Эйлер Л. Общие законы движения жидкостей (1123906), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Здесь это обозначение заменено ло техннческвм соображениям ва у, зз Эйлер предполагает здесь, что все реальные массовые силы имеют потенциал 5 = 51х, у, г). 41 обозначить через У конечную величину, дифференциал которой имеет вид ИУ = (Р— Х) Нх + ((г — У) с/у + (Я вЂ” Е) Иг наше дифференциальное уравнение даст либо р/д = У, либо ф> Однако, для того чтобы движение было возможно, необходимо, чтобы помимо этого выполнялось и другое условие, вытекающее из непрерывности.
Зб. Бели жидкость несжимаема, но ее плотность / переменив и выражается некоторой функцией положения, т.е. трех координат х, у, г и времени д то недостаточно, чтобы выражение (Р— Х) й + (м — У) Ну + (л — л) й = с(У было интегрируемым; кроме этого, нужно, чтобы интеграл У был функцией д. Так как Нр/д = с/У, или Ыр = дй~, ясно, что давление р не может иметь определенного значения, если выражение дс/У неиитегрируемо. Более того, я замечу, что в этом случае не обязательно, чтобы выражение (Р— Х) г/х + Я вЂ” У) ду + (й — л)Иг было интегрируемым, лишь бы оно было таково, чтобы при умножении на некоторую функцию (/ становилось интегрируемым. Итак, пусть (/(Р-Х) / +(/((у-У) /у+и(д-г) /г= /(У поскольку Нр/</ = с/)У/(/, или Нр = дд)У/(/, для разрешимости этого уравнения достаточно, чтобы И' было функцией д/(/ или чтобы И' было функцией, содержащей величины ~у и У в нулевой степенизе.
З7. Вообще, как бы упругость р ни зависела как от плотности д, так и от некоторого другого свойства, обозначаемого через г и являющегося произвольной функцией координат х, у, г, которая может содержать также и время д из нашего уравнения д = Ыр/ИУ ясно, что дифференциал Ыр должен всегда делиться на ИУ, где НУ обозначает не полный дифференциал, а выражение (Р— Х) Ых+ (Д вЂ” У) с(у+ (л — 2) Иг; и это вследствие того, что в результате деления дифференциалы г/х, с(у и с(г вовсе уходят из вычислений, потому что как р, так и у должны всегда выражаться через конечные функции переменных х, у и г, в то время как их дифференциалы не входят в эти функции.
Но этого бы не произошло, если бы не существовала некоторая функция (/, умножение на которую выражения ~/У делает это произведение интегрируемым, Положим, что этот интеграл имеет вид ) И/У = И', ясно, что при этом р должно быть функцией И', пабы выражение с/р/ФГ получило определенное значение, которое соответствует плотности д. ЗВ. Поскольку (/НУ = Н)У, имеем д = (/Нрй)У. Следовательно, если в качестве И' принять произвольную функцию координат х, у и г, содержащую время / среди постоянных величин, и если положить р равным произвольной функции от И', а именнозз р = <р()У) и с(р = сцУф'()У), будем иметь </ = (/ф'()У), откуда (/ = 4ф'((У).
Стало быть, каким бы образом плотность д ни была задана через упругость р и некоторую другую функцию г, зависящую з~ Последнее выражение эквивалентно, в терминологии ХЧШ века, условию зависимости В' только от отношения д/(/. зз Для представления функциональной зависимости /(х) Эйлер использует обозначения/, х и/:х. Для удобства читателей зйлеровы обозначения заменены всюду на современное/(х). 42 от координат х, у и г, мы получим значение (/ = д/9'()У) и, следовательно, значение Й' = Нйр'()У)/4, которое нам даст затем следующее уравнение: (Р— Х) Нх + (Д вЂ” У) 4у+ (й — У) 4л = /)йр'(й') 4р Ч Ч Отсюда будут получены значения Х, У, У, по которым затем нужно искать значения скоростей и, и и в, а когда эти последние будут удовлетворять, кроме того, условию непрерывности, мы будем иметь случай.
возможного движения жидкости. 39. Вот, следова'тельно, к чему сводится вопрос о природе выражения (Р -Х) с1х + + ((4 — У) ду + (Н вЂ” Е) дх. Когда плотность д постоянна или же зависит только от упругого р, нужно, чтобы это выражение было абсолютно интегрируемым, а для этого веобходимо определить надлежащие значения трех скоростей и, пи в. Когда же плотность д представлена заданной функцией места и времени, это выражение должно быть таково, чтобы стать интегрируемым нри умножении его на некоторую заданную функцию (/.
Следовательно, как в первом, так и ао втором случае скорости и, и и в должны быть таковы, чтобы уравнение (Р— Х) Их + (Д вЂ” У) Ну + (й — 2) 4х = О стало разрешимым; а мы знаем условия, при которых дифференциальное уравнение с тремя неизвестными становится разрешимым. При удовлетворении этого условия нужно еще удовлетворить условию, которое налагается непрерывностью. 40. Выше речь шла об условиях, которыми должны быть ограничены функции, выражающие три скорости и, в и в, и все ипследование о движении жидкостей сводятся к тому, чтобы определить в общем виде природу этих функций, которые бы удовлетворяли условиям нашего дифференциального уравнения и непрерывности. Поскольку же величины Х, У и 2 зависят не только от самих скоростей и, и и в, но также и от их изменяемости по отношению к каждой из координат я, у я г и еще ко времеви ь это исследование представляется самым глубоким среди тех, которые могут встретиться и Анализе.
И если нам не дано в совершенстве познать движение жидкостей, причину тому надо приписать не Механике и недостаточности известных законов движения; сам Анализ покидает нас здесь, поскольку вся Теория движения жидкостей только что была сведена к решению аналитических уравнений. 41. Так как получение общего решения должно быть признано невозможным из-за недостаточности Анализа, мы должны довольствоваться рассмотрением некоторых частных случаев", тем более что изучение нескольких случаев кажется нам единственной возможностью прийти, наконец, к более совершенному познанию предмета. Итак, наипростейшим случаем, который можно себе представить, несомненно, является тот, когда три скорости и, п и ю полагаются равными нулю; это случай, в котором жидкость остается в совершенном покое и который я исследовал в моем предыдущем Мемуаре, А формулы, найденные нами для движения в общем случае, содержаттакже и случайравновесия.
Ибо приХ=О, У=О иХ= О мы имеем откуда видно прежде всего, что плотность д не может зависеть от времени д т.е. что она должна оставаться всегда одной и той же в том же самом месте. Далее, силы Р, Д, л должны быть таковы, чтобы дифференциальное выражение Рг/х+ ДНу + йлх было либо интегрируемым, когда д постоянно, либо зависело только от упругости р, либо становилось интегрируемым после умножения на некоторую функцию. 42. В моем Мемуаре о равновесии жидкостей были рассмотрены только случаи побуждающих сил Р, Д, Н, когда дифференциальное выражение Рйх+ ДНу+ ДН 43 становится интегрируемым, так как этой случай кажется единственным, который может иметь место а Природе.
В действительности, если плотность д либо постоянна, либо зависит только от давления Р, жидкость никогда не может быть в равновесии, если зто условие для побуждающих сил не имеет места. Однако в случае, который был возможен при побуждающих силах, подчиняющихся некоторому другому закону, равновесие было возможно при условии, что силы таковы, что существует некоторая функция У, которая после умножения на нее выражения Рдх+ Яду + йаг делает его интегрируемым, или же когда дифференциальное уравнение Рах+ Дйу+ йаг = О становится интегрируемым. В случае, когда плотность а выражается через эту функцию У или же через произведение этой функции У на некоторую произвольную функцию от упругости Р, равновесие может также иметь место. Но так как такие случаи, может быть, невозможны, я не останавливаюсь на их рассмотрении более подробно.
43. После случая равновесия простейшим состоянием, которое может существовать в жидкости, является такое, при котором вся жидкость целиком переносится равномерным движением в одном и том же направлении. Посмотрим теперь, каким образом это состояние описывается нашими двумя формулами.
Так как в рассматриваемом случае три скорости постоянны, положим и = а, и = Ь и ж = с; мы имеем также Х = О, У = О и 2 = О. При этом наши два уравнения переходит в следующие: — +а — +Ь вЂ” + — =О Отсюда ясно, что, если плотность а постоянна, условие второго уравнения выполняется, но первое уравнение не может удовлетворяться, если только выражение Рдх+ + Дау + йаг не допускает интегрирования, точно так, как если бы жидкость была в покое. Естественно, что такое движение не может ничего изменить в давлении.
44. Но если плотность д ие постоянна, посмотрим прежде всего, какой функцией от х, у, г и ~ она должна выражаться, чтобы удовлетворялось второе уравнение. И вот возникает достаточно любопытнь|й аналитический вопрос, в котором спрашивается, какая функция переменных х, у, г н г должна быть принята для д, чтобы имело место соотношение — + — + — +с — =О Решение этого вопроса представляется достаточно трудным, если рассматривать его во всей возможной общности. Но в случае а = О, Ь = О, с = О величина д будет произвольной функцией х, у, г, не содержащей времени г. Если мы сведем этот случай к случаю покоя, сообщая пространству движение, равное и противоположно направленное, то очевидно, что через время г координаты х, у и г трансформируются в результате изменения в х — ад у — Ьд г — сг, откуда мы заключаем, что наше уравнение будет вь1полняться, если в качестве д прннять произвольную функцию трех величин х — ад у — Ьг,г — са И действительно, легко убедиться, что такая функция удовлетворяет уравнению, поскольку йу У.(йх — шЩ+ М(йу — Ьй)+ М(й — сй) и, следовательно, — =-аь'-ЬМ-сМ, — = г'., — = М, — = И 45.
Итак, для того чтобы удовлетворить первому уравнению, нужно, как я уже заметил, чтобы дифференциальное выражение Рах+ Дау + )Ыг после умножения его на некоторую функцию У становилось ннтегрируемым. Пусть, следовательно, )и(И +О(у+К)с)=)р где постоянная, появляющаяся в результате интегрирования, содержит также произвольным образом время ц тогда ясно, что выражение Рйх+ Д4у+ ЮЫг будет также интегрируемь|м, если его умножить на (1у (И'), где У и И' — известные функции, поскольку действующие силы предполагаютсл известными. Если д вовсе не зависит от р, нужно, чтобы а представлялось в виде ((1'(И'); поэтому мы должны определить функцию трех величин х — ац у — Ьг и г — сц которая бы приводилась к виду УУ'(И').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
