Навьс — Стокса. Вго интегрирование в ряде слу >аев может быть проявлено в самом общем зиле. В случае стационарного движепия под действием внешних сил 1, имеющих потенциальный характер, так что 1= — йгадК урзв~спие Эйлера можно переписать в пиле 20 введение н заметив, что вектор (в го1 ч) перпендикулярен к вектору скорости я. мы можем выразить проекцию уравнения (3.2) на произвольную лмнню тока 1 илн откуда (на данной линии тока) эя р у — + — + — = сопз1. 2 (З,З) Равенство (3,3) носит название интеграла Бернулли.
Он представляет общий интеграл уравнений движения идеальной несжимаемой жидкости. Этот интеграл до известной степени аналогичен интегралу энергии обычной механики. Интеграл Бернулли показывает, что при переходе от мест с большей скоростью течения к местам с меньшей скоростью давление в жидкости изменяется в противополэжном направлении. Поскольку в отличие от уравнений Навье †Сток уравнения Эйлера представляют дифференциальные уравнения первого порядка, в идеальной жидкости должны быть изменены граничные условия; например. обращение в нуль всех компонентов скорости жидкости на твердой поверхности является требованием, несовместимым с уравнениями Эйлера. В идеальной жидкости, не взаимодействующей с твердым телом из-за отсутствия вязкости, тангенцнальная слагающая скорости не может быть подвергнута каким-либо ограничениям.
н на поверхности твердого тела должна обращаться в нуль только нормальная слагающая скорости: п„=О (на поверхности твердого тела). Из уравнений Эйлера может быть сделан еще и другой важный вывод: в идеальной жидкости имеет место закон сохранения ццркуляции скорости вдоль некоторого замкнутого контура, движущегося вместе с жидкостью. 7 Г(1 = ~ 101 У пз = сопз1.
Из этого следует, что если на данной линии тока в начальный момент времени го1 ч = О, то движение на этой линни тока будет оставаться безвихревым и в дальнейшем. В частности, безвихревым является любое движение идеальной жидкости, начавшееся из состояния покоя. (Это справедливо для баротропных жидкостей, для которых р=Ф(р).) Движение жидкости, в каждой точке которой ротор скорости равен нулю, называется потенциальным. ф 3) движепиг. жилкости пги вольших числах гййпбльлсА 21 При потенциальном лвижеиии скорость жидкости всеглз может быть представлена'в ниде ч = цгас1 л, (3, 4) где ~р — некоторая функция координат п времсии, именуемая потенциалом скоростей.
При таком прелставлепии скорости условие го! у = О выполняется автомэти ~вски. Подставляя (3,4) в уравнение непрерывности (1,1), находим, что потенциал скорости лолжеп уловлетворять уравнению Лапласа (3,5) бр=о. Граничным условием, которому лолжен уловлстворять потенциал на поверхности твердых тел, ограничивающих облас~ь движения жидкости, служит условие и„= — = О дй дл (на поверхности твердого тела); здесь л — нормаль к поверхности. Потеипизл скоростей, а следовательно и распрелелеиие скоростей, в идеальной жидкости можно найти из решения хорошо изученной в математической физике краевой задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
