Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 3
Текст из файла (страница 3)
КУБИЧЕСКОЕ РАСШИРЕНИЯ !5 Условие совместности втой системы трех однородных по $', 21', ь' уравнений состоит в равенстве нулю определителя 2 (з, — е) Вз 0, Вз 2 (ег е) О, = О. 0 О, 2 (е — е) (3 А) Это кубическое относительно е уравнение имеет всегда три вещественных корня еи ег, ез (два из которых или все три могут оказаться равными).
По формуле (З,З) мы вычислим соответствующие значения р,=1 — 2е сг2, рз = 1 — 2ез пс рг=1 — 2е Ф, н по формуле (3.2) найдем длины главных осей эллипсоида (2.3), которые мы обозначим через а, Ь, с: ог Д22 ! — 2е,д2 ' Ьг 1'22 1 — 2ег йе ' 1:22 сг= 1 — 2е2 М Поэтому уравнение эллипсоида деформации (2.3), отнесенное к осям симметрии, получит вид (! — 2е2 лг) 22+(! — 2егйг) яг+(! — 2ез л12 ьг = 22' .
(З.б) (4.1) нли, заменЯЯ еи ег, ез их значениЯми в (! 5), до 2 де две е2+ег+ез= д + д + д =д(то. (4.2) дх ду дз Нетрудно видеть, что последняя величина имеет простое физическое значение, выражая собой кубическое расширение жидкости, отнесенное к единице времени. Деиствительно, обозначая через т и т' объем сферической частицы и объем эллипсоида, в который переходит эта частица после деформации, имеем с точностью до величин второго порядка малости: 3 " 3 (1+ е, М) (1+ е, ег) (! + е, Ф) — ! где 4 „дгдг йе 3 = ег+ ег+ ез. (4.3) ф 4, Кубическое расширение, Коэффициенты еи е,, е, в уравнении (3,5) носят название главных удлинений. По известному свойству инвариантности при преобразовании уравнения поверхности второго порядка [получающемуся из уравнения (3.4)) будет иметь место соотношение е,+ег+ ее= е, +ег+ез 1б киипмлтикл жидкой спады 1гл г Отсюда получается, что для несжимаемой жидкости в каждой ее точке доли<но удое.тетворяться соотношение дох доч до, дх ' ду (4.4) Заметим, что величины еи е,, ез, Ои О, О,, ых ю, ю, опреде- 2' ляющие чистую деформацию и вращение частицы, относятся к точке О— полюсу частицы — и вообще являются функциями координат (точки О) и времени; в том случае, когда эти величины являются постоянными, деформация называется однородной.
й б. Упражнения. 1. Показать. что при однородной деформации точки жидкости, лежащие иа плоскости или ка прямой, остаются после деформации соотвегственио на некоторой плоскости илн на прямой. 2. Выяснить значение коэффициента ьи считая, что все прочие козффн. циеиты равны нулю. Олгаегл. и есть скорость уллинения вдоль оси Ох. 3. Выяснить аначение коэффициента 0„ считая, что прочие коэффициенты равны нулю.
Ответ. 0, есть скорость скаш»азина прямого угла Оху. 4. Показать, что при однородной леформзцпи направления главных осей деформации для любой точки жидкости будут одинаковы. Б. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЪ|ВНОСТИ В 6. Переменные Лагранжа. Изучение движения жидкости может быть произведено с двух точек зрения. С точки зрения, развитой особенно подробно Лагранжем, объектом изучения служит сама движущаяся жидкость, точнее говоря, отдельные ее частицы, рассматриваемые как материальные частицы, сплошным образом заполняющие некоторый движущийся обьем, занятый жидкостью; такой обьем условимся называть «жидким об.ьемом». Самое изучение состоит: 1) в исследовании изменений, которые претерпевают различные векторные и скалярные величины, характеризующие двнлсение некоторой фиксированной частицы жидкого объемз (например, скорость, плотность и т.
д.), в зависимости от времени; 2) в исследовании изменений тех же вели шн прн переходе от одной частицы жидкого объема к другой: иначе говоря, упомянутые величякьн характеризующие движение, рассматриваются как функции от времени и тех чисел, которыми отмечается индивидуальность взятой частицы, За такие числа моною, например, принять декартовы координагы жидкой частшия ла, уь, ло в некоторый начальный момент времени Г,; тогла прп движении жидкого об" ема можно, очевидно, трактовать координаты любой его юстшгы х, у, г как определенные функции ПЕРЕМЕННЫЕ ЛАГРАНЖА дх дг ду> (а, Ь, с, Ь) ду дУ, г дЬ дг (6.3) дз дУ,, дг дг д'л д'Г', дрг рдгг д'у дгУ, > дгг дм (6,4) д'г дгУ> птотность оулет: р=/(а, Ь, с, г) и г. д, от времени Ь н начальных координат той >ке частицы: х = ~Р> (Ь, х,, Уо, хо), У тз (Ь' хо' ) О хо) (6Л) х = 9з(Ь ло Уо* зо) пРичем фУнкции ОО>, Оог. оз пРи Ь = Го тождественно обРащаютсЯ Уо хо.
ло = 'г> ('о ло Уо хо) Уо = тг('о "о Уо зо) зо= >Оз(го ло Уо* хо) Вместо декартовых координат х,, уо, хо, отличающих одну частицу от другой, в рассматриваемом лгидком объеме моягно взять любые зри величины а, Ь, с, связанные с хо, Уо, яо взаимно-однозначными зависимостями: хо=ф>(а, Ь, с), уо =фа(а, Ь, с), хо=фа(а, Ь, с); иначе говоря, можно взять криволинейные координаты частицы для начального момента Ьо. С точки зрения Лагранжа переменные Ь, а, Ь, с являются аргу- ментамн, определяющими значение различных векторных и скалярных функций, которыми может характеризоваться движение жидкости; эзи переменные носят название пережснных Лагранжа.
Мы будем, таким образом, иметь: л = Г">(а, Ь, с, г), у.=у" (а, Ь, с, с), = — Уз(а, Ь ., Ьн Проекции скорости и ускорения выразятся формулами: КИНЕМАТИКА ЖИДКОЯ СРЕДЪ| [ГЛ. | $7. Переменные Эйлера. С другой точки зрения, развитой Эйлером, объектом изучения является, строго говоря, не сама жидкость, а неподвижное пространство (или его фиксированная часть), заполненное движущейся жидкостью, и изучается: 1) изменение различных элементов движения в фиксированной точке пространства с течением времени и 2) изменение этих элементов при переходе к другим точкам пространства; иначе говоря, различные векторные и скалярные элементы движения рассматриваются как функции точки и времени, т.
е. как функции четырех аргументов х, у, г, Ь, называемых иережеиными Эйлера; например: о =Р(г, 1) илн о = Р1(х, у, л, г), о,=Р,(х, у, г, 1), о, = Рз (х, у, г, г), (7.1) аналогично Р Р4(х у' з ~) а=|Р1(х, у, г, т), Ь=рг(х у я с) с = |Рз (х, у, г, Ь), (8.1) так как два положения жидкого объема в моменты ге н Ь связаны, очевидно, взаимно-однозначным точечным соответствием.
Из взаимной разрешимости уравнений (6.2) и (8.1), как известно из анализа, вытекает, что ни один из функциональных определителей с)(х, у, ) В(а, Ь,с) В(а,Ь,с) 1 о [э не обращается тождественно в нуль или бесконечность. Пусть, например, некоторая величина А задана в переменных Эйлера А=Р(х, у, г, Ь) и т. д. Таким образом, с точки зрения Эйлера, объектами изучения являются различные векторные и скалярные поля, характеризующие движение жидкости, например: поле скоростей, поле ускорений, поле плотностей и т. д.
ф 8. Переход от переменных Лагранжа к переменным Эйлера и обратно. Такой переход может быть осуществлен прн помощи уравнений (6.2), которые должны иметь однозначные решения относительно а, Ь, с: ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ 2 21 и требуется составить ее производные по переменным Лагранжа; тогда будет: ДА ДР дх да ДР ду ДР ду да дг ДР ду ДР— — -г— Ду ДЬ Дг ДР ду ДР— — +— ду дс Дг ДР ду ДР— — +— ду дг да (8.2) ДА Дс ДА дг последняя формула на основании (6.3) дает выражение для так называемой полной или индивидуальной произнодной функции Р дР ДР ДР ДР ДР— = — о+ — о + — о+ —. гГГ дх " ду У дг г ДГ (8.3) Применяя последнюю формулу к функциям о , о, о„ получаем следующие выражения для проекций ускорения в переменных Эйлера Двк о + —" У Дг деу о + — У У дг до о + — ' У дг ди тв к к дх дв г 1 ДГ Дек о +— к Ду доу о +— Ду де о +— к Ду доу + —, г дь дог о + — *.
г Дг Деу Дх (8.4) дог Я' дх Обратный переход от переменных Эйлера к переменным Лагранжа может быть произведен при помощи уравнений (7А), которые в переменных Лагранжа принимают вид: 'дг =Рг(Х У г Ь) дг =Р2(Х У г г) Интегрируя эти уравнения, найдем". Х =~1(С1,' С2, Сз, ь) ,у г2(С1, С2, СЗ, г), г 3 (С1 С2 сз ь)' где сп сз, с — произвольные постоянные, появляющиеся прн интегрировании. Полагая а = с,, Ь = с2, с = сз, мы приходим к уравнениям (6.2), определяющим движение в переменных Лагранжа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
