Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Эти формулы весьма удобны для вычисления вихрей по наблюдениям над шарами-пилотами. Бьеркнес нашел, что вихрь с вертикальной осью, рассчитанный в единицах МТБ (метр-тонна-секунда), — 10 ', вихрь с горизонтальной осью 10 з. Вертикальные скорости, создаваемые вихрями, не превосходят 1,0 — 1,5 ль/сея. Подсчеты, основанные на наблюдениях над шарами-пилотами в общем подтверждаются данными, полученными автором во время подъемов на аэропланах 26-й авиационной эскадрильи. Аэроплан представляет собой мощное средство изучения атмосферных вихрей, однако для этого необходимо оборудовать аэроплан аппаратурой для фиксации наклона аппарата и положения его рулей. Существует тесная связь между образованием вихрей и облаков; это вопрос, который еще предстоит решить, но результаты наблюдений заставляют предполагать, что кучевые облака есть не что иное как образования, подобные сферическим вихрям.
Остается обсудить устойчивость такой системы вихрей. Живая сила некоторой массы атмосферы состоит из трех частей: живая сила тока с потенциалом скоростей; (Е,), живая сила тока вихря (Лз + Л,) и, наконец, живая сила, производимая изменением плотности атмосферы. Эта последняя очень мала; что же касается живой силы, производимой вихрями, то в обычных случаях движения атмосферы для массы атмосферы, заключенной в параллелепипеде небольшой высоты, она очень мала по сравнению с живой силой тока с потенциалом скоростей. Весьма желательно количественно изучить атмосферные вихри с горизонтальной осью, потому что именно зти вихри определяют характер ЗАМЕТКИ.
РЕЗЮМЕ И КРАТКИЕ АННОТАЦИИ СТАТЕЙ 371 атмосферных движений и погоды. Хч= Р(исозех+Рсозпу+юсозпз)гРЫо + — УР— Ыт, 1 Г О а — ая »а+Он» та+А«= 2 Рот~в~+ Р— во 2 — Ро 2 ) где т — объем жидкости, ограниченный поверхностью В с внешней нормалью и; и, и, и — составляющие скорости какой-либо частицы жидкости; р — ее плотность; ~р — потенциал скорости; если объем т — па- РаллелепипеД, то по, Р, — значениЯ и и Р в его ЦентРЗ, ие, ив и и а, и в — значения составляющих скоростей на высотах В и — В от середины объема вверх и вниз, соответственно. АННОТАНИЯ СТАТЬИ «К ВОПРОСУ О КОЛЕБАТЕЛЬНОМ РАЗРЯДЕ КОНДЕНСАТОРА»«« Задача приводится к решению уравнения У+ а. +() (У+ ..
Ы а ~~х где )г — разность потенциалов конденсатора емкости С; Г д )( 1 а= —— оп' ' ан' Т=— а.Са« ь — самоиндукция колебательной цепи,  — ее сопротивление, причем В =г+ а« , а х=1 — ай 1 — ао' Так как это уравнение типа уравнений Фукса, то на этом основан предлагаемый прием его интегрирования. Интеграл имеет вид С /'1 '( ()о (0) + ~ ~,„! 1,2... (Ь вЂ” 1)... (1+Р)(Ь вЂ” 1+й)( АННОТАНИЯ СТАТЬИ «ПОРЯДОК ВЕЛИЧИНЫ МЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ И ИХ ПРОСТРАНСЪ'ВЕННЫХ И ВРЕМЕИНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ» '« В статье приведены таблицы изменения величин, встречающихся в динамической метеорологии, и показано на примерах, как можно использовать эти таблицы в целях упрощения дифференциальных уравнений двюкения атмосферы. 24« ПРИЛОЖЕНИЯ 372 Построим обычным способом среднюю кривую распределения некоторого метеорологического элемента, отложив х на оси абсцисс.
Обозначим ' через А„„,, количество случаев, когда величина метеорологического элемента лежала между х, и хг, и определим границы х' и л", для которых выражения А „Аг,+, и А +в, А + строятся из данных наблюдения, например, др Рг Рв дг 3600 Из синоптических карт на поверхности Земли и на высоте строятся дв'в дг в др д1/р д7' д*гв дггз д'р д'1/р д'Т дг' дг' дг ' двв' двв' двг' дгв ' дзв' дг» дз ' причем, например, др Рг Рв дг 10в Из кривых распределения числ яем дв'в дг элементов по вертикальному направлению вы- д' гг дгг ' др д'ив д. ''д в равны некоторому определенному числу с. Тогда х' и хв дадут границы для порядка элемента; например, если с =- 1/200, х' и зд дадут интервал, в который наш элемент попадет 99 раз из 100.
Мы будем задавать порядок метеорологических величин интервалом 10" — 10"+'. Очевидно, что при написании уравнений член порядка 10" ' — 10" ' может быть отброшен, если он суммируется с членом порядка 10" — 10 " (с ошибкой не больше 2г/в). Работая с эмпирическим материалом, мы всегда должны заменять производные отношением конечных разностей. В качестве разности по длине в горизонтальном направлении выберем, например, г = 10 км, в вертикальном х = 0,1 ем, а Лг = 3600 сек (так как изменения метеорологических элементов в горизонтальных направлениях в 100 — 1000 раз меньше, чем в вертикальном).
Дадим оценку элементов ив, и„р,. 11 ЛТ~ — (= — ), Тиихпроизводных по з, хид Хуже всего измеряются двепер- Р Р вые величины и особенно плохо вторая (ошибка до 20%), давление измеряется с точностью 10 в, а абсолютная температура — очень неточно, такяге как и скорость ветра. Производные дг, др дТ двгв дгр дгТ дг ' дг ' дг ' дм ' дгв ' ды ЗАМЕТКИ, РЕЗЮМЕ И КРАТКИЕ АННОТАЦИИ СТАТЕЙ 373 причем дР Р1 Ро дз 10з Из синоптических карт, построенных для разных высот, находим дзи, дздз ' ' ' ' а из карт изоплет, построенных на поверхности Земли, находим д Рв д1дз ' ' ' ' а из карт изоплет, построенных на высоте д'~в д1д' ' Приведем пример: ме т 10Π— 10 ' д — Ю- — 1О- дг д 10-а 10-2 дз 10 1 — 10"1 д1 ю' — ю' 10-7 — 10-з 10' 10 з — 10 ' Ю- — Ю- 1О- — 1О- 1О! Ю- — 1О- 1О- -1О- 10 з — 10 з 10 з 10 з 10 ь 10 4 ~ 1О- -1О- Если А, и Аз 10" — 10"", а В 10" з — 10" ', то приближенно можно положить А,+Аз О, памятуя о том, что В+О.
В уравнении должно быть не меньше двух членов более высокого, чем остальные, порядка. При наличии произведения двух членов надо быть осторожным в оценке, учитывая ь-порядок в сомножителях; лучше рассчитать произведения из эмпирических данных. Если В есть сумма нескольких членов, которые все порядка 10" — 10"", то можно сделать только одно заключение: порядок В не превышает 10"— Рассмотрим, как пользоваться оценками по порядку-величины. Имеется трехчленное уравнение (любой произвольный случай может быть сведен к этому) А,+АЗ=В. пэиложвния 10""'. Если отдельные члены неэависимы и одного порядка, то и их сумма того же порядка, если они эависят один от другого, то порядок их суммы может быть значительно меньше. Уравнение, получаемое путем отбрасывания членов малого порядка, нельзя ни дифференцировать, ни интегрировать; только после выполнения этих операций над полными точными уравнениями можно отбросить члены малого порядка.
В качестве примера рассмотрим выражения полных проиэводных в свободной атмосфере с помощью таблицы: Ыэ,/й, Ни,/сй, как легко видеть, нельзя упростить; «. «. + «+ г — ~+и ~~ =110 — 1О )+ 110 — 10 )+ ~Р +<10 10,+110 — 10 1= —.+. может быть упрощено и т. д. РЕЗЮМЕ СТАТЬИ «К ВОПРОСУ О СКОРОСТИ ЗЕРНА»м Формула, которая выражает скорость звука в идеальном газе: е« = — ВТ. 2 Согласно этой формуле скорость звука не зависит ни от плотности, ни от давления гаса при данной температуре. Для реальных газов и для воздуха, в частности, экспериментально установлено определенное соотношение между скоростью звука при заданной температуре и плотностью и давлением гаса.
Из раэвитых в статье соображений следует, что это соотношение объясняется как качественно, так и количественно, если применить уравнение состояния Ван-дер-Ваальса. РЕЗЮМЕ СТАТЬИ «ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРТИЕАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИИ ВОЗДРХА ПРИ ПОМОЩИ НАБЛЮДЕНИИ ЗА ШАРАМИ ПИЛОТАМИ, ПРОИЗВОДИМЫХ С ОДНОГО НУНЕТА»м Наблюдения с помощью двух шаров-пилотов с раэличными собственными вертикальными скоростями подъема, проиэводимые из одного пункта, могут дать сведения о распределении вертикальных течений на различных высотах, определяя высоты, достигнутые шаром-пилотом за определенный интервал времени,и, таким образом, поэвслят найти истинное распределение ветра на раэличных высотах. ЗАметки.
Резюме и кРАткие А лнотАции стАтеи 375 Под ф и к т и в н о й в ы с о т о й шара-пилота в момент времени 1, достигнутой с момента освобождения шара, мы понимаем произведение из собственной вертикальной скорости подъема на величину 1. Отмечая на горизонтальных осях скорости или направления ветра по данным наблюдений двух шаров-пилотов, а на вертикальных осях соответствующие фиктивные высоты, мы получим две кривые Р, и Р, (см. рисунок); разность ординат этих кривых дает кривую Л; дифференцируя А по фиктивной высоте, мы получим кривую А', абсциссами которой будут фиктивные высоты. 0 б Обозначим отношение собственной вертикальной скорости подъема первого шара-пилота к скорости второго через 11р; тогда истинная высота Ь, соответствующая фиктивной высоте г, будет Ь ='г+ — Л; 1 — в вертикальная скорость, соответствующая истинной высоте Ь,~определяется формулой ю =7юг — А, р 1 — р где и, — собственная вертикальная скорость подъема первого шара- пилота.
Наконец, скорость и направление ветра на истинной высоте Ь будет та же, что для фиктивной высоты г. Решение задачи, приведенное здесь, есть приближенное решение для случая, когда а мало. Точное решение зависит от выражения вида б,(и) =((Ч(") '")Ыи+сопз1, =', 1,(.) где ~р (и) — заданная функция, а р — заданная постоянная. ПРИЛОЖВПИЯ РЕЗЮМЕ СТАТЬИ «К ВОПРОСУ О ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ПРАВИЛА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА СИЛ» 11 Для того чтобы при доказательстве правила параллелограмма сил освободиться от тяжелых ограничений, которые требуют, чтобы у некоторой функции существовали производные первого и второго порядка, мы можем рассмотреть в доказательстве правила ромба, данном Пуассоном, систему четырех сил, равных по величине единице и расположенных вдоль по ребрам некоторой пирамиды (а не такую же систему, лежащую в одной плоскости).
Если Л вЂ” равнодействующая двух сил, равных единице и образующих между собой угол 2а, равна 1р (сов а), то применение видоизмененного доказательства Пуассона приводит к уравнению 1р(сова сов ~3) = 1р (сов 71) + 1р (сов 7»), сов 71 = сова сов ~+ Б1пав1п ~) сов 4, сов7» =- совасов(1 — Б1пав1врсовА где 1р(сова) = 2сова. Отсюда следует, что для вывода правила ромба достаточно допустить только свойства равнодействующей, которые Дарбу установил в своей статье в «ВпПе»1п йев 8С)евсее Ма»)»еп»аВ11)пев», 1875, р. 281. Уравнение Пуассона получается из уравнения (1), если А = 0', и А,а,(1 означают произвольные углы. При А = 90', используя одно свойство функционального уравневяя: / (л + у) = ~ (х) + ~ (у), можно доказать, что ЗАМЕТКИ, РЕЗЮМР И КРАТКИЕ АННОТАЦИИ СТАТЕИ 377 АННОТАЦИИ СТАТЬИ «О КИНЕМАТИКЕ ВИХРЕВЫХ ЛИНИИ»" В общем случае движения идеальной жидкости при наличии притока энергии теорема Гельмгольца о сохранении вихрей неприменима.
Поскольку трубки вихрей играют особо вюкну|о роль в практике (например, в динамической метеорологии, гидравлике, аэродинамике), представляется интересным выяснить законы, по которым линии вихрей разрушаются, и найти механические величины, которые характеризуют их разрушение. В настоящей работе рассматриваются кинематические законы сохранения и диссипации вихревых линий. Введем (в современных обозначениях) величину Х~,/ = (а, дга о !). Выделим три важных для дальяейшего исследования направления. Для данной точки М в данный момент времени 7 вихревая линия и сов- падающая с нею жидкая линия (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
