Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Назовем диафрагмой поверхность, целиком заключающуюся в объеме и опирающуюся нз замкнутую линию, которая лежит на границах объема. Рис. 13. Рнс. 14. Очевидно, что в односвязнон объеме нельзя провести нн одной диафрагмы без нарушения связности объема. Если в обьеме можно провести максимум и диафрагм без нарушения связности, то такой объем называется л+ 1-связным, Например, объем внутри кольца (тор) является двусвязным, так как можно провести только одну е г а диафрагму аЬ (рис. 13) без ! нарушения связности; объем, внешний по отношению к кольцу, тзкже является двусаяз- ! ным, так как только одна дна- ( .~ — д~. -уд с фрагма вила ар (рис. !4) не нарушает связности.
Лоска Рнс. 15. с двумя пробитыми в ней отверстиями (рис. 15) представляет пример трехсвязного объема (как внутреннего, так и внешнего); так, для внутреннего объема можно провести только две диафрагмы, например вида ассс( н губой, без нарушения связности объема. Обращаясь к рассмотрению безвихревого движения жидкости В многосвязном пространстве порядка связности а + 1, разберем вопрос о вычислении циркуляции скорости о г(г по некоторому замкнутому контуру ~, лежащему целиком в жидкости.
Легко видеть, (гл ~ КИНЕМАТИКА ЖНДКОН СРЕДЫ что ~ о ° с(К=О, если контур /. может быть стянут в точку непрерывным образом, пе пересекая границ жидкости; действительно, прн таком контуре можно превратить рассматриваемый объем в односвязный, проведя нужное число диафрагм так, чтобы последние не пересекалн контура (., что, очевидно, возможно в силу предположения о характере контура; тогда контур (. очутится целиком в односвязном объеме, для которого было показано равенство нулю циркуляции скорости. Если же контур с.
не может быть стянут в точку, то рассекая его наллежащим образом лополннтельными линиями, мы всегда можем разбить его: а) иа известное число таких нестягнваемых в точку контуров, чтобы кажлый нз них пересекал по разу только одну лиафрагму. и б) на известное число стягиваемых в точку контуров.
Замечая, что циркуляция по объемлющему контуру равна сумме циркуляций по объемлемым контурам, мы таким образом приходим к формуле: с(г = ргКг+ рзКг+ ° + риКп (19 1) гле рп ры ..., ри — некоторые целые положительные или отрицательные, или равные нулю числа, а Ко К,, ..., ʄ— циркуляции по простым контурам типа (а); зги последние величины носят название циклических постоянных. Из формулы (18.1) непосредственно вытекает, что потенциал скорости о в многосвязном пространстве будет многозначной функцией точки, и различные значения о в данной точке булут между собой' отличаться на целое число циклических постоянных. Из рассмогренных нами выше семи свойств потенциала о первые пять остаются в силе при всяких величинах цик.тическнх постоянных.
послелние же два свойства и слелствие о единственности определения потенциала по пограничным значениям о и г(~((дп будут справеллпвы, если зсс циклические постоянные обращаются в нуль. ф 19. Вихревое поле и его свойства. Состояние движения жидкости называется вихревым, если существуют облзстн, в точках которых вихрь скорости отличен от нуля; авелем в дальнейшем для краткости обозначение го(о=й, так что до до дои доя дог дог ь) = — — — ', 2 = —" — — ', ьз = —" — —. (19.11 ду дл' г дв дх' * дх ду' Считая, что точки, в которых вектор ьа отличен от нуля, сплошным образом заполняют некоторый объем, мь1 получаем таким образом возможность рассмотреть новое векторное поле — поле вихрей скорости, подобно тому кзк в й 9 оыло рассмотрено поле скоростей.
З9 вихеевое полг. н ш.о свопствл е шч :-)то поле вихрей является соленоидальным полем, т. е. в каждой то ~к поля расхождение вихря равно цулчо: д!ч.Я=-О, (!9.2) ч!ли дй» дйх — — + — '+ — '=О, дх ду д» = (! 9.3) в чем убсждзсмся непосредственным вычислением. !1» !19.2) на основзнии теоремы Гаусса вытекает, что поток вихря скво.чь любую замкнутую поверхность равен нулю: о„Н5 =- О. (19.4) Проведем в поле вихрей векторные линии, в каждой точке которых касательная совпалает с направлением вектора вихря; эти липин носят название вихревых линий.
'!срез кажлую точку поля будет, вообще говоря, проходить одна вихревая линия, дифференциальное уравнение которой будет дх йу д» х ~ е 119.5) Взяв в вихревом поле малый замкнутый контур и проведя через каждую точку послешчего вихревую линию, мы получим трубчатую псверхпость, которая именуется вихревое трубкой !рис. 16); применяя формулу (19.4) к замки>той поверхности, образованной сапой вихревой трубкой и двумя любыми нормальными се сечениями с пло:цалями с, и с,, мы получзем (с точностью до малых величин высших порядков) со- ыа отношение », и .. !19,6) д, так как для элементарной площзлхи еч бУдет гл„=2ч, лла Рнс. 16.
площадки с, булет м'„= — йч н лля поверхности самой трубки о„=О. Произведение оа из неличпнь. вихря на площаль нормального сечения носит название интенгччвнослчи вихревой трубки, или, проще, интенсивности вихря, и соотношение (19.6) показывает, что интенсивность вихря остается постоянной вдоль вихревой трубки. Разобьем все поле вихрей на вихревые трубки опрелелешюй интенсивности, например единичные; тогла мы вправе заключить, что внутри жидкости вихревые трубки пс могут начинаться или прерываться, ибо формула (19.4) выражает. кит!еьтлтикл жийкОЙ сРеды )гл что число входящих в любую замкнутую поверхность трубок равно чгюлу выходящих из поверхгюсти трубок Вихревые трубки могут нли начинаться и заканчиваться у гранины жилкости, или же замыкаться сами на себя, образуя кольнсобразную поверхность (рис.
! 7). Интенсивность инхревой трубки весьма просто связана с циркуляцией скорости Г по любому замкнутому контуру, который лежит на поверхности трубки и охватывает ее. В самон деле, взяв .,Ая © простоты плоское сечение трубки, хотя бы и не нормальное, и применяя теорему Стокса, получаем: Г = ~ о ах -(. о г)у -1- о г)» = рис. !7. с =Я„е'=1)с'соз(а, (2)=йа, (19 7) где е' есть плошадь сечения а, и е — плошадь нормального сечения )! (рис. 16). й 20. Упражнения. !.
Жидкость вращается вокруг оси О» как твердое тело с угловой скоростью н. Определить поле вихрей скорое~и. Оюаеви Вихревые линни представляют собой прямые, параллельные осн О»; величина вихря во всех точках одинакова. " =- 2е. 2. Определить поле вихрей скорости при сдвиге принимая координатную плоскость Ох» за плоскость сдвига и считая, что скорости точек жидкости параллельны оси Ох, так ч~о в»=су, Р„=О, Р,=О Оглвевм Все вихревые линни суть прямые, параллельные оси О»; величина вихря во всех точках одинакова М = с Ь.
Скорости частиц жидкости пропорциональны рассгоянням частиц от осв Ох и параллельны последней, так чэо в. с ! у'+ "', в„= О, в, = О. Определить поле вихрей. Отаелс Вихревые линни суть окружности у' + »э = сонэ!., х = сонэ!.; величина вихря везде одинакова: О = с. 4. Частицы жидкости вращаются вокруг оси О» со скоростямя, обратно пропорциональными расстояниям часигц от этой осн, так что с су в.г = сов (ь.х) » )г э ! э ' т+уг~ с гх в„= == = — сов (в. у) = )/"»э+ ум х + у~ е» О. Определить поле вихрей.
Огнаевн движение безвихревое во всех точках, кроме точек, лежанн1х иь . чой оси О», в которых в» и в„ обращаются в бесконечноси ак!н,ьзв у и Р А ж н гл н и я 41 ! тс! гле с — произвольное направление, а дз — злементарное перемещение по з~~ му направлению. Беря за л по очереди каждое нз направлений осей кр яол.шейных коорлннат, имеем тля влементарных перемещения вдоль посл г«гл известные из кинематики выражения", дз~ — - Н, дзуо дз, = Н, дзуз, дез = Нз дсуз где Нь Н,, Н, суть параметры Лама (сч. стр. 29).
Такии образом получаем: 1 др 1 де ! др (йгад ср) = — — ; (асад:р) — †' ; (дгаб р) е Н, дд,' Н,дд,! е У!, дзуз ' Если через Уи (,, !з обозначить орты, взятые по осяи криволинейных кооРдинат зрь (сз, срз, то выРажение гРадиента в кРиволинейных коОРдинатах будет 7(з= — йгад р = — — У, + — — У, + — — Ум 1 др 1 дср 1 дср (20.1) И,д», Н,ддз' Н,дел В частности, для цилиндрических координат г, й, л будет Н~ = ! Урз =г, Нз — — 1 и градиент выразится ду ! ду , др ту= — у, + — — ',+ — ум дг г да де (202) Лля сферических координат г, О, ф имеелс И,= 1, Н,=г. Н,=гмпа, и выражение градиента будет Ср= — з|+ — — уз+ .
(з. др , 1 дй 1 др дг ' где '' гйпадф (20.3) 6. Найти выражения для вихря и расхождения некоторого вектора а в криволинейных ортогональных коорлннатах зу~ суз, чз. Решение. Положив в предыдущей формуле для градиента (задача 5) ср = зуь имеем: 1 йгабзу, = — У,. Н, Ол бесконечно тонким н бесконечно алкиным ц«линдром и причисляя леди«й к границе жидкости, мы получим двусвязное пространство снаруж« ,,„л„ндра, в точках которого потенциал скорое~и у = саге!и(хуу) будет мно„означен; циркуляция скорости 1' при однократном обходе вокруг цилиндра по «юбоиу контуру будет конечной величиной Г = 2«с, вследстиие чего ~~~ого рода лвнженне можно назвать изолированной вихревой нитью нли изолированным вихРем с интенсивностью 2гс.
а. Выразить градиент скалярной функции игад р в криволинейных ортогсщлльных координатах еь гу„ суз. Решение. По основноиу свойству градиента (йгад р)з =— др дз ' киивмлтикл жидков спады !гл. ! Взяв операцию вихря от обеих частей етого равенства и замечая, что го! ягад э?, = О, го! 31 — ?,1= — го! 3', +пгад! — ?1 Х?, ~Н, ~=Н, (,Н,1 и что ?1! 1 ягад — — — пгад Нь 1 Н ) ?Угг имеем: 1 1 0 = — го!?, — — кгадН, Х зь Н, Нг откуда 1 го!?, = — йтадН! Х?г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
