В.Г. Левич - Физико-химическая гидродинамика (1124062), страница 3
Текст из файла (страница 3)
слоями, движущимися с большей скоростью. Объемная сила рбв возникает в жидкости. у которой этот перенос происходит по закону трения Ньютона и вязкие свойства которой характериауются значением одной постоянной вязкости р. Такие жидкости именуются нормальными. или ньютоновскими 1). Нормальными жидкостями являются вода и водные растворы неорганических и многих органических веществ, ряд органических жидкостей — спирты, углеводороды, жидкие металлы. глицерин, некоторые смолы и стекла и ряд других, а также все газы. з) Следует подчеркнуть, что вязкие свойства ньютоновской сжимаемой жидкости характеризуются двумя постоянными — вязкостью и и второй вязкостью Г., входящей в уравнение движения как коэффициент при члене, содержащем дивергеннию скорости.
В несжимаемой жидкости Шч ч = О н этот член не входит в уравнения движения, а вторая вязкость не проявляется. 13 $11 ррлзнвния гидродинлмикн Вязкость Р у различных жидкостей имеет значения, различающиеся в необычайно широких пределах. Некоторые значения Р приведены в табл. 1. Несмотря на столь различные значения Р, в указанных жидкостях строго соблюдается закон трения Ньютона. Существует, однако, широкий класс жидкостей, для которых закон трения Таблица 1 Вязкость р кря 20* С Кяяетятескея вязкость т Р Вешество 0,010 0,150 0,0012 5,8 0,010 1,8 ° 10 0,0156 8,5 одну из задач физнко-химической гидродинамики. К сожалению. до настоящего времени не существует сколько-нибудь обоснованных теоретических представле- ' ний в области течения неньютоновских жидкостей.
Весьма значитель- ное число теоретических исследований в этой области не привело пока к созданию последовательной количественной гидродинамики неньютоновских жидкостей. сГч Записав подробнее ускорение — и учитывая, что плотность сРГ жидкости постоянна, мы можем представить выражение (1,2) как — +(чугай) ч= — афтаб — '+тбч+— дч Р 1 Р Р или в координатном виде дог дот 1 др дзот + а + 2 + дГ дкь р дкт дк2 р ' (1,3') В уравнении (1,3'), как и всюду в дальнейшем, предполагается, что по индексам, встречающимся дважды, производится суммирование (в данном случзе суммирование ведется 'по индексу Рг, пробегающему значения 1, 2; 3). Величина ч, равная т = и (слсцсек), Р носит название кинематической вязкости жидкости. Если отвлечься от Л, то уравнения Навье — Стокса можно вырааить в другом, более наглядном виде.
Для этого заметим, что, Ньютона неприменим. Такие жидкости именуют обычно неньютоновскими, или аномальными. В рамках этой книги мы ие будем рассматривать свойств неньютоновских жидкостей, хотя их изучение несомненно составляет Вода... Воздух .. Ртуть Гликерии 14 (гл. » введения учитывая (1,1), можно (1,3') переписать в виде дро; д / до; до»11 = — ~ — Р3~»+ Рого»+ р 1, + Л дг дх» 'ь (дх» дх~ Л ' (1,4) ~ 1 при 1=л. где йш= (О при г+й.
Чтобы убедиться в тождественности выражений (1,4) н (1,3'). заметим, что д д, до» д,, ('ого») = о» вЂ” + о1 — = о» вЂ” ' дх» ' дх» дх» дх» и део» д до» дх;дх» дх; дх» поскольку уравнение (1,1), написанное в компонентах, имеет вид — » = О. дх» Если обозначить выражение, стоящее в квадратных скобках в урагнении (1,4), через Ра» ' '" Р 'ы+Р ' «+1 (дх + дх )' (1,5) то получим: дРо~ дрс» дт дх» ' (1, 6) Величина рш носит название тензора напряжений. Очевидно, что У дог до» 1 Р = — Реь»+ р ~ — + — )+ рого» представляет совокупность дес» — '1 дх» дхс / вятн величин: Роо. Ряю Р я Р*х " т' д' По самому определению тензора напряжений в изотропной среде ясно, что он является симметричным тензором, т. е.
Рг» = Р»о Действительно, например, У до доя'1 Удоя до 1 Роя 1 ~ ду + дх/+Р о я 1 ~ дх + ду /+Р я и Ряо' дг,/ (Р '),1 д (1,8) В силу этого из девяти величин рг» лишь шесть имеют независимые значения. Чтобы выяснить смысл тензора р;», проинтегрируем (1,6) по некоторому произвольному объему и применим теорему Гаусса— Остроградского к правой части уравнения.
Заметим, что, поскольку по индексу й производится суммирование, в правой части выражения (1,6) стоит дивергенция $1) гвлвнения гндгодинлмнки Уравнение (1,8), следовательно, характеризует изменение импульса. которым обладает жидкость в некотором объеме. Изменение импульса в объеме равно потоку импульса, который вытекает через поверхность, ограничивающую этот объем. Таким образом, р;ь представляет поток импульса. Например, компонент р „ есть не что иное, как х-й компонент потока импульса, вытекающего через грань поверхности, перпендикулярную к оси у г до доз, Я+~(,ду + дл)' Первое слагаембе в правой части этого выражения представляет компонент потока импульса, связанного с механическим перемещением элемента объема жидкости через плошадку, перпендикулярную к оси у.
Второе слагаемое выражает поток импульса, возникающий вследствие наличия у жидкости вязкости. Вязкие свойства жидкости обеспечивают перенос количества движения от мест с большей скоростью к местам с меиьшей скоростью. Система уравнений движения (1,1) н (1,2) должна быть дополнена системой граничных условий.
Многочисленные экспериментальные исследования позволили установить, что при течении капельных ньютоновских жидкостей вдоль смачиваемой нми поверхности твердого тела имеет место неподвижность слоя жидкости, непосредственно прилегающего к поверхности, или, как часто говорят, слип жидкости с твердой поверхностью. Измерения скоростей показали, что толщина неподвижного слоя жидкости весьма мала: она составляет несколько молекулярных слоев (см.
$ 132). Тем не менее, отсутствие скольжения вдоль поверхности весьма существенно для течения жидкости в целом, Аналогичное явление имеет место и в газах, если плотность их достаточно велика. Таким образом, можно считать, что на всех твердых поверхностях, с которыми граничит движущаяся жидкость„ выполнено граничное условие в = О (1 Л) При этом на единицу поверхности твердого тела со стороны жидкости действует сила, равная потоку импульса, проходящему через эту поверхность. На границе раадела подвижных фаз — двух несмешивающихся жидкостей или жидкости и газа — скорость не должна обращаться в нуль, но выполняются следующие условигп 1) тангенциальная слагающая скорости пг непрерывна пн) п(2ь (1,1О) 2) нормальная слагающая скорости обращается в нуль п~'> = огп = О; (1,11) ввзданиа 3) равны друг другу и противоположны по направлению силы, с которыми жидкости действуют друг на друга.
т. е. Ра „з го вз Е(1) Е(2) (1,12 (1, 13) где индексы 1 и 2 относятся к разным жидкостям. В частности, на свободной поверхности жидкости касательный компонент силы обращается в нуль Е,=О. (1, 14) При движении вязкой жидкости в ней происходит диссипация энергии. Вычисление [2[ показывает, что энергия, диссипируемая в единице объема. выражается формулой ЛЕ /' я (ди; два1з — — — — '+ — Н' = лг,/ 2 1 дха дк~ ) ~' дгя ,г дл = иà — l (го[в)зЛ~+ 1 — юй — 2 / [я го[в[и Ез~ ° (1, 13) С математической точки.
зрения решение системы уравнений гидро- механики, являющихся нелинейными дифференциальными уравнениями с частными пронзводнымн, прелставляет значительные трудности. Поэтому общее решение нх удается получить только в исключительных случаях. Такие уравнения, как правило, стремятся упростить, после чего отыскивают приближенные решения упрощенной системы, $ 2. Подобие гидродннамических явлений В гидродинамике и смежных с ней дисциплинах, особенно в тео рии теплопередачи, широкое распространение получили также методы теории размерностей и теории подобия. Здесь мы ограничимся лишь изложением наиболее простых положений гидродинамической теории подобия. Заметим лишь, что методы теории подобия и теории размерностей, представляющие научную основу моделирования физических явлений, используются не только в теоретических исследова~ чх, но и в технике.
Особенно широкое развитие они получили в С(. Отсылая читателя к ряду оригинальных работ и монограф посвященных теории подобия [3[. мы ограничимся лишь пахом пнем условий подобия гидродииамических течений, поскольку ь. будут широко использоваться нами в дальнейшем. Некоторые. более специальные, вопросы теории подобия гетерогенных химических реакций будут разобраны в й 19. Рассмотрим течение вязкой н<идкости и установим необходимые и достаточные условия подобия двух течений. Для установления условий подобия двух процессов необходимо привести уравнения полозив гидгодинлмичяских явлений эвчения к безразмерному виду.
Для этого все размерные перемен° а»е величины, входящие в уравнения гидродинамики, следует опреде»и»ть. в частях некоторого, характерного для них масштаба. Пусть, »»л»»ример. поток жидкости обтекает тело, которое можно охарактеризовать размером !. или этот поток течет внутри трубы, радиус которой равен !. Тогда размер обтекаемого тела или радиус трубы будет характеризовать масштаб области, в которой происходит движение жидкости. Все линейные размеры будем измерять в безх» размерных величинах Х»= — '. Пусть, аналогично, Уо представляет » скорость потока, набегающего на тело или втекающего в трубу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
