Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 4
Текст из файла (страница 4)
5 9. Поле скоростей. Точка зрения Эйлера открывает дорогу для применения векторного анализа, название многих терминов которого указывает на тесную связь их с гидродинамикой. Особенно дх да ДР дх — — + дх дь ДР дх — — + дх дс ДР дх — — + дх дг дг Да ' Дг дь ' дг Дс ' дг ДР— + — ' дг дг 1гл т ьпп) п*)и) х ьпдк))Г) снтдЫ плодотворным является рассмотрение векторного поля скоростей, длз которого мы повторим некоторые определения векторного апзлиза. Линиями тони называются линии, которые характеризуются тем, что для данного момента времени г касательная к линии тока в любой ее точке совпадает по направлению со скоростью; дифференциальные уравнения .шпий тока будут: )тх пу тх(х, у, х, Г) п),(х, у, х, т) сы(х, у, х, т) ' гле 1 играет роль параметра, '1ерез каждую точку поля, в которой функции и, и, и, не обращаются в нуль одновременно в данный момент времени, проходйт только одна линия тока, кзк это следует из теоремы существования для снстеыы уравнений (9.1) з предположении, нзпример, что и, гю и однозначные п ненперывные вместе с нх первыми производными по координатам функции; Рис.
4. Рис. 3. разные особенности могут представиться, если в данной точке поля скорость обращается в нуль; такие точки называются критическими или особылп). Критические точки могут располагаться изолированно и могут образовывать критические линии и поверхности. Не анализируя аопросз о наличии, расположении и характере критических точек во всей общности, укажем простейшие типы критических изолированных точек для плоского течения жидкости. В этом случае линии тока определяются дифференциальным уравнением г(у п„(х, у, 1) )тх пх(х, у, т) Перенося начало координат в одну из изолированных критических точек и предполагая, что в окрестности рассматриваемой критической точки функции и„ и и разложимы в ряды по целым положительным степеням координат, мы приведем уравнение линий тока для данного момента времени к виду пу ах+ ау+Р(х, у) )тх и'х+()'у+Я(х у) где Р и 1,) — ряды, начинающиеся с членов по крайней мере второго измерения о)нощпельно х и у.
Как показывается в курсах дифференц...)льных ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ уравнений, характер критической точки определяется при выполнении некоторых условий видом корней квадратного уравнения (характеристического). >,2 — (а' — Гс) Л+ а'Ь вЂ” аб' = 0 Если корни этого уравнения различны, вещественны, отличны от нуля и одного знака, то в окрестности критической точки все линии тока проходят через критическую точку, касаясь в ней некоторой кривой С„ за исключением одной линии тока Сь пересекающейся с С, под некоторым углом; критическая точка такого типа называется узлолс (рис. 3), При равных вещественных корнях, отличных от нуля, линия С, совпадает с Сс, давая картину вырождающегося узла, или же линии сока будут проходить через крспнческую точку во всех направлениях (рис.
4). Если корни характеристического уравнения вещественны, отличны от нуля и разных знаков, то через критическую точку проходят только две линии тока С,, и С,; критическая точка такого типа называется сес>ло.к (рис. 5). Если корни характеристического уравнения комплексны, то все линии тока сшсралеобразио завиваются вокруг критической точки, аспмптотически рис. 6. Рис. 7. Рис. 5. к ней приближаясь (рис. 5); в этом случае критическая точка называется фокусом. Г!ри чисто мнимых корнях характеристического уравнения и прн выполнении некоторых добавочных условий все линии тока в окрестности критической точии могут оказзться замкнутыми кривымн, окружающими ее (рис.
7); критическая точка называется в этом случае цектрок. Семейство линий тока, содержа параметр Т, будет семейством линий, изменяющихся с течением времени; очевидно, что в таком переменном поле траектории жидких частиц не будут вообще совпадать с линнямв тока; для постоянного поля скоростей, когда вектор скорости в каждой точке не будет меняться с течением времени, линии тока будут оставаться неизменными и будут служить траекториями жидких частиц. >движение жидкости в этом случае называется стационарным илн установившимсл. Потоком скорости через данную поверхность О называется поверхностный интеграл ~ о с>$= ) олс>О=- ~ олс!усуз+-о с)зс>х+о,с(хс>у! (9.2) 22 кинкмлтикл жидком спады ~гл ~ из определения очевидно, что расхожление скорости выражает скорость кубичеагого расширения жилкости в области данной точки.
На основании теоремы Гаусса (или послелнего свойства расхождения скорости), можно выразить поток скорости сквозь замкнутую поверхность через объемный интеграл от расхождения скорости, распространенный на весь объем, заключенный внутри 5: ~ о дЯ= ~ доходе. (9.4) л Поле скоростей называется соленоидильным или трубчатым, если расхожление скорости равно нулю в каждой точке поля; сле- довательно, поле скоростей несжимаемой жилкости булет солеио- идальным. Циркуляцией скорости по замкнутой кривой с определенным направлением обхода называется линейный интеграл о дг= — ~о дх+о ду+о,дг, (9.б1 А где г(г есть элемент кривой Г . Вихрь скорости есть вектор Я = го( о, опрелеляемый проекциямп; диг дну дих до, дну ди» Я У О х 9 Ю У х (99) ду да ' " У да дх ' "' дх ду На основании теоремы Стокса, циркуляция скорости по замкнутому контуру равна потоку вихря скорости сквозь любую поверхность, ограниченную данным контуром: ~о дг=фи(о) г($.
е И (9.7) ф 10. Уравнение неразрывности в переменных Лагранжа. Во всех последующих выволах при рассмотрении лвижения жидкости мы предполагаем, что движущаяся жидкость сплошным образом заполняет пространство или его определенную часть и что во время лвнжения не происхолит ни потери вещества, ни его возникновения. очевилно, что поток скорости выражает объем жидкости, протекающей за единицу времени сквозь поверхность 5, считаемую негюлвижной; при замкнутой поверхности 8 вытекающий из поверхности объем считается положительным, а втекавший — отрицательным. Расхождением скорости в ланной точке поля назь|вается отнесенный к единице объема поток скорости сквозь замкнутую поверхность бесконечно малого объема т, окружающего данную точку: г в дб ди„ди див б гт о = И гп / = — + — + — ' дх ду дг ' 5 ка уРАВнение неРАЭРыВнОсти В пеРеменных лАТРАнжА 23 плотность жидкости ро в момент Ьо перейдет к моменту Ь в р, причем Ро=)'(а, Ь, с, Ьо); Р= У(а, К с, Г).
В этих формулах а, Ь, с суть параметры, отличаюшие одну частицу от другой в рассматриваемом жидком объеме. Выражая что масса, заключенная в жидком объеме, не изменится при переходе от момента Ьо к Ь, имеем: ~ ~ Рос(хо ауо "«о = ~ ~ / р "х "у г(« (10. 2) Заменим теперь в обоих интегралах переменные х, у, « переменными а, Ь, с по формулам перехода (10.1); по известным правилам преобразования интеграла при замене переменных получим: ~ ~ рс(хг)уг(«= ~ ~ ~ рййас(Ьг(с, (10.3) где В есть функциональный определитель дх да дх дЬ ду д« да да ду д« дЬ дЬ 1)(х, у, «) Ь)(а, Ь, с) дх дс ду д« дс дс Перенося в (10,2) все члены в одну часть и применяя (10.3), найдем: ~ (рос)о ртд) с(а дЬ гЬс = О, где сзо имеет аналогичное с В значение.
Это предположение налагает некоторое условие на изменения плотности и объема жидкости во время движения, носящее название уравнения неразрывности. Обратимся сначала к переменным Лагранжа и рассмотрим два положения одного и того же жидкого объема в моменты Г, и Г; пусть в момент Ьо жидкия объем то ограничен произвольной замкнутой поверхностью 8о, которая к моменту Ь перейдет в некоторую другую, также замкнутую поверхность 5, ограпичиваюшую объем;; жидкая частица, имеющая в момент Ьо координаты хо, уо, «о, перейдет в момент Ь в положение с координатами х, у, «, причем хо=У,(а, Ь, с, Г), х=Л(а, Ь, с, Ь), уз= Уо(а, К с, Ьо), у= Уа(а, К с, Ь), «о=УЗ(а Ь ' Ьо) «=Л(а Ь с ~), кинемАтикА жилкОЙ сяелы 1гл.
г Отсюда, ввиду произвольности взятого первоначально обьема т, в любой момент 1 должно иметь место соотношение РоОо Рс) = 0 (10.4) или подробнее дхо да ду, дх, да да да дь дуо део дЬ дЬ дуо дго дс дс дх дЬ де дс ро(а' Ь' с' го) =р(а, Ь, с, 1) дхо дс которое и является искомым уравнением неразрывности в сгерелсенных Лагранжа.
Для несжимаемой жидкости уравнение неразрывности принимает вид: дхо да дхо дуо да да дед дь дхо дуо дЬ дЬ д.то дуо дс дс (1 0.5) дхо дс Если за а, Ь, с взяты начальные координаты частицы, то хо — — а, ус= д, хо= с, и правая часть обращается в единицу. 9 11. Уравнение неразрывности в переменных Эйлера. Чтобы выразить уравнение неразрывности в переменных Эйлера, применим уравнение (10.2) к бесконечно малому объему Зт, переходящему к моменту 1 в объем Ьт: р Ьт = ройте=- сопз1„ откуда, взяв полную производную по времени, получаем: д (Зт) да , аг — 'р „=0; аг ' ' от ст (о Зт) =О, илп аг отношение -„— ' вырзжает собой скорость относительного кубиче- Н (Зс) оо аг ского расширения жидкости в данной точке и равно расхождению скорости в этой точке, как было показано выше в формулах (4.2), (4.3).
Таким образом; уравнение неразрывности в переменньсх Зйлера получает впд: 1 сс о со с' д с', д о — — '+ "+-:-т+ — '=О. 1 ссг ' дл ду дг (1 1.1) дх ду дх да да да дх ду дх дЬ дь дЬ дх ду дг дс дс дс дх ду да да с)х ду дь дь дх ду дс дс Уравнение неразрывности после несложных преобразованиИ можно цредсгавпть еще в следующих равносильных формах: — +д)то= О, дг (1 1.2) др д (рьх) д (рея) дд(рва) дг + дх + ду д» (11.3) Для неслсимаемод жидкости, хотя бы и ><е однородной, обратится и нуль др/нр (хотя др)д1+ О), и уравнение неразрывности приобретает вид: де дер де — — + —" + — = О. (11.4) дх ду д Для стпционарного двигкения — = О, и уравнение неразрывнодр дг сти получается в виде: д (рох) д (рву) д (ров) дх + ду + дх (1!,б) $12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
