Эйлер Л. Общие законы движения жидкостей (1123906), страница 2
Текст из файла (страница 2)
" Тем самым Эйлер огранячиаается рассмотрением движения жидкости а заданном поле температур. 28 ства принята в качестве единицы плотности, которой я буду пользоваться, чтобы измерять давления высотами, как я это объяснял более пространного в моем Мемуаре о равновесии жидкостей'о. Пусть также в настоящий момент времени давление жидкости в точке 2, выраженное через высоту, равно величине р, которая обозначает также и упругость. Поскольку природа жидкости предполагается известной, мы будем знать, в каком отношении высота р находится к величинам д н г".
Таким образом, величины р и и будут опять же функциями четырех переменных х, у, з и С но неизвестными. В случае же, когда жидкость несжимаема,' давление р не зависит от плотности д, а величина г вовсе не входит в рассмотрение. 9. Наконец, каким бы ни было движение, соответствующее в настоящий момент элементу жидкости, который находится в 2, оно может также быть разложено вдоль трех направлений 2Р, 2Д и 2В, параллельных нашим трем слоям. Итак, пусть и, и, и н представляют скорости этого движения, разложенного по трем направлениям 2Р, 2Д и 2й.
При этом очевидно, что эти три величины должны также рассматриваться как функции четырех переменных х, у, з и а Если свойства этих функций найдены и если считать, что время г постоянно, то в рамках изменения координат х, у и г будут известны три скорости и, и и зг, а следовательно, истинное движение, которым каждый элемент жидкости переносится в настоящий момент времени. Если же координаты х, у и г считать постоянными и только время г переменным, то найдется движение не некоторого определенного элемента жидкости, а всех элементов, которые пройдут последовательно через ту же самую точку 2; другими словами, в каждый момент времени будет известно движение того элемента жидкости, который будет тогда находиться в точке 2. 10.
Посмотрим теперь, какой путь опишет элемент жидкости, находящийся сейчас в точке 2, за бесконечно малое время ог илн же в какой точке он окажется через некоторый промежуток времени'з. Итак, если представить путь произведением скорости на время, элемент жидкости, находящийся в данный момент в 2, продвинется в направлении 2Р на расстояние ий, в направлении 2Д на расстояние гс(г и в направлении 2й на расстояние нч(г.
Поэтому, если мы положим 2Р = ий, 2Д = иЖ и 2й = »й и достроим на этих трех ребрах параллелепипед, то угол, противолежащий точке 2, обозначит точку, в которой рассматриваемый элемент жидкости окажется ° ь. ° ~ /- ° ° Г - *д.р- ° ья Г+, п. истинный описанный путь'з. Следовательно, скорость истинного движения будет равна ,Г .Н р рц р рбр Г Ж,*« как скорость образует с плоскостями АОВ, А ОС и ВОС углы, синусы которых равны ил+оп + юи ни+ил + наг '" Плотность д у Эйлера безразмерна, будучи отнесена к постоянной плотности ро некоторой вспомогательной жидкости: и = р/ро.
Давление в жидкости Эйлер определяет высотой р столба этой самой вспомогательной однородной жидкости. Таким образом, давление у Эйлера язмеряется величиной с размерностью длины — отношением действующего давления к постоянной величине род (где х — ускорение свлы тяжести). Подробнее об этом написано в мемуаре Эйлера, указанном в Примечании (2]. М Т.е, предполагается известным "уравнение состояния" движущейся среды. 'з Предложенный Эйлером наглядный вывод уравнений движения н неразрывности идеальной (невязкой и нетеплопроводиой) сжимаемой жидкости справедлив при условии, что рассматриваемые функции имеют ограниченные производные до второй включительно.
Современный вывод этих уравнений, основанный на интегральных законах сохранения массы и количества движения частиц жидкости и использующий формулу Гаусса — Остроградского, свободен от этого ограниченая. 'з Эйлер обычно не пользуется обозначением квадрата величин к через ха, а пишет лх. 11. Определив движение жидкости, которая находится в данный момент в точке У, изучим также движение некоторого другого, бесконечно близкого элемента, находящегося в точке г, которой соответствуют координаты х + Их, у + Иу и г + й. Три скорости этого элемента вдоль направлений трех осей будут, следовательно, выражаться величинами и, и, н после того, как в них будут подставлены х + 4~х, у + Ну и г + Из, или же после того, как к ним будут добавлены их дифференциалы, в предположении постоянства времени и При подстановке х + Ых вместо х приращения скоростей и, и и 4т составят'4 и ~, ж ~, ь при подстановке у + Иу вместо у приращения составят ~у — ", ду — ', ~у— и аналогично по отношению к изменению к Тогда три скорости элемента жидкости, который сейчас находится в точке з, соответственно вдоль направлений ОА, ОВ, ОС будут иметь вид н + ~Й вЂ” + И вЂ” + 44е и+~й — +Ну — +Жг— Н~ + 4~Х вЂ” + С~У вЂ” + 4ГХ— 12.
Эти выражения представляют собой скорости, соответствующие элементу жидкости в точке х, которая расположена бесконечно близко к точке У и положение, которой определяется тремя координатами х+ 41х, у+ Ыу и г + Иг. Итак, если мы выберем точку з (фиг. 2) так, что только х изменится на Их, а две другие координаты у и г останутся такими же, как и у точки Е, то три скорости элемента жидкости, находящегося в этой точке з, будут иметь вид и+ —, о+ах —, и+пав С этими скоростями рассматриваемый элемент жидкости будет перенесен за время й в некоторую другую точку х',положение которой предстоит определить по отношению к точке Л', представляющей собой ту точку, в которую переносится за время й элемент жидкости, находившийся в точке У, положение которой было определено выше (5 10). Для того чтобы определить точку х', я замечу, что если бы скорости точки х были в точности такими же, как и скорости точки Е, то точка х' попала бы в точкум р, так что отрезок 2'р был бы равен и параллелен отрезку Ук Поскольку же, '4 Вместо привычного теперь обозначения частных производных с использованием символа й Эйлер пользуется только символом Н, но заключает выражения частных производных в круглые скобки.
М Эйлер сплошь я рядом использует одни и те же обозначения для разлячных величии. Так, символы р и о, используемые в статье в основном для обозначения давления н плотности, обозначают здесь и ниже некоторые вспомогательные точки. 30 согласно предположению, отрезок Уг параллелен оси ОА и равен Ых, отрезок Е р будет также равен ех и параллелен оси ОА.
1З. Теперь, поскольку скорость в направлении ОА есть не и, а и.г~й — это / ~1и'1 Ьь~ приращение скорости перенесет рассматриваемый элемент из р в д в направлении у р, так что ре =«Ых— Следовательно, этот элемент был бы в <у, если бы две другие скорости были равных и и в.
Но, поскольку скорость в направлении оси ОВ равна э +йх— это приращение перенесет наш элемент из ~у в г на расстояние е =~Ых— Ию1 параллельно оси ОВ. Наконец, приращение Их~ — ~ скорости и перенесет элемент Нх жвдкости из г в х' на расстояние гх' = ~Ых— параллельно третьей оси ОС. Отсюда я заключаю, что элемент жидкости, занимавший маленький прямолинейный отрезок 2х, будет перенесен за время ~й на отрезок УУ, бесконечно мало наклоненный к оси ОА; длина его, в силу того что У'д=Ых 1+ив будет равна Следовательно, пренебрегая членами, содержащими квадрат с!1, получим, что длина Х'г' не будет отличаться от Х'д, а именно Х'г'=Их 1+ив По поводу наклона этой осн к оси ОА достаточно заметить, что он является бесконечно малой величиной первого порядка и может быть представлен как ск1ь 14. Если бы малый отрезок Ег был выбран равным Ну и параллельным оси ОВ, аналогичными рассуждениями можно было бы показать, что жидкость, занимавшая этот отрезок, перешла бы на другой отрезок Ег =ау!+4! —" наклон которого к осн ОВ также бесконечно мал.
И, если принять отрезок Хг равным 4г и параллельным третьей оси ОС, то жидкость, его занимавшая, переместится на другой отрезок Х г = лх 1 + лев который будет наклонен к оси ОС под бесконечно малым углом. Итак, если мы рассмотрим прямоугольный параллелепипед ХРЯКзрдг !фиг. 3), образованный тремя ребрами ЕР = й, Ха =Ну, Ег=дг то жидкость занимавшая этот объем, за время й переместится и заполнит объем ХР'0;Кг'р'д'г', бесконечно мало отличающийся от прямоугольного параллелепипеда, трн ребра последнего соответственно таковы ХР=4 !+!! — "", г'О'=ау!+4! — "", Хт= й1+!!— Поскольку ребра ХР, ЕД, Х)1 перейдут в ХР', ЕЯ; ХЯ; нет оспований сомневаться в том, что жидкость, содержащаяся в первом объеме, будет перенесена за время с!! в указанный выше другой объем.
15. Теперь можно будет оценить, увеличится или уменьшится через время Ж объем жидкости, занимавшей параллелепипед Ез — для этого нужно только найти объем нлл вместимость каждого из этих двух тел. Так как первое является прямоугольным параллелепипедом, образованным ребрами ех, Ыу, дг, его объем равен с!ж!усй; что касается другого, плоские углы которого бесконечно мало отличаются от прямого, замечу, что его объем находится аналогично перемножением трех ребер; ошибка, появляющаяся в результате бесконечно малого искажения углов, будет входить в члены, содержащие элемент времени сВ в хвадрате, вследствие чего этими членами можно пренебречь. Таким образом, объем Е'г' будет представлен выражением сЬйу4х 1 +й — +й — +4!в Если же имеется какое-то сомнение по поводу справедливости этого заключения, можно почитать мое Сочинение на латинском языке "Законы движения жидкостей", где я рассчитал этот объем, ничем не пренебрегая!а.
!" Ри!ег 1.. Рппс!р!а вю!аа баЫопав // !Чои соева!аг!! Асада!ае 1трег!а!!з зс!ев!!апов Реверс!дапае, ! 76!. Т. 6 (1756-1757). Р. 271-31! = Орем сап!а, зег. 11. Ч. 12. Р. 133-168. 32 Фиг. 3 16. Итак, если жидкость не подвержена сжатию, зти два объема должны быть равны между собой, поскольку масса, заннмавшая объем 2х, не может вместиться ни в больший, ни в меньший объем. В связи с тем что я предполагаю рассмотреть этот вопрос со всей возможной общностью и я обозначил плотность в 2 через д, причем д рассматривается как функция трех координат и времени, замечу, что для нахождения плотности в 2' нужно в первую очередь увеличить время г на его дифференциал й, а величины х, у, г, вследствие того что положение точки 2' отлнчается от 2, должны быть увеличены на малые приращения ий, ий, нкй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
