Эйлер Л. Общие законы движения жидкостей (1123906), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Если же д зависит только от р, нужно, чтобы выражение Рдх+ ДИу+ йаг было абсолютно интегрируемым или же было принято У = 1; тогда, поскольку р будет найдено в виде функции от И', плотность д будет также функцией от И', которая опять же должна быть функцией величин х — ад у — Ьд г — сц отсюда мы и выведем природу этой функцин.
46. Но мы видим, что в общем случае давление р должно быть всегда функцией от И', поскольку иначе плотность д не могла бы быть конечной функцией. Стало быть, пусть р =У(И') и др =у' (И'); тсгда, в силу того что получим д = (О'(И'). Следовательно, этот случай не мог бы осуществляться, если бы плотность д не была пропорциональна произведению величины У на функцию от давления р нли же произведению величины Ир()т) на произвольную функцию от р, где через <р(И') обозначена заданная функция от )т'. Пусть, например а = рр(др(И/) тогда будем иметь Х()у)= — =ЛИ') т()г) аг(И") 2 с()У откуда найдем, что неизвестная функция у (И') оставлена из И'.
В данном примере змеем — = -) гййР(Ж) =— 1 1 Х(И') Р и отсюда р будет выражено через И', а следовательно, величина а будет также известна. Если она будет приводиться к виду функции от х — ац у — Ьг, г — сц предполагаемое состояние жидкости будет возможным и мы будем знать давление и плотность жидкости в любой момент времени и в любом месте. 47. Пример лучше разъяснит эти рассуждениязе, которые, ввиду того что мы еще ° недостаточно освоили их, могли бы показаться слишком непонятными.
Итак, пусть Р = у, Д = -х и К = О; так как — = уах — хау с(р Д '" В этом примере рассматриваются силы, не имеющие потенциала, и находится для них инмгрирующий множитель К 45 мы получим 1 х 1/= —, И'= — +Т уу у где Т представляет произвольную функцию времени с. Пусть, сверх того, д = рр/уу; поскольку с/р/рр = (ус/х — хс/у)/уу, мы получим 1 х у р у Е)у — х где постоянная О содержит также время с. В результате мы будем иметь ! с/ = (Оу — х) г причем это выражение должно быть функцией от х — ас и у — Ьс, поскольку г не входит в него, а это возможно только при О = а/Ь; тогда будем иметь Ьу с/ = з р= (ау — Ьх) ау — Ьх Таким образом, ни давление, ии плотность вовсе не зависят от времени и будут постоянно одними и теми же в данном месте.
Этот пример показывает, как нужно проводить выкладки в других случаях, которые хотелось бы себе представить. 48. Рассмотрев предыдущий случай, где три скорости были постоянными, предположим теперь, что две скорости и и н равны нулю, что соответствует случаю, когда все частицы жидкости движутся в направлении оси ОА, так что траектория, описываемая каждой частицей, представляет собой прямую линиюзт, параллельную оси ОА; этот случай отличается от предыдущего, так как скорость и считается переменной как по отношению к месту, так и ко времени. Ввиду того что Х= — +и —, У=О, У=О наши два уравнения примут вид с/р Гс/и') Гс/и') — = Рах + 0с/у+ Ис/х — с/х~ — ! — ис/х~ — ! с/ 1./ ! — — =О Последнее уравнение позволяет нам прежде всего понять, что выражение с/с1х — с/ис1с должно быть интегрируемым, причем величины у и я считаются при этом интегрировании постоянными; следовательно, необходимо, чтобы произведение с/ на с/х — ис/с представляло собой полный дифференциал, т.е.
было интегрируемым. 49. Если плотность жидкости всюду и всегда одна и та же, т.е. с/ равно постоянной Гс/и') величине я, то, поскольку ~ — ~ = О, ясно, что скорость и не должна зависеть от пес/х н Это случай так называемого слвнгового течения. 4б ременной х.Пусть и является произвольной функцией двух других координат у, х и времени д при этом дифференциальное уравнение примет вид — = Рог+ Яву+ ~Ыг — Ых~ — ! др (Ии1 Д ~а! где время ! предполагается постоянным; стало быть, нужно, чтобы это выражение было интегрируемым.
Следовательно, если выражение Рйх + Д4 + ИЖ, полученное из рассмотрения действующих сил, интегрируемо само по себе, необходимо, чтобы Ыи1 (ви1 — ) было также интегрируемым. Выражение ~ — ! не содержит х, но, если бы в ,й) ~1! (и'и1 яем присутствовали у и х, выражение Их~ — ! не могло бы быть интегрируемым; по- Й Ии1 этому необходимо, чтобы ~ — ! вовсе не содержало у и г.
Пусть Š— произвольная ~ь! функция у и г, а Т вЂ” произвольная функция только времеии д тогда величина и = с + Т будет удовлетворять этому условию, откуда, в силу того что Рак + Дг у + Мх = пР и Ф=~% получим следующий интеграл: р (1Т; — = Р-х~ — ~+сова! ~й~ 50. Для того чтобы лучше понять этот случай, заметим, что каждая частица Е совершает движение только в направлении ХР, параллельном оси ЕА, и поэтому каждый элемент жидкости опишет в своем движении прямую линию, параллельную этой оси, так что для одного и того же элемента две координаты у н г вовсе не меняют свои значения.
Следовательно, движение каждой частицы будет либо равномерным, либо изменяющимся со временем таким образом, что все частицы будут подвержены в каждый момент времени одинаковым изменениям в их движениях, что очевидно благодаря формуле и = Л+ Т. Состояние давления описывается при этом формулой (йТ'~ Р=яг — ях~ — ~+сова ~1! где постоянная может произвольным образом содержать время д давление зависит не только от напряженностизз сил г", но еще и от изменения скорости, которому подвержен каждый элемент жидкости, и, кроме того, оно может меняться произвольным образом со временем. 51. Этот случай дает мне возможность разрешить некоторые сомнения, которые, естественно, должны возникать и разъяснение которых будет очень важно в Теории как равновесия, так н движения жидкостей.
Прежде всего мы будем удивлены тому, что изменение скорости жидкости может иметь место, когда побуждающие силы Р, Д, л не содействуют возникновению этого изменения. Поскольку видно, что это предполагаемое изменение могло бы существовать даже при исчезновении побуждающих сял, то резонно возникает вопрос, какая же причина вызывает это изменение? Далее, кажется также парадоксальным, что давление может изменяться в каждый момент времени произвольным образом и это независимо от упомянутого изменения, которому и См. Примечание ~22ь подвержено двджение. Эта последняя трудность сохраняется даже в состоянии равновесия: полагая исчезающими три скорости и, и, и, будем иметь для несжимаемых жидкостей следующий интеграл: — = У+сова~ Р М где постоянная может содержать время ~ произвольным образом.
52. Для того чтобы лучше понять это, нужно только представить себе определенную массу, заключенную в сосуде. Ясно, что состояние давления зависит не только от побуждающих сил, но также и от посторонних сил, которые могут действовать на сосуд. Ведь если бы даже вовсе не было побуждающих сил, то посредством поршня, через который действовали бы на жидкость, можно было воспроизвести последовательно все возможные состояния давления, не нарушая равновесия.
Именно это позволяет нам заключить наша формула, которая в рассматриваемом случае показывает, что р~д есть функция времени ь Отсюда мы видим, что состояние давления может изменяться в каждый момент времени и это независимо от равновесия. Но если в каждый момент времени известно давление в какой-то точке, то тем самым будут определены давления во всех остальных точках; и если бы случилось, что на поршень давили бы то с большей, то с меньшей силой, расчет должен бы был показать все эти возможные изменения.
То же самое изменение должно иметь место н тогда, когда жидкость подвержена действию произвольных ускорительных сил, так что в каждый момент времени состояние давления не определено и зависит от силы, которая действует в это время на поршень. 53. Таково, следовательно, очень существенное различие между ускорительными силами, которые действуют на все элементы жидкости, и силой поршня, с которой он давит на жидкость. В наше дифференциальное уравнение входят только ускорительные силы, а сила поршня входит в расчет только после интегрирования и влияет лишь на постоянную, которая появляется в результате интегрирования. Эту постоянную нужно, следовательно, определять в каждом случае так, чтобы в том месте, где находится поршень, давление было точно равно силе, с которой на поршень давят в каждый момент.
И именно по этой причине упомянутая постоянная содержит время, что позволяет ее изменять со временем по желанию, как того требуют обстоятельства. Это изменение можно всегда представить действием поршня; каким бы ни был рассматриваемый случай, для его определения нужно всегда предполагать, что по крайней мере в одной точке жидкости давление известно в каждый момент времени и именно это обстоятельство позволяет определить постоянную, введенную в расчет в результате интегрирования нашего дифференциального уравнения.
54. В нашем случае движения, рассмотренном в 4 49, предположим также, что ускорительные силы равны нулю, т.е. У = О, а для того чтобы сделать этот случай вполне определенным, положим и = а + ау+ ~)г. Тогда уравнение, определяющее давление, будет иметь вид Р/5 = сопзг-~)х. Положим, сверх того, постоянную равной у+ Ьд так что р!5 = Т+ Й-~)х, и посмотрим, при каких условиях зто движение может иметь место. Поскольку каждый элемент жидкости движется в направлении оси ОА, это движение может происходить только в цилиндрической трубке, лежащей в том же самом направлении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
