Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Другой метод вывода уравнения неразрывности. Предыдущий вывол уравнения неразрывности в переменных Эйлера представляет в сущности перефразировку вывода в переменных Лагранжа, так как мы рассматривали изменения плотности и обьема в некоторой части жидкости, состоящей из одних и тех же частиц, следуя за ней при ее движении. Можно получить уравнение неразрывности в переменных Эйлера и другим методом, оставаясь строго на точке зрения Эйлера. Для этого достаточно рассмотреть поток вектора ро сквозь некоторую неподвижную замкнутую поверхность 8 произвольной формы. Этот поток, на основании теоремы Гаусса, может быть представлен объемным интегралом ~ ~р „М=~~~~~~" )+ д(' ")+ (' '~~д. дуд.
аж! дгхгоп метод вывода рялзнвнпя нгялзвывности 20 Очевидно, что этот поток выражает массу жидкости, вытекающей за единицу времени из замкнутой поверхности Я, что повлечет за собой уменьшение плотности в точках внутри 5 за единицу времени на величину — др/д( и соответственное изменение массы жидкости внутри поверхности, равное — ~Яф дхду д~; таким образом имеем; ~~~1+~-+ — (',—,' + (,',') ~ у !Гл ! кннемлтикА жидкОЙ сРеды 28 откудз, вследствие произвольности объема -„снова приходим к уравнению неразрывности: д (Во„) д (зог) д (Ро,) дв дх ду дв дг Заметим, что для случая несжимаемой жидкости (! 2.1) т.
е. патон скорости через любую неподвижную за.икнутую поверхность равен нулю, иначе говоря, объем втекающей в поверхность жидкости равен обьему вытекающей. Последнее свойство дает основание лля следующей геометрической интерпретации, широко применяемой в физике при исследовании векторных полей. Проведем через каждую точку малого замкнутого контура с линию тока и рассмотрим полученную тр>бчатую поверхность, называемую трубкой тока, ограниченную двумя перпенди- кулярными сечениями а н д (рнс. 8); иг пУсть площади этих сечений бУдУт в, и вм а скорости в точках сечений а и д соответственно чг, и оз; по малости сечения скорость в разных точках сечения можно принять постоянной.
Применяя предыдущее свойство к замкнутой поверхности, образованной трубкой тока и ее нормальными сечениями а и д, получаем: (12,2) п1с1 = нзвз. Таким образом, произведение из величины о скорости на площадь перпендикулярного сечения остается постоянным вдоль трубки Рис. 8. тока, выражая объем втекающей и вытекаю- щей из трубки жидкости в единицу времени, Разобьем все пространство на так называемые вдиничныв трубки тока, для которых упомянутый объем равен единице. Тогда предыдущее свойство 1 о йод=0 показывает, что для любой замкнутой поверх- 3 ности число елнничных трубок тока, вступающих в поверхность, равно числу трубок.
выходящих из поверхности, т. е. что внутри любой замкнутой поверхности линии тока несжимаемой жидкости не могут ни начинаться, ни заканчиватьсп. $ 13. Уравнение неразрывности в цилиндрических, сферических и криволинейных координатах. Метод предыдущего параграфа может быть с успехом применен для получения уравнения неразрыв- 5 <3! уРАВнен неРАЗРыВнОстн В кРиВОлинейных кООРдинАтАх йт ности в различных криволинейных координатных системах, для чего достаточно в качестве объема т взять бесконечно малую ячейку, образованную тремя парами смежных координатных поверхностей.
Рис. 1О. Рис. 9. Рассмотрим в виде упран<нения вывод уравнения неразрывности в ци- линдрических, сферических и общих криволинейных ортогональных координатах. Для цилиндрических координат, например (рис. 9): поток через грань АЕН() = — ро,г <И <)г, д (рв,г) »»» ВСЙЕ=~ро,г+ Р ' дг~ <(!) <(г, дг »»» АВГЕ = — ро! <)г <)г, »»» Е)СОН = [роз+ — )В М1 а<г Ж, д (РР!) »»> АВСВ = — ро,г Л <(г, »»» Е<"'С<Н=[ро,+ д * <<я]г<(!)«г д (Р ,) поток сквозь всю поверхность ячейки.
д(ре,г)+ д(РР!) + д(рп ) ~ дгд0 дг дз г д <)гпддг, где о„, ом о, суть проекции скорости на оси цилиндрических координат. С другой стороны, уменьшение массы жидкости внутри ячейки будет — — дг г <(() <(г. дР д! Приравнивая, находим по разделении на л<г«За<я искомое уравнение неразрывности в цилиндрических координатах: дз + 1 д(ргв,) 1 д(РР!) + д(РР ) д! г дг г дз д» 28 !гл, ! кинеилтикА жидком сРеды Для сйгеричесгсих координат (рис. 10) имеем, складывая попарно потоки вектора ро через противоположные грани ячейки: Сумма через АВСО и ЕГСгНг (Рог г дз г вгп О дф) й д (роггг) Сумма через ЛЕН(д и ВГСгС: д(ровде'гвгпедф) дд д(Р!'вь!и О) ио = дз г гиоггф.
Сумма через АЕГВ н ОНСгС: д(ров д г дз) д(ров) — с(ф = —,— с(г М ггф. Поток через всю поверхность ячейки: д(ро,гг) д(роев|и О) д (роо) згп 9+ г+, г~ с( г(О йггр. дг ф С другой стороны, изменение массы жидкости внутри ячейки будет: — — с(г ° г Ю ° г з!п О бф, др дт и, следовательно, уравнение неразрывности в сферических коорди- натах получает вид: (Рг) др 1 д (ро,г') 1 д (ров Мп О) д! + гг дг ге!па дз + игг игг 1 д(ров) дгг) Для случая об!них криволинейных ортогональных координат рассмотрим поток через грани элементарной ячейки, образованной тремя парами смежных координатных поверхностей.
Рпс. 11. Называя через Изо йж и дз длины ребер ячейки, эквивалентной прямоугольному параллелепипеду, а через оо оа, оа — проекции скорости на оси криволинейных координат (гу!), ((га), (г)з) (рис. 11) получаем: др, д(ро! да!лаз) д! бз! 6$2 лза-)- дд — йу!+ М д(ровдаг дз,) й, д(ро,даг да!) замеияа гй!. дзг, Изз !срез их известные выражения из! = Н! игу! и82 = На иЬ ива = Нас(Ь кинемлтикл ккидкОЙ сРеды 5. Траектории часющ жидкости расположены на конусах, коаксиальных с осью л и имеющих общую вершину; выразить уравнение неразрывности.
(Рамсей) др д (Вот) 20о, 1 д (рое) Огнвет: — + Р + . д 0 в сферических коор- дг г гыпа динатах, раектории час"иц расположены на сферах кас в начале координа~; вывести уравнение неразрывности. (Рамсей) Р е ш е и и е. Рассмотрим пол ток вектора ро через элементар- ную ячейку, построенную следую- д щим образом.
Проведем две сферы, дг касающиеся плоскости Олу, с ценСдгдг трами С и С' на оси Ол и с радиусами г н г+дг (рис. 12), пересечем обе сферы вертикальной д плоскостью лОК, образующей -:-дт угол ф с плоскостью хОл, и отлог жим на окружностях пересечения дуги Оа и Од, соответствующие одинаковым центральным углам О. с н дуги аЬ и ст(, соответствующие Ь одинаковым приращениям НВ; проа ведя отрезки Ьс и ад, получим элементарную площадку адсс(, д эквивалентную параллелограмму — у с точностью до малых величин второго порядка; повернув затем Ф л' плоскость лОК на угол Л(А полу- чим ячейку, эквивалентную пряРис. 1'2. мому параллелепипеду с основанием адсд и высотой г ып 0 Нф. Площадь элеиентариого паралл:- лограммз аЬсд будет аЬ аФ ып(аЬ, ап), где аЬ = гт(0; чтобы найти длину лт(, проектируем отрезок ад на оси ОК и ОЛ, рассматривая его как замыкающую ломаной линни аСС'д: (ад)а = (г+ Иг) з1п 0 — г з(п 0 = э(п 0 с(г, (ад) = — (г+ дг) соз О+ г соз В+ Нг = (1 — соэ В) дг, откуда 1 клтлтг — й ч' - 2 0 2 далее но (аа, ОК) = В, значит (аЬ, аН) = 0/2 и площадь адсд = 2гяп'0(2дгдз, Замечая, что о, = 0 и приравнивая поток через все грани ячейки секундному изменению массы др .
 — — 2г ыпэ — т(г гй г з1п 0 сСф д) 2 ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТИ 0!Ы внутри ячейки, получаем: д(зозгз!и 64'2 — 2Г в! и' — дг д0 Г яп 0 дф+ дС 2 о в1п 2 и Г) да+ о д (ров 2г з!и' — ГСГ ГСО) ,, — дР=О, 2 или д д( „) д( о ) сов02зш — + яп 0 гяи0 ) +япа да + д(, +зов Π— — О; Г)С 2 взпз— 2 замечая, наконец, что 6 сов 6 2 япв — + в!пз 0 2 О .,0 = сов О+ 2 соз'- = 1+ 2 сов О, 2 2 япв— 2 приходим к следующему уравнению неразрывности: др д (роз) д(роа) гяп Π— + з!п 6 — + — -'-роз(1+2 сов О) =О. дС да дй В, КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА БЕЗВИХРЕВОГО И ВИХРЕВОГО ДВИЖЕНИЙ $15. Введение.
Рассмотренное в 2 1 разложение движения бесконечно малой частицы жидкости на поступательное, деформациоиное и вращательное дает основание разбить различные случаи состояния движения жидкости для данного момента времени на лва общих класса, К первому классу мы отнесем беллах)уеаое состояние движения жидкости, характеризующееся тем, что в каждой частице будет отсутствовать вращательная часть движения, иначе говоря, в каждой точке жидкости будет выполняться условие го!О=О, (15.1) Ко второму классу мы отнесем состояние вихревого движения, когда условие (15.1) не выполняется во всем объеме жидкости.
Вопрос о сохраняемости существующего в данный момент безвихревого или вихревого состояния движения лля последующих моментов времени мы оставляем сейчас открытым и рассмотрим его впоследствие в связи с динамическими элементами движения в главе пятой. В 16. Потенциал скорости. Обращаясь к рассмотрению безвихревого состояния движения, называемого короче безвихревым движением. напишем подробнее условие (15,1) в проекциях: доз доу дол доз доу дог — * — —" =О; — — — '=О; — ' — — =О.
(15.1) кингплтпкл жпдког) спецы англ Пес))эдипе равенства, яак известно пз анализа, выршкают необходимое и достаточное условие того, чтобы о,, о, о, являлись частными производным по координатам от некоторой функции называемой потенциалом скорости '): дп де дй х д. ' )'' ду' э д (16. 2) Так как з переменных Эйлера тгн о, о, являются ф)нкцпямп о) к х х, у, г, Е, то, очевидно, от тех же аргументов будет зависеть потенциал скорости о, причем, согласно сказанному выше, время ) играет роль параметра; в таком случае трехчлен олг(х+о с)у+о,дг г можно рассматривзть как полный дифференциал функции з; п,г)х+о г(У+с), г)г =- д— г)х+ — ггу+ — г)г = Йэ, (16,6) дп дв дв и тогда линейный интеграл л + х у+ ) г' ~ )' л А' с л взятый по некоторой кривой между точками .1 н О, не будет зависеть от вила кривой и в случае однозначности функции з будет равняться разности ее значений лв и )эл в этих точках '); отсюда вытекает, что циркуляция скорости, взятая по любой замкнутой кривой при существовании однозначного потеншюла, будет равна нулю: (16.5) о = пгад,э = 7~, показывает, что скорость является потенциальныл) вектором и, зна- чит, всякое безвихревое поле будет потенциальным; очевидно.
спра- ведливо и обратное заключение. ') По аналогии с определением потенциала сил многие авторы называют потенциалом скорости функцию — Гб см., например, Л а м б, Гидродинамика, Гостехиздат, 1947. ') В анализе показывается, что прн непрерывности н однозначности ягзд П во всех точках односвпзного пространства потенциал з) будет однозначен в этом пространстве.
это заключение следует также непосредственно нз формулы Стокса. Из этого свойства вытекает, что при сушествоваиии однозначного потенциала линии то)са не могу)п бып)ь зимннуты, иначе бы получилось, что циркуляция вдоль такой .линии не обратилась бы в нуль, так как все элементы линейного интеграла имели бы один и тот же знак.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
