Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Таким образом, приходим к основному уравнению движения идеальной жидкости: г. — то — — ягай р = О, 1 (4. 3) Р УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ФОРМЕ ЭИЛЕРА и, дифференцируя по времени, получаем для ускорения: =~22+ — „, (гт)22-~-ега+г дт' +г'8 —,„+» — „à —: ио Д(1 — = Ф(Н дг Д(2 ' Д(з з — =- — тг, — — =0'), г — тз Дг и тогда после простых выкладок получим: 1 Д(гзт) ..
2з. Ра ! 1 Д(гв) тд=(à — Г~ )2 + — — 22 ) Е23= Π— Г + — 22+О 2 дг 1 / дг откупа вакдючаем, что Р ю =-о т г Г з 1 Д(гет) св = — 1 тд = — о. г й Далее, так как по основному свойству градиента мы имеем (Угад р),.= —, где а — любое направление, и так как элементы дуг координатных линий для цилиндрических координат будут соответственно Дг, г др и дг, то (угад р), = Др 1 Др (Е бр) = — --;, г Ду (егай р), =— Д,Р Рнс.
20. 1 ча = г" — — егай р, Р получаем: еа ! Др о — — =- тт — — —; г ' Р дг' Д(ге ) 1 Др = гг'' т, Ду 1 Др о =з"- — — —. р Дл ') При выводе этих соотношений можно использовать известные фор- ззулы, дающие Д(./дз) (см., например, Кочин Н. Е., Векторное исчисление гл. 11, 8 18): Дз, 1 ДН, ! ДН, гз Дд, Н Дйз Нз Дй дз, 1 ДН2 Д1, 1 ДН, 1 2 з 3 Ддз Н~ Дд~ Дзтз Нз Дз)з н аналогичные формулы для производных от 1, и (з. 4 ззн. ззш Проектируя теперь на оси цилиндрических координат уравнение движения Оо основные к лвнвния динлмики идзлльнон жидкости !гл.
и Заменим в этих уравнениях полные производные по формулам де, де,. де, . де, де, 1 де, де, де, е = — г-+ — ф+ — г+ — = — е + — — -е + — 'е +— дг ду дз дт дг ' г ду ' дз 2 ' дг н аналогично для д(ге ) дт приходим к дифференциальным уравнениям типз Эйлера: де, 1 де, де, де, 1, 1 др — 'е -+ — — 'е + — 'е + —" — — ез=г — — —, дг ' г ду т дз ' дГ г г Г дг ' 1 де, 1 де дет де„ ! др — ее -+ — 'е,+- — 'е -+ — 'е -+ — '=р — — —, (0.2) г ' т дг ' г ду т дз 2 дт 2 га дт де2 1 де2 де2 де 1 др 2е ) 251+ 2 дг ' г дз дз 2 дт ' 2 дз ' в) Сферические координаты. Проекции скорости точки Я на осн сферических координат (г), (О), (ф) будут: 3 е„= г, е„= «0, ее = « 51п Оф. Отложив по осям сферических координа г тРи единичных вектоРа зн 1,, 15, мы можем вектор скорости в точке лз (рис.
21) представить в форме Рпс. 21. ю = «11.+ «015+ г ап Офгз. Таким образом, для ускорения те получаем: д д . " . ' д1~ ' д12 . ' д12 те= «11+ — (гО)Е + — (г 5!п Оф) зз+ г — + «О — +1 5!и Оф — „ д! С другой стороны, — = 850-+15 51п Оф; — = — 116-+ 15 сов Оф; — = — (5!п 611+ сов 015) ф. Л Поэтому те=(г — «65 — «51пзОфз)1, + 11 — +гΠ— гз!п ОсозОф 1Е, + ~д«6 ' ' .
«2 1 гй + ! — '-(г 5!п Оф)-)- 5!п Огф+гсо566 ф~ гз. 1Ж УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ФОРМЕ ЭЙЛЕРА 51 0 в! Отс вода 1 2 1 2. ° 1 1 то = — — е0 — —,, 'то = е + — о о — — с!а 0е; Г Г Ф 0 0 Г г 0 Г Ф 1 1 сов = е, + — о,еФ + — с(и бо,оФ. Проектируя уразнение движения на оси сферических координат, мы получим: г!ог ов+ о, 1 др иов ого, — с!е аор 1 др 2 ' =Р— — —. — + =Рв — —— иг г " р ог' и! г рг дз ' дев оа др — + — (е + с! 0 и ) = Р—— д! Г г ь 0 — Ф рев,„в дф Заменяя — по формуле дог и! иог дог ' дог дог ' дог — '-'= — 'г ! — ' 0+ — дф+ —,' = и! дг да дф дг дог 1 до, 1 де, дог — + ег+ дг' ' г дв ' гмп 0 дф Ф дт и'0 "ВФ и аналогичным образом — —, получим уравнения типа Эйлера ив ' ив ' В сферических координатах: 2 2 гво, ее+о 1 др Р дф г ' р дг' дев о,ов с!Я 0 е2 дф+ г г Ф др в —— рг дз' доФ о,оФ с!а 0овор до, до, дев дев ов до, о, Ф г дв гмп0 ов дев ов г дв + гмп0 (5.3) до доФ ов доФ ов + г д0 гмпз дф+ г + г 1 др =Р— Ф ргп!аз дф К =ф(02 072 ЧЗ 0)1 У=ф(тв (!2 ДЗ Г)г Е=!!(Гт! Да ГЕЗ Г) г) Ойивие криволинейные координаты.
))ля вывода применим рассуждения, аналогичные тем. какие применялись В динамике системы для вывода уравнений Лагранжа. Считая. что выбрана определенная система криволинейных координат гуо ов, г)2. т. е. что выбраны определенные зависимости: 52 основныв л лвнення дннлкнгкгг ггдвлльноп хгндкггг.тн (г.ч.
н мы имеем для всякой функции г(х у х () от декартовых коорлинат следующие соотношения: дУ дУ д», дУ ду дУ да (( ! 2 8) — = — — — — ' — - — + — --— дд, дх длг ду да дх дц, ду ду дд1 ду дуг ду дггг дс дд! дт дог дт даг дт --= —,— '+ — — и+ — — + др' (5.4) В частности, будет др др да. дх Их О.=— гм др ду ( др дх (г ! 2 3) дУ дч, + дх дог дд дх да дх д((! дх +д дс и( дд, дг дег д, дх.
((, +. — - г)г + -= — Ча о( дог '- Ре, д,,+ дх дг), дх дгу~ (5. 5) (5. 8) п аналогично для о и о,. Соотношение (5.5) покааывает, что если ох Ра"матрггватв функцию от (гг, г)а, (га, (гн (гг, гга, г, то будет: (,. ! 2 З), (5 б) да. дд. Кроме того, дифференцируя (5.5) по дн имеем' ~2 дх С другой стороны, применяя (5.4) к функции д д дг. ( д2х . дгт г сравнивая с предыдущим равенством, получаем: Установив соотношения (5.6) и (5.8), берем Уравнении Вилера: дех 1 др Ле 1 др — -=Х вЂ” — —; у у д( дх дс г дх ' дт г ду дх ду дх „ожения находим: и после умножения па —, —, — и ело дгу, ' д1(г ' да,.
дх дех, ду дву дх дег «т да,. дд д„д,, —, да,. ВЕКТОРНЫЕ ФОРМЫ МРАВНЕЬ!ИП ДВИЖЕНИЯ ь б! Сделав преобрззование !' дх ') дх дох д !дх ~ дд! / '.= — ~' — э' — о дд д! — д! !дд к) к дс и применив !5.6) и 15.8), получаем дй, ггс ггГ дгг„" дз, д! дч! д~у и аналогично для лвух друтих слагаемых в (5.9). Вводя обозначения Т = — (о' +- оз + о') для живой силы единицы массы жидкости и 1,Е=Х вЂ” +У'----)-Е д !1=1, 2, 3) дх , , ду дз дд,.
дд. для обобшенной массовой силы, мы приходим к искомым уравнениям движения в криволинейных координатах и г дТ ! дТ ! др — — — = ф — — — 1!' = — 1, 2, 3). (5. 1О) д! '!дг! ~ дд ' р д!. Если массовыс силы имеют потенциал Ъ', то, о !евилно, будет !з!= — — (1=1, '2, 3), дгг дд. и урав!!ения движения примут вид и )дТ) д др 1 г)Р д! '1 дд, ! дл! дз. Р дл. Т= (Нз,з+ Нздз+ НЯ 1 ф В.
Векторные формы уравнений движения. Написав уравнение !4.3) в виде 1 че = Р— — егас! р, или Р до 1 — =à — асад р Р !6.1) Уравнения вида гб.!0) или !5.11) справедливы лля любых криволинейных координат !Не только ортогональпых). Проекцзи скорости на оси криволинейных координат булут выражаться формуламп о! = Н!Ч! От =- НтгН оз = гузг)! гле НР Нм Н суть козффициенты Лзмэ гсм. стр. 29). В случае ортогональиости криволинейных координат живая сила будет иметь вид 54 ОснОВные УРАВиения динАмики идеАльнои жидкости 1гл, !г и выражая полную производную е(о/ыг по формуле векторного анализз — — +(о.
7), ав де аг дг приходим к векторной форме уравнений движения: дв 1 — + (ту ° 7) чу = Р— — егаб р, дг (6.2) или в других обозначениях: — +(о ° 7)о=Р— — 7р. дв 1 дт (6.3) Проекциями уравнения (6.2) и служат гидродинамические уравнения Эйлера. Применяя известное из векторного анализа преобразование — дгад на = (о 7)н -(- о Х го1 ту, 1 2 мы приходим к другой форме того же векторного уравнения — + етад1 — о ) — и >( го1Ф= уч — — егас р, де 1 1 дг 'т2 ) Р (6,4) нли в других обозначениях: дв 71 1 — + 7 ( —,от) — чу Х го1о = 7» — — 7р.
дг '12 ) (6. 5) Э 7. Уравнения движения в форме Ламба. Проектируя уравнение (6.5) на оси Ох, Оу, О» и вводя для краткости обозначение го1 7 =11, мы приходим к системе уравнений, носящих название гыдродынамнчесных уравненый Ламба: дых х д! п,(2„) = Х о»Ю (7.1) о 2„)=а где дс ды 'у х дх ду' ды, дву Я ду д» Уравнения Ламба, по существу, не отличаются от уравнений Эйлера, предстзвляя простое преобразование последних. Независимыми переменными в уравнениях Эйлера и Ламба служат одни и дну — '+ дт до, — + дг — — и") — (и 2— д г! Л < дхЬ ) д 1 —,I —,, ) (,а„ д /1 — ~ — о) — (о О— д»12 ) х У оа = оа + оа + о', у н ды ды 12 д» дх ' др р дх' 1 др р ду' 1 др р д»' УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ФОРМЕ ЛАМВА 0 ! При этом 1 / дНзпз Я,= — ~ —— Нз//а дсаз а) -3= Для цилиндрических координат (г, Ф, г) Н,=), О,=г, //,=1, и мы будем иметь! дп,, д В' ! дЛ вЂ” '-1- — —,-)-о Я вЂ” о Я = г" — — —, д! дг 2 ' .
а ' ' 2 дг ' дпв 1 д В' 1 др — ~+ — — —,+ВЯ вЂ” ВЯ =г' — — —,, а)В 2 а а а а два 1 др — '+ — —,+ВЯ вЂ” ВЯ =г" — — —, ~ д! дл 2 Р ' ' а а 0 д»' причем оз — — оз+ ос+ о'-, ! д я, а!В дпа да:а а т г дт да ' т дл д» 1 / дгп дога г ), дг дт /' В сферических координатах (г, 0, ф) будет О! = 1, // = г, О = г В!и О, так что уравнения при два д — '+— д! дг дпз 1 д — -+ —— д! г д0 дпт 1 д — + д! гз1В0 др мут вид Ра +ВЯ, ВЯ,— ~ 1 д/а дг ' др Ег да' др ргми 0 дф ' Ра — + а Ф вЂ” ...,— Вз — +о!Я вЂ” В,Я3 =г,.— 2 те же величины !, х, у, л, функциями которых являются о, оз, о„ Р, Р, Х, )', г.. Запишем еще уравнения Ламба в криволинейных координатах.
На основании (6.4) получим, очевидно: д1о а, 1 д а'3 я О Г ! др д! И, длз 2 Ро, дч + Оз 2 О2 3 ! дп 1 д Ва др + ° + озЯ! о!Я2 РЗ д! Нз длз 2 Роз дпз 56 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОИ ЖИДКОСГИ 1гл. И где О2 — О2 ( О2 + О2 8 г д д„ат 1 /дш дг ш0гл 1 Я = — ~ — (ецпОО ) — — 8~, (12= гип0 (дв т дф !' ' ' гмп0 (, ду дг п,=па+ю Хг вектор переносной скорости и через (7.4) тга ~е '+ 28е вектор абсолютной скорости частицы жидкости.
Обозначая через ш„ ~ тн зсительное ускорение, через = — + д, Х г+ ю Х (ю Х г'1 два переносное и через тиа абсолютное ускорение частицы жидкости, будем иметь равенство (7.5) тпа тпе + зе + тие' тп = 2 (вз ',к 28,) где (7.6) есть ускорение Кориолиса. В основное уравнение движения (6.1) входит абсолютное ускорение, поэтому, вследствие (7.5), уравнение Эйлера для относительного движения жидкости примет вид тп, = à — — дгад р — тп, — 2 (ю )( 22,).
1 Р (7.7) Приведем еше уравнения относительного движения жидкости, а также уравнения абсолютного движения жидкости, отнесенные к подвижной системе координат. Наряду с неподвижной системои координат Охуг введем в рассмотрение подвижную систему координат О'х'у'г', движение последнеи характеризуется вектором скорости пв начала подвижной системы координат и вектором ю угловой скорости врашения этой системы. Будем считать, что в рассматриваемый момент времени обе системы координат совпадают друг с другом, и обозначим через г радиус-вектор частицы жидкости. Обозначим через и, вектор относительнои скорости частицы жидкости, т. е. ее скорости по отношению к подвижной системе координат; через уРАВнения движения В ФОРме лАГРАнжА б7 % в) Вследствие преобразований предыдущего параграфа, мы можем написать д'е, 1 дг' + цгад 2 е — (е, Х го!е ) где штрих у производной по т означает, что дифференцирован~е совершается в подвижной систеие координат.
Поэтому уравнения относительного движения (7.7) записываю~си так: — ' + ага й — 2 е, — е, Х го! е, + 2 (ю Х ег) = Р— — ашд Р— е2а. (7. 8) д'е, 1 2 1 В некоторых случаях удобно, пользуясь подвижной системой координат, рассматривать абсолютное движение жидкости. Заметим прежде всего, что если мы имеем абсолютный покой жидкости, так что е, = О, то е, = — е, и поэтому предыдущая формула.
в которой надо, конечно, положить гт= О, р = сопз!., приводит к соотношению —,'- — 8!ай — и,'.+ е, Х го! и„+ 2 (ю Х е,) = нг,; (7.9) д еа это тождество может быть, впрочем, установлено и непосредственно. Сложим теперь равенства (7.8) и (7.9); воспользовавшись (7.41, получим: — '+ пшд -„','е, — е,) — е, Х го! е, + 1 + е, Хго!е,+ 2ю Хе„=Р— — етадр. Заметим геперь, что е2 — е,' =(е — е,) (22„— еа) — е = е-' — 2е е, го! е, = го!(ю Х г) = 2ю; е, Х го! е, = 2е, Х ю, и, Х го! и, = е, Х го! е„— е, Х го! е, = (е„— е,) Х го! е„— 2е Х е! вследствие этих равенств предьшу!нее соотношение приникает внд: д оа гга 1 д ' + дгад '( 2 — е ° е, 1 †(е — е,) Х го!и = г2 — — етаг) р. (7.10) Это и есть уравнение абсолютного движения жидкости в подвижной системе координат. ф 8. Уравнения движения в форме Лагранжа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
