Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Свойство (16.2) безвихревого движения, выраженное в векторной форме Легко видеть, что при существовании потенциалз скорости )скорение также будет являться потенциальным вектором. В самом деле, формулы (8,4) тогда принимают вид: др дгр др дгт др дгр 'ч'» дх дхг+ ду ду дх д» д» дх дг дх Й((Й)'+(~-р)'+(Й)')+ В дгт дт дгр др д'р дгр + — — -+ — — + — = дх ду ду дуг д» д» ду дг ду Я В)'+(~,')'+(Й)'1+ ~в 1 дгт дт дгт др дгт дгт дх д» ду ду д» д» д»' дг д» вЂ” -+ — =-+ — — + М ЫЙ)г+(.— ",)'+(Й)')+ В д дх дч еа дх д =ду др х дх откуда видно, что 2 ти=игад ( — ог ! 'Р.'.
12 йг! ' (1 6,7) ф 17. Свойства безвнхревого движения в односвязном объеме. При существовании потенциала скорости уравнение нерззрывности принимает вид 1 др д'т д«р дгт — — + — + — + — =О, р дг дх' дуг д»г (1 7.1) и в случае несжимаемой жидкости уравнеиве неразрывности превращается в уравнение Лапласа: др — + — «+. --, =О, дх' дуг д»' (17.2) и, следовательно, потенциал гр (считаемый одиозизчиым) будет гармонической функцией точки. Отметим ряд свойств безвихревого движения, отсюдз проистекающих: 1. Ллн любой замкнутой поверхности будет иметь место соотношение / ",~ в=О (1 7.3) где дррдп означает так называемую производную по нормали к поверхности.
д,г — сов (и, х)+ д сов (и, у)+ д — соз (и, ») = (Ягад Ф)„= о„, "р'гчегг для большей определенности дальнейших выводов условимся проводить нормаль и внутрь поверхности 5. 3 з;, газе з гп свопствл Безвихгевого даижгния В односвязном Овъгме 33 ггл г кинвмлтикл жидков сосцы Формула (17.3) представляет собой специализацию для случая безвихревого движения формулы (12.1), справедливой для всякого движения (безвихревого или вихревого) несжимаемой жидкости. 2.
Ни в одной точке внутри лгидкости потенциал скорости й не может иметь максимуми или минимума. В самом деле, предположив, что и в некоторой точке имеет максимум, и окружив зту точку достаточно малой замкнутой поверхностью 5 так, чтобы поверхность была целиком внутри жидкости, мы будем иметь для каждой точки поверхности ду/дп ь О и значит тоглв г — д5 будет > О, Рдг ,/ Ип что противоречит (17.3). 3. Ни е одной' точке внутри жидкоспьи величини скорости и не может иметь максимума. Предположим, что в некоторой точке А скорость имеет максимум од, выберем оси координат так, чтобы ось х имела направление скорости в рассматриваемой точке; тогда для азой точки будет ~Д) =и . Рассмотрим поведение функции до(дх по соседству с точкой Л; дифференцируя по х уравнение Лапласа, мы непосредственно убе'клаемся, что функция др)дх будет также ечу уловлетворятги д' ~ — '-) д' ~ — ') д' (дсх) дл + д> — д т.
е. будет гармонической, а тогла в силу прелылуцвио свойства др(дх не сможет иметь максимума пли мипииума в точке 4; следовательно. по соседству с А найдутся такие ~очки, в которых булет и в которых тогда н подавно булет .)+(дл)+(д ~ ~ л ' ~ л' ~то противоречит нашему предположению. Это рассуждение не позволяет сделать никаких заключений о возможности для скорости дости~ать минимума; впоследствии мы увидим, что в безвихревом лвнженнн могут существовать точки, в которых скорость имеет минимум, например, и = О.
4. Среднее значение потенциала скорости на любой сферической поверхности, которой ограничивается объем, целиком лежащий и жидкости, равно значению потенциала для центра сферы. В самом а~и своиствл везвнхгввого движения в односвязном овъгмв З3 деле, обозначая ралнус сферы через г, а телесный угол (с вершиноа в центре сферы), опирающийся на элемент поверхности п5, через йе. имеем: ду дв дл дг' — = — — ', ДЯ=гмг(м1 применяя формулу (17.3) и сокращая на га, остающееся постоянным при интегрировании на поверхности сферы, получаем: — деэ=О, или — / еды=О, —,./' дв д 1 дг ' " д«,/ откуда заключаем, что интеграл ~ г(ге = сопаи х ~р г(а = 4клл, или 1 (' 4я ./ 4кгт ./ (17.4) 5.
Если потенциал скорости у сохраняет постоянное значение на границах односзязцого объема, то он остается постоянным во всех точках внутри объема в силу известного соотношения В этом случае скорость ео всех точках жилкости равна нулю. 6. В одпосвязном обьеме жидкости, ограниченном со всех сторон лгаердыма стенками, не может существовать дезеихревое движение. В самом деле, в з 12 было показано, что внутри тако~о обьема линии тока не могут начинаться или обрываться; при наличии же твердых стенок, на которых нормальная слагающая скорости и, = О, линии тока не могут вытекать из границ илн втекать в них, следовательно, линии тока могут быть только замкнутыми; выше же при формуле (16.5) было отмечено, что при существовании потенциала скоростп внутри одцосвязиого обьема замкнутые линии тока не могут иметь места; значит, жидкость либо остается в покое, либо приходит не зависит от радиуса сферы.
Уменьшая г до нуля и стягивая сферу в точку А — ее центр, будем иметь: кинематика жидком с~ еды [гл в вихревое движение. Отсюда мы можем еще сделать вывод, что если в односвязном обьеме жидкости, частично ааключенном в тверлые стенки и частично ограниченном свободной поверхностно. возникает безвихревое движение, то последнее сопровождается непременно изменением формы своболной поверхности, т.
е. образованием волн. ?. Если олносвязный объем жилкости ограничен со всех сторон неполвижной поверхностью, на одних частях которой потенциал скорости я сохраняет одно н то же постоянное значение, на прочих же частях равна нулю нормальная составляющая скорости г???г?п, то внутри объема не может существовать безвихревое движение.
В самом деле. мы вплели, что внутри жидкости линли тока не могут ни начинаться, ни заканчиваться и не может быть замкнутых линий тока; следовательно, линии тока могли бы лишь выходить и вхолить в тех частях границы, где потенциал о сохраняет постоянное значение, ибо в прочих частях границы дг/Фл =- О, т. е. линии тока проходят, касаясь стенок; но тогда, ндя вдоль такой линии тока, мы не получили бы на ее концах одинакового значения потенциала чь так как вдоль линии зока потенциал изменяется монотонно. Из свойств (5), (6) н (?) вытекает важное следсглвие о единсглвенности оезвнхревого движения внутри односвязпого объема, если на границах обьема заданы: а) либо:па~ ния потенциала Г) либо значения нормальной составляющей скорости г?в?г?п, в) либо значения ~? на одних частях границы и значения г(т?г(п на прочих. В самом леле, если предположить существование двух различных внутри жгшкости потенциалов м, и о,.
то их разность о,— ь,, уловлетворяя уравнению Лапласа н условиям свойств либо (5), либо (6), либо (?), была бы постоянной внутри жидкости, т. е. движение с потенциалом -, было бы тождественно с движением, облалающим потенциалом Заметим без доказательства, что наши выводы касались внутреннего односвязного объема, ограниченного замкнутой поверхностью, но все рассмотренные свойства распространяются и на случай жидкости, заполняющей внешний, простирающийся в бесконечность односвяэнид объем и лежащий снаружи одной или нескольких замкнутых поверхностей, которые можно, таким образок, рзссматрнвать как внутренние границы объема; при этом лишь приходится исключать из рассмотрения самую бесконечно дзлекую точку, окружив внутренние границы достаточно от них удаленною замкнутою поверхностью и причисляя последнюю к внешней границе упомянутого объема. $18.
Безвихревое движение в многосвязном объеме. Все предыдущие свойства были установлены для адносвяэного объема жилкости. Напомним, что объем называется связным, если две любые его точки могут быть соединены непрерывной линией, нигде не вы- БЕЗВНХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ В МНОГОСВЯЗНОМ ОБЪЕМЕ зт , еп нз границ объема; далее, связный объем называется одно- адзяым, если любая замкнутая линия, в нем заключающаяся, может б ть ствнУта в точкУ непРеРывным обРазом, не выходЯ из гРаниц ооъема; таков, например, объем, заключенный внутри сферы, или Объем межлу двумя концентрическими сферами, или, например, бесконечный объем снаружи одной нли нескольких отдельных сфер (т. е. таких, что ни одна сфера ие заключает в себе прочих).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
