Эйлер Л. Общие законы движения жидкостей (1123906), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Тогда плотность в точке 2' составит у+Э вЂ” + — +из — + ~д Поскольку же плотность обратно пропорциоральиа объему, эта величина будет от- носиться к д, как гхгззуггз относится к ггхйусК !+гй — +й — +й— Следовательно„разделив на й, получим следующее уравнение, к которому приводит рассмотрение плотности: — +и — +и — + — + — +о — +о — =0 17.
Итак, получено совершенно замечательное условие, которое уже установило некоторое соотношение между тремя скоростями и, и и н и плотностью жидкости о. Это уравнение может быть приведено к значительно более простому виду'т, ибо и~ — ~ не отличается от ~ — ~, так как при таком способе выражения нужно по(йу з ~11' нимать, что при дифференцировании о и качестве переменной принимается только величина к, и аналогично ~й-Ф н В последующих рассуждениях Эйлера круглые скобки выходят за рамки простого обозначения частных производных, но смысл производимых действий остается прозрачным; в обозначениях Эйлера Н.ди Щи) и т.д.
3 Механика жидкости в газа, ЛЗ б Отсюда ясно, что ~1и йу ийу+ дИи сЬуи причем дифференциал от произведения дн понимается так, что в качестве переменной рассматривается только величина х. Поэтому полученное нами уравнение сводится к следующему: — ~+ — '+ '~ + — ' =О Если бы жидкость не была сжимаемой, плотностыу была бы одинакова в У н Т и в этом случае получилось бы уравнение — + — + — =О совпадающее с тем, на котором основано мое Сочинение на латинском языке, упомянутое выше'з. 18. Это уравнение, полученное пря рассмотрении непрерывности жидкости, уже содержит некоторую зависимость, которая должна существовать между величинами и, и, и и 9.
Другие зависимости должны быть получены из рассмотрения сил, воздействию которых подвержена каждая частица жидкости. Итак, помимо ускорительных сил'з Р, д, я, действующих на жидкость в е, она подвержена также давлению (рзевззоп), которое действует со всех сторон на элемент жидкости, содержащейся в У. Из совокупности этих двояких сил получаются три ускорительные силы, действующие в направлениях трех осей. А так как сами ускорения можно определить из рассмотрения скоростей и, и и н, мЫ получим отсюда три уравнения, которые вместе с только что выведенным уравнением будут содержать в себе все, что касается двнжения жидкости.
Таким образом, мы получим при этом общие и полные законы всей науки о движении жидкостей. 19. Для нахождения ускорений, которым подвергается элемент жидкости в е, нам нужно только сравнить скорости и, и, и, соответствующие в данный момент точке 2, со скоростями, которые соответствуют точке 2' по истечении времени й. Происходит, следовательно, двоякое изменение: в отношении координат х, у, х, получающих приращения ий, пй, зей, и в отношении времени, которое увеличивается на й. Отсюда следует, что три скорости в точке 2' соответственно в направлениях ОА, ОВ и ОС таковы н + й — + ий — +цй — + н 0 и + й — + нй — + ий — + н'й— н + й — + ий — +нй — + н й— '" См.
сочинение, указанное в Примечания Пбь '" О понятии "ускорнтельных" (массовых) снл см. Примечание [5]. Таким образом, ускорения, выраженные через приращения скоростей, поделенные на элемент времени й, соответственно в направлениях ОА, ОВ и ОС будут иметь вид — +и — +и — + — +и — +У вЂ” + — +и — +о — +ив 20. Найдем теперь ускорительные силы, действующие в тех же самых направлениях, обусловленные давлением жидкости на параллелепипед Ух, объем которого равен Их0уНх, а, следовательно, масса жидкости, занимающей его, равна ~ус~ЫуЖ. Так как давление в точке У выражается через высоту р, движущая сила, действующая на грань ХЦЯр, равна рг1уггх; для противоположной грани гдгР площадью Муга высота р увеличивается на свой дифференциал дх~ — ~, получаемый в предположении переТ~р1 сЬ меииости толысо координаты х, Следовательно, жидкая ьшсса Ех толкается в направлении АО движущей силой дхтгуНс вли же ускорительной силой — ~ — ~.
Таким же образом получим, что жидкая масса Ух 1 Тир~ ,у~,у ~ ) (1Р1 подвержена воздействию ускорительной силы -~ — в направлении ВО н ускоа~Ьу1 ) (~р') рнтельной силы -~ — ) в направлении СО. Добавим к этим силам заданные силы Р, 2~1) Д, В, и полные ускорительные силы в направлениях ОА, ОВ и ОС соответственно будут равны 21.
Итак, остается лишь приравнять этн ускорительные силы толысо что найденным действительным ускорениям и мы получим три следующих уравнения~: Р-- — = — +и — +о — +гг— хо Несмотря на внешнее сходство с современной записью уравнений Эйлера, эти уравнения записаны здесь в безразмервой форме. Давление р измеряется отношением действующего давления к объемному весу уо = ро» некоторой вспомогательной однородной жидкости, плотность о безразмерна (д = ргро), компоненты массовых сил отнесены к ускорению силы тяжести 8 и переход от эйлеровых скоростей и, и, и и времени к реальным К К д', Т производится преобразованиями вида и -> У/Чк, г -э Т!.~8.
(Подробнее о системе физических единиц у Эйлера см. выше в статье Г.К. Михайлова в этом же выпуске журнала, с. 8-25.) 35 Д-- — = — +и — +и — +м— й-- — 'и = — +и — +и — + Если к этим трем уравнениям добавить в первую очередь то уравнение, которое было выведено из рассмотрения непрерывности жидкости, а именно — + — '+ — '+ — ' =0 а затем уравнение [состояния), которое дает соотношение между упругостью (давлением) р, плотностью д и некоторой другой величиной г, влияющей на упругость р помимо плотности д, то мы будем иметь пять уравнений, содержащих всю Теорию движения жидкостей. 22. Какой бы природы ни были силы Р, Д, Н, при условии, что они реальны., следует заметить, что выражение Р41х+ 9зу + )Иг всегда является полным (гбе1) дифференциалом от некоторой конечной и определенной величиныз1 в предположении переменности координат х, у и з.
Таким образом, всегда будем иметь И если положить зту конечную величину равной Я„то, предполагая время г постоянным, получим Ж = Рс(х + Яду + )Ыг для случая, когда сипы Р, Д, Ю изменяются также со временем в одних и тех же точках. Величина 5 выражает то, что я называю напряженностью (1'ейоп) приложенных силзз, и равна сумме интегралов от каждой силы, умноженной на элементарный отрезок в направлении этой силы илн на то маленькое расстояние, на которое она протащила бы тело, подверженное ее действию. Это понятие напряженности в высшей степени важно для всей Теории как равновесия, так и движения, поскольку оно позволяет усмотреть, что сумма всех напряженностой всегда максимальна или минимальна. Это прекрасное свойство замечательно согласуется с превосходным принципом наименьшего действия, открьггнем которого мы обязаны нашему Знаменитому Президенту г-ну де Мопертюизз. 23. Только что полученные уравнения содержат четыре переменные х, у, г и д абсолютно независимые между собой, ввиду того что изменяемость первых распространяется на все элементы жидкости, а последней — на все времена.
Поэтому, для того чтобы уравнения имели смысл, нужно, чтобы остальные переменные и, и, н, р и д представляли собой некоторые функции предыдущих. Хотя одно дифференциальное уравнение с двумя переменнымиз4 всегда разрешимо (роза(Ые), известно, что однО дифференциальное уравнение, содержащее три или больше переменных, разрешимо только при определенных условиях, в силу которых члены уравнения должны удовлетворять некоторому соотношению между ними. Итак, до того как можно будет начать решение этих уравнений, надо, следовательно, выяснить, какого рода функ- З| Эйлер полагает здесь реальные массовые силы имеюшимн потенциал (точнее гоясззя, силовую функцию). Под "конечными" величинами (функциями) Эйлер понимает величины, не содержащие дифференциалов.
Эйлерово понятие "напряженность прнло:кенных сил" эквивалентно нынешнему понятию потенциала сил. ЗЗ Мопертюи был в то время президентом Берлинской академии. З4 под переменными эйлер понимает здесь как независимые переменные, так и нх функции. 36 цнями от х, у, г и 1 должны выражаться величины и, о, н, р и д, чтобы эти самые уравнения были разрешимы. 24. Умножнм теперь первое из трех полученных уравнений на дх, второе на 4у н третье на гй.
Ввиду того что выражение Нг — +Ну — +й— представляет собой дифференциал р, в предположении постоянства времени г мы по- + — + пгй — + — + мчав +И вЂ” + и — +гьг' — + наду†+Нг — + нгц — + ыгг — + юй— Речь идет о том, чтобы найти интеграл этого уравнения, в котором время принято постоянным. Следует заметить, что это одно уравнение содержит в себе трн уравнення, нз которых оно составлено, и что, как только оио будет удовлетворено, условна всех трех будут выполнены. Итак, если выраженнегз И5 — брlд равно трем строчкам, где х, у и г переменные, часть выражения Ж вЂ” Ирод, обусловленная только переменностью х и равная гтгг -— обязательно должна быть равна первой строчке и аналогично для двух других.
Члены Ж) Ф (Ф) найденные в предположении переменности времени г, в силу того что они обозначают некоторые конечные функции, не препятствуют тому, чтобы время г могло быть принято теперь постоянным. 25. Представим себе, что это уравнение уже решено и величины и, и, н, д и р найдены как некоторые функции х, у, г и д Подстановка этих функций в дифференциальное уравнение в предположении постоянства времени г дает тождество. Поскольку после этой подстановки мы будем иметь три вида членов — одни, связанные с й, другие с ду и третьи с Ж, — тождество приводит нас к трем уравнениям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
