Эйлер Л. Общие законы движения жидкостей (1123906), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Пусть (фиг. 4) АВ/О представляет собой эту трубку; предположим, что в начале, т.е. при г = О, жидкость заполняет в ней часть АВСО, ограниченную сечениями АВ и СВ, перпендикулярными трубке. Будем отсчитывать абсциссы х от точки А на прямой А/; и пусть на всем основании АВ давление р = Тд, а на другом основании СР давление равно ду )35 АС; внутри же жидкости, в произвольном месте Е с координатами АР = х, РХ = у, давление будет равно у5-~55х. Следовательно, нельзя рассматривать жидкость в трубке далее, чем до СВ, причем надо принять АС = у/~3, чтобы давление на СВ не могло стать отрицательным.
л а л сг с Фяг. 4 55. Положим, что у так выбранной массы жидкости длина АС = Ь, ширина АВ = СР = с, высота же не входит в рассмотрение, так как ни скорости, ни давления вовсе не зависят от третьей координаты г; при у = рЬ давление на основании АВ в начальном состоянии АВС/) равно 1365, на основании СО равно нулю, а в произвольной точке г. равно 13д(Ь-х) = 135 СР, Предположим, что в этом состоянии жидкость имеет такое движение вдоль направления трубки, что скорость на линии АС равна а, на линии ВО равна а + ас, а на произвольной линии ДР, параллельной направлению трубки, равна а + ау, где принято АД = СВ = у, Итак, мы представляем себе, что вследствие некоторой причины такое движение было сообщено жидкости и что в первый момент жидкость получила воздействие силы рЬ5 на поверхности АВ в результате давления поршня, в то время как другое основание С/) не было подвержено никакому давлению. Но в последующие моменты времени силы, действующие на крайних сечениях, могли бы меняться произвольно: но это изменение определено гипотезами, которые мы только что установили.
Итак, посмотрим, как в силу этих гипотез будет продолжаться движение жидкости. 56. По истечении времени г все элементы жидкости, находящиеся на линии ДР, будут иметь скорость в том же направлении, равную а + ау + 13д с которой онн пробегут за промежуток времени Ж расстояние (а + ау+'33г)й; таким образом, с начала движения они пройдут расстояние, равное ьч + ау1 + Чз13п; следовательно, жидкая ниточка, находившаяся в начале в положении ЦК, окажется теперь сдвинутой в д~, пробежав расстояние Яд = ш + ау1 + '/з рн, Таким образом, нить АС перейдет в дс, пробежав расстояние Аа = ьч + '/з ~3п, а нить ВО перейдет в ЬН, пробежав расстояние ВВ = ш+ асг+ '/з 3)а, так что масса жидкости будет теперь ограничена сечениями аЬ я сп', прямыми, но наклоненными по отношению к направлению трубки.
Нужно, чтобы теперь давление в точке д на сечении аЬ было равно дфЬ+бг-р 9у)=дфЬ+бг — 13аг-аКй- — Щ)п) 1 2 а сН в точке г на сечении сВ равно 1 хфЬ+ бс- р. Дг) = я(бс-33ас — сфус- — Я)п) 2 Итак, нужно представить себе поршни, которые действуют с такими силами на два крайних сечения аЬ и сВ, и поскольку эти давления не одинаковы по всей площади зтнх сечений, нужно представить себе гибкие и податливые поршни, посредством которых могуг быть осуществлены указанные давления.
57. Это движение осталось бы тем же самым, если бы при интегрировании давлеши р мы взяли вместо Ьг произвольную функцию от б но тогда состояние давления в жидкой массе стало бы различным для каждого момента времени, даже если предполагаемое движение жидкости при этом не было бы подвержено никакям изменениям. Итак, положим 51 = 33ш+ а13ш+ '/зр(3п; по истечении времени с давление в произ- 49 вольной точке д в сечении аЬ будет равно дфЬ + а~)(с-у)О, а в произвольной точке х на линии дг оно будет равно дфЬ+ а~)(с-у)~ — () дг); поэтому давление на другом конце г будет а~5д(с-у)ь Значит, в сечении аЬ давление будет равно Дд(Ь + асб в а и ЦЬ в Ь, а в сечении сд давление будет равно а~дс~ в с и равно нулю в и'.
К тому же, каждая нить ДК будет двигаться в своем собственном направлении равноускоренно, т.е. будет получать равные приращения скорости за равные времена. Исследование этого частного слу ьзя может послужить для уяснения выкладок, которые нужно будет проводить во всех других случаях. 88. Остановимся еще раз на предложенном случае (з 48) и положим плотность д постоянной и равной л; но в качестве сил Р, Д, л выберем такие, при которых жидкость никогда не могла бы быть в равновесии.
В этих целях пусть р = О, Д = -х/а и л = -хйц положим далее (у+ г)~ и=Ь+ а чтобы иметь Йи') Нр хну+ хг(г уИх+ Ых пх! д а а Отсюда в результате интегрирования получаем Р хУ+ хг — = солзы а где постоянная может содержать время произвольным образом. Следовательно, невозможно, чтобы вся масса жидкости оставалась когда-нибудь в покое. Ибо если бы мы и приняли Ь = О, чтобы иметь жидкость в покое в начале при г = О, тотчас же после первого мгновения она будет возбуждена, и только элементы, для которых у = О или х = О или у+ г = О, останутся в покое; все остальные приобретут движение либо вперед, либо назад, в зависимости от того, будет ли величина у + г положительной или отрицательной. Легко также определить давления, которые требуются для поддержания рассматриваемого движения.
59. Но пусть плотность больше не постоянна, а переменна, т.е. жидкость сжимаема; для того чтобы выражение уйх-уигй стало полным дифференциалом, можно принять в качестве и произвольную функцию переменных к, у, г и ь Поскольку здесь только две величины, х и Ь рассматриваются в качестве переменных, а две другие, у и г, в качестве постоянных, можно будет всегда определить такую величину х, чтобы х(Ых-ий) стало интегрируемым. Пусть 5 будет этим интегралом и это условие будет выполнено, если принять д = ху'(5), где 5 = ) х(с(х — ис0).
Кроме того, теперь нужно, чтобы было илтегрнрусмь1м следующее дифференциальное уравнение; ср ('Ни 1 Гг(и1 — = Рг(х+ Цйу+ Рг(е — г(х — ! — ш(х— Д (,(! (,(! Замечу, гго, если силы Р, Д, В здесь исчезают, давление р будет функцией от х и г и, следовательно, величина я — чи должна содержать только две переменные х и Ь откуда должна быть определена природа функции а, хотя она может содержать также у и г. 50 60.
Хотя я и предположил здесь, что и = О и н = О, зти формулы содержат в себе все случаи, когда движение всех частиц жидкости происходит всегда в одном и том же направлении; остается только принять ось ОА за это направление. Поэтому мы сможем также решить наши уравнения в случае, когда движение направлено под углом по отношению к трем осям, что не преминет дать нам некоторые пояснения в этом анализе. С этой целью рассмотрим истинную скорость произвольной частицы с жидкости и пусть она будетз" зу; поскольку ее направление задано по отношению к трем осям, составляющие скорости связаны между собой определенными соотношениями.
Пусть и = а«у, и= )3«у ив =удг; полагая пдр=Кй+1х1х+М«1у+ЖЫг, получим Х = аК + аале + АМ + ауЖ У = РК + а~3ь + Щ3М + )ЗуИ Е= уК + ауЕ + ~3уМ + ууИ Следовательно, если для краткости обозначить К+ аЕ+ ~3М + уМ = О, так что Х = аО, У = ДО, 2 = уО, наши уравнения примут вид — = Р~ + Ос~у + )озх- 0(аих+ ~3«1у+ ус1з) ~р «) — +а — ' +~3 — ' +у — ' =О 61. Пусть сначала плотность д = я. Как мы видели в 6 44, для того чтобы удовлетворить равенству а — +Д вЂ” +у — =О величина зу должна быть произвольной функцией величин ау-~3х и ах-«ух или же ()х-уу, прнчем зта функция может, кроме того, содержать произвольным образом и время ь Итак, пусть зу будет произвольной функцией величин ау-~3х, ах-ух и ц так как выражение ~3г-уу уже образовано из двух других. Отсюда легко понять, что скорость часгиц, находящихся на одной и той же прямой линии, параллельной направлению движения, в каждый момент времени повсюду одна и та же, точно так, как того требует природа гипотезы.
Значит, дифференциал величины «у будет иметь следующий вид: Иу = Гс)г + О (аду-~Ых) + Н(ггхЬ-усух) так что К = Г, Ь = -~30-уН, М = аО и)з' = аН. Следовательно, О = Р— функция от ау †,ад-ух и О поэтому дифференциальное уравнение, которое остается решить, будет таково — = Рй+ ДЫу+ йское — ПоАх + ~Ыу «- у«1х) ир 62. Предположим, что время з здесь постоянно. И если выражение Рс1х + Яду + «- Ия = й' интегрируемо само по себе, то нужно, чтобы остальная часть Г(си6 + )3Ыу + «усЬ) была также интегрируема; а этого не может случиться, если только Р не является функцией от ах + ру + ух и времени ь Но, кроме того, нужно, чтобы функция Р' была также функцией величин ау-Дх, ах — ух и времени ц следовательно, так как выражение ах+ Ду+ уг не может быть образовано из выражений ау-~3х и зз Здесь, как н в 6 33, зйлерово обозначение Ъ' заменено на «у. 51 аг-ух, очевидно, что величина г" должна быть функцией только времени а Поэтому скорость ц! будет типа ц! = с + Т, где с обозначает произвольную функцию двух величин ау-~3х и ах-ух, не содержащую времени О а Т представляет собой произвольную функцию только времени д так что йТ = Р'й.
Поэтому интегралом нашего дифференциального уравнения будет — = 1'-г(ох+~3у+уг)+сова! Р 8 где постоянная может произвольным образом содержать время ь Этот интеграл вместе с соотношением у = с + Т содержит все, что касается движения в рассматриваемом случае. бЗ. Если же плотность д не постоянна, будет важно получить решение следующего уравнения: — +а — ' +13 — ' +у — ' =О Сколь бы трудным это не могло показаться, сведение к предыдущему случаю указывает, что скорость ц! может быть произвольной функцией четырех переменнь|х х, у, х и д а значение д должно определяться следующим образом.
Рассмотрим в общем случае выражение х()х!х + тНу + пйг-ця(!) = 45 которое стало интегрируемым после умножения на гч и пусть д = з!(5). Тогда, если полохсить сУ(5) = ~Ь!"(5), наше выражение примет вид Д5)~ — ~ — зТ'(5)ту+ а1Т(5~ — ~+ ац(Я5)~ — )+ ацьг!'(5)!х+ Г4И с!г )),ь) + (3хД5)~ — ~+ )3цТ(5)~ — /+ Дц!зТ'(5)им+ пу пу + у1Т(5)~ — ~+ уц~(5~ — )+ уцм~'(5)лх с!з Й и оно должно быть равно нулю. 64. Прежде всего приравняем нулю члены, содержащие Д5), в результате чего получим 1 = а!+ рт + ул; остальные члены после деления на !(5) дают — +а — ' +13 — ' +у — ' =О что очень похоже на рассматриваемое выражение; но нужно заметить, что интегри- руемость величины 45 включает следующие условия: отсюда получаем ~Ь1 — )(1- а! — !Зги — ул) = О (г) что согласуется с предыдущим условием. Таким образом, при условии, что а!+ (3т + + ул = 1, а х — такая функция, которая дает х(!Ых + ли(у + лг!г — цггй) = Н5, обеспечивая 52 у= — +и — +и — +н Прн этом наше дифференциальное уравнение примет вид — = Рих+Яйу+лсй — ИП вЂ” иди-мзи — ичпс ир Д (последний член которого абсолютно интегрируем), а другое уравнение останется прежним — + — '+ — '+ — ' =0 67.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
