Эйлер Л. Общие законы движения жидкостей (1123906), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Отсюда ясно, что хотя рассматривается только одно дифференциальное уравнение, оно на самом деле имеет силу трех и что оно определяет три из наших неизвестных. Ясно также, что дифференциальное уравнение с тремя переменными, такое, как Шх+ + Жу + Муг = О, разрешимо, если только имеет место некоторое соотношение между величинами Е, М и Ж.
Но так как теория решения таких дифференциальных уравнений с тремя переменными разработана очень слабо, мы не можем надеяться на то, что получим полное решение нашего уравнения, пока не будут значительно расширены границы Анализа. 2б. В связи с этим наилучший выход — это хорошо поразмыслить над частными решениями нашего дифференциального уравнения, которые мы в состоянии дать; гг Для упрощення набора здесь н ннже иногда используется введенная лишь в Х!Х веке форма записи дробей через косую черту, не встречающаяся у Эйлера. 37 после этого можно будет судить о том пути, который нужно выбрать, чтобы прийти к полному решению.
я уже заметилг~, что в случае постоянной плотности у можно получить прекрасное решение, когда скорости и, и и ю таковы, что дифференциальное выражение ш)х + мгу + и Иг допускает интегрирование. Предположим, что )т' представляет собой этот интеграл, являющийся некоторой функцией х, у, г и д и тогда его дифференцирование с учетом переменности также и 6 дает с%' = иг[х + ийу+ + нчгг + Пй. Если это так, то величины и, и, ю и П будут связаны следующими соотношензппанг~: 27. Используя эти равенства, можно привести наше дифференциальное уравнение к следующему виду: +г)х — + шгх — +Ых — + нх)х— + — + и — +Му — + нх! +г)г —, + ш)г — +их[с — + нх!г— Так как здесь время г предполагается постоянным, мы будем иметь в рамках той же гипотезы ) — +бу — + ) — = )П вЂ” + г[ — + бг — = с[и Наше уравнение, таким образом, перейдет в следующее: гю — — = дП+ иби+изи + нх[ю 4) нлн бр = и[Ну — ИП вЂ” иди — мги — их1и ) Значит, если плотность жидкости всюду одна и та же, т.е.
д = 8, в результате интегрирования получимгз 1 1 1 р= С+о-П--ии--ии --ев 2- 2 2 ~ См. з 60-67 статьи Эйлера, указанной в Примечании [16). г~ Вверенная Эйлером функция !г' Н'(х, у, г, !), по современной терминологии, есть потенциал скорости; приводимое здесь равенство перекрестных производных й' по координатам [условне иятегрнруемоста и)У) есть условие отсутствия вихрей. гх Последующие формулы, обобщающие интеграл Бернулли, обычно связывают с именами Коши н Лагранжа. 38 28. Положим для краткости 1 1 1 С+5-П--ии — -ии --ем = У 2 2 2 Следует заметить, что постоянная С здесь вполне может содержать время д так как оно рассматривается в этом интегрировании как постоянное, и, поскольку Ир = дс1У, ясно, что гипотеза дй' = идх + иду + вчем + Пся делает наше дифференциальное уравнение также разрешимым, когда упругость р зависит произвольным образом только от плотности д или когда 9 является произвольной функцией р.
Уравнение становится также разрешимым в случае, когда жидкость несжимаема, но плотность д меняется таким образом, что она представляет собой произвольную функцию величины У. И, вообще, если упругость р зависит как от плотности д, так и от некоторой другой величины, понимаемой под символом г, эта гипотеза может также удовлетворяться, если только г является функцией от У.
И во всех упомянутых случаях, для того чтобы движение могло существовать при этой гипотезе, необходимо, кроме того, чтобы выполнялось условие — + — '+ — '+ — ' =О 29. Эта гипотеза является настолько общей, что, кажется, не.существует ни одного случая, который бы не был ею охвачен, и, значит, формула цэ = 9лУ вместе с другими уравнениями, которые не представляют почти никаких трудностей, заключает в себе, вообще, все основы Теории движения жидкостей. Поэтому я поставил своей единственной целью рассмотрение именно этого случая в моем Сочинении на латинском языке, посвященном законам движения жидкостейзз, где были рассмотрены только несжимаемые жидкости; и я показал, что все рассмотренные до снх пор случаи, когда жидкость движется через произвольные трубки, содержатся в этом допущении и что скорости и, пи н прн этом всегда таковы, что дифференциальное выражение илг+ Ыу+ н Ж становится интегрируемым.
Однако потом я заметил, что существуют также случаи, даже когда жидкость повсюду несжимаема и однородна, в которых это условие вовсе не имеет места. А этого нам достаточно, чтобы убедиться в том, что только что предстааленное мною решение является лишь частным. 30. Для того чтобы дать пример реального движения, которое бы полностью согласовывалось со всеми формулами, вытекающими из законов Механики, но без того, чтобы выражение Ых+ м1у + иле было интегрируемым, предположим, что жидкость повсюду несжимаема и однородна, т.е.
что величина д постоянна и равна д, и что вовсе нет сил, которые действуют на жидкость, так что Р = О, Д = О и Р = О. Далее, пусть ю = О, и = Ях и и = — Еу, где 2 обозначает произвольную функцию от ~м+уу; тогда очевидно, что выражение идх + и1у + юдам, принимающее вид -2ус1х + Уха, нлтегрируемо только в случае 1 к=в хх+ уу Однако принятые значения [и, ли я1 удовлетворяют всем нашим формулам и, следовательно, мы не можем сомневаться в возможности такого движения. Поскольку величина г. является функцией от 9хх+уу, ее дифференциал будет иметь вид НЛ = = 1,хнах + ЕуНу, где Е будет еще одной функцией от ~/~+ уу.
ж См. сочинение, указанное в Примечании [161. 39 31. Используя величины и, о и ю, мы получим — =О, — = — (.гу, — =-с — Ьуу, — =О О ~' г+ г ~' +г„у ~' Π— =О, — =О, — =О, — =О н в силу того что И5 = О будем иметь следующее дифференциальное уравнение в предположении постоянства времени и г!Р (+1Ххууйл — Х7лгЬ вЂ” 12хууй4 ~~= ~(, ...,) д (-ЛУуду — Асххуг(у+ Есгхуф) Следовательно, Ир = дЕЛ(хдх+уду) и, поскольку с предполагается функцией от „/ы+уу, это уравнение, безусловно, будет разрешимым и даст в качестве интеграла выражение р = д~ ЯУ(Ых+ улу) Понятно, что дифференциальное уравнение стало бы разрешимым даже в случае, когда жидкость подвержена воздействию произвольных сил Р, Д, й, лишь бы вырвкение Рйх + ДНу + йг(г было полным (роглаЫе) дифференциалом д5, ибо тогда Р = дЯ+ д~ 2с(л(х+ уеду) 32.
Так как значения и = -Еу, и = сх н н =О удовлетворяют нашему дифференциальному уравнению, понятно, что они удовлетворяют также условию, содержащемуся в уравнениям — + — '+ — + — ' =О В силу того что д = д, это уравнение переходит в -флу + дну = О, которое, являясь тождеством, удовлетворяет требуемым условиям. Таким образом, вполне возможно, что жидкость имеет такое двнжение, при котором скорости каждого ее элемента и = -су, и = Ег и н = О, хотя дифференциаль)гое выражение игЬ + Му + н сЬ не является разрешимым (полньгм дифференциалом); это подтверждает тот факт, что существуют случаи, когда движение жидкости возможно, а указанное условие, которое казалось общим, не имеет места. Таким образом, предположение о разрешимости дифференциального выражения ис(х+ Ыу + н Нг дает только частное решение найденных нами уравнений.
33. Очевидно, что движение, соответствующее рассмотренному случаю, сводится к вращательному движению вокруг оси ОС. Поскольку то, что сказано об оси ОС, можно приложить к любой другой фиксированной оси, мы делаем заключение о возможности того, что жидкость, подверженная воздействию любых снл, напряжениостьм которых есть 5, может совершать такое движение вокруг фиксированной оси, при и Строго говоря, нельзя утверждать, что принятые в 1 30 значения и, и н н удовлетворяют также уравненню движения нз 5 31; в действительности зто уравнение определяет соответствующее давление р =Р(з) (5=,/ы+уу). Уравнение неразрывности выполняется прн этом независимо от уравнений движения.
н См Примечание [22). котором скорости вращения пропорциональны некоторой функции, зависящей от расстояния до этой оси. Таким образом, если расстояние до этой осн обозначить через К а скорость вращения на этом расстоянии череззз у, то, в силу того что хх + уу = ш и ггз = дну, давление там будет выражаться высотой Р= 55+51— 'зп)Я1г Значит, движение, представляющее собой вихрь 11опгЬ111оп), в равной степени возможно, как и те движения, которые содержатся в выражении иИх+ Ыу + вч1г, когда последнее ннтегрируемо. Без сомнения, существует еще бесконечное число других движений, которые, удовлетворяя нашим формулам, также в равной степени возможны.
34. Вернемся к нашим общим формулам и, поскольку они довольно сложны, введем для краткости обозначения — +ы — +ч — +ю — =Х вЂ” +л — + — + — =у — +и — + — "+ ° — =г Какой бы природы нн были три ускорительные силы Р, Д н л, вследствие того чтозз Ж = Рг1х + ДИу+"йй, необходимо, чтобы удовлетворялось дифференциальное уравнение — = (Р— Х)й+ (Д вЂ” У)Ну+ (Н вЂ” г)бс 0р с в котором 1 предполагается постоянным. Кроме того, существует уравнение непрерывности жидкости, которое имеет вид — + '~ + '~ + — ' =0 Каким бы образом ни были удовлетворены эти два уравнения, всегда будет существовать движение, которое может действительно иметь место в жидкости. 35.
Когда жидкость повсюду несжимаема и однородна, т.е. плотность с постоянна и равна 5, очевидно, что дифференциальное уравнение не может иметь места, если дифференциал р-хуь+~о- уМу+<и-гж яе является разрешимым, или полным, т.е. если он не может быть получен в результате реального дифференцирования некоторой конечной функции переменных х, у, г, которая может содержать также и время д хотя последнее предполагается при дифференцировании постоянным. Очевидно также, что это дифференциальное выражение должно быть разрешимым, или полным, когда лшдкость сжимаема и плотность д выражена через некоторую функцию упругости р. Как в том, так и в другом случае, если и Эйлер обозиачает эту величину астрономическям символом созвездия Тельца Ъ'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
