Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 2
Текст из файла (страница 2)
576 !1рсднетиый указа гель . 578 ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ Дополнения и изменения, внесенные в шестое издание первой части, касаются лишь главы о волнах. Здесь вставлены два новых параграфа: один посвящен теории длинных волн на мелкой воде (в частности, рассмотрен вопрос о разрушении плотины), другой.— теории длинных волн в сжимаемой жидкости (задача обтекания препятствия). В некоторых местах сделаны незначительные изменения текста. И. Кибела ГЛАВА ПЕРВАЯ КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ Л. ДЕФОРМАЦИЯ жИДКОй ЧЛСТИЦЫ В 1. Формулы Коши — Гельмгольца. В кинематике твердого тела изучен вопрос о распределении скоростей в движущемся теле и показано, что скорость и любой точки тела можно рассматривать как геометрическую сумму поступательной скорости п,г определяемой как скорость выбранного в теле полюса, и вращательной скорости вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс.
Вращательная скорость, как известно, выражается векторным произведением ю Х р, где ю есть вектор угловой скорости, отложенный по мгновенной оси вращения, а р — относительный радкус-вектор, проведенный из полюса в рассматриваемую точку тела; таким образом тг=п,+ю Х р, (1.1) причем длина р остается неизменной во время движения тела по условию твердости. Так как и = 0г/тл где г есть абсолютный радиус- вектор зля~ой точки тела, т.
е. радиус- вектор, проведенный из некоторой фиксированной в пространстве точки, 4 принимаемой за неподвижную, то фор- О д' мула (1.1) дает одновременно разложение элементарного перемещения г1т рассматриваемой точки тела на поступательную и вращательную части: я,' г1г = г1гв+ (,ю Х р) ~й (1 2) У а Ооращаясь к изучению перемещений и скоростей различных точек движу- д щейся жилкой среды, вырежем в ней Ряс.
1. мысленно малую чзстицу, ограниченную односвязной поверхностью, например шаровой, и рассмотрим два последовательных положения этой частицы в моменты 1 и 1+пг, отделенные бесконечно малым промежутком времени Ж. Возьмем в первом положении жидкой частицы две любые точки О и Л 1рпс. 1); одну из них, например О, примем за основную (полюс) КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ игл 1О с(го = го — г;,; а'г = г' — г. разность р' — р можно назвать элементарным относительным перемещением точки А по отношению к О; обозначим ее через г(р, так что ар =р Р. Вследствие очевидных геометрических соотношенкй р =г — г' / / о р=г — г о будет справедливо соотношение г(р =дг — аг =(о — о,) г(Г, где о и о — скорости точек А и О в момент Г.
С другой стороны, рассматривая поле скоростей жидкости в момент г, т. е. считая ско- рость функцией точки и=о(г) ос=о(го) мы имеем, согласно определению производной вектора по вектору, с точностью до малых величин второго порядка малости: о(~) — то(г'о)= (г +р) — о(г'о)=(р т)~, г= о+р и, оледовательно. г(р = (р ° 7) о аг (1. 3) или, в проекциях на неподвижные координатные оси Охи, «1+ «, + «~)дг г до«д"«до« 1 дх ду д» / до„ до доу а'~ = ( — ~ с + — ~ г) -+ — у ч) й, (,дх ду ~до« ~+ до«+ до« „) (1 А) и обозначим через го и г их абсолютные радиусы-векторы, проведенные из некоторой точки пространства О; через р обозначим относительный радиус-вектор ОА; пусть г„', г' и р' означают тс же величины во втором положении частицы в момент г+дГ, так что элементарные перемешения точек О и А будут: фовмг лы коши — гяльмгольцл 1 и Послелние формулгя после несложных алгебраических преобразо- ванин, указанных Коши, можно привести к виду: Вводя для краткости обозначения дол де„ вЂ” =е, дх =е ду де, де„ дел дев '+ — "=О, — "+ — '=О, де а да 3 11,5) дог дел + =Оз дл ду и вспоминая определение вихря, мы можем написать: дч = (е,с+ — Од+ — Ояч Н + — (~~го1 и — лго1,о)д1, 1 1 т 1 /1, 1 з 1 йт= — Озс+еят)+ — О,г Ж+ — (О го1,о — ~гог„о)Л, ~Г".
= — 1т — Ояя+ — Од+езС й+ — (~го1,о — сго1 о)Н 11.6) илн короче: дс = —. Ф+ ( — го1 о Х р) Л, 1 дР 1 дз 2 л пт1= — п1+~ — го1о Х р) п1, дР (1 дя 'т2 дР Г1 пгг.= — „И+ 11 — го1о)с', р1 Ж, д," 12 (1 .7) тле Р (аг$~ + вял~ + еаГ + Огт1~ + ОзОС+ ОзОт)) ( 1 8) Последние формулы показывают, что влементарное относительное перемешенне ггр можно рассматривать как геометрическую сумму дР дР дР двух слагаемых; 1) вектора с проекциямн — Ф, — сга. — Л, дО ' дя ' дь КИНЕЫЛТИКЛ ЖИДКОП СРЕДЫ 1ГЛ.
! ч> = ч>е+ ю> + юг 11. 9) где юе — скорость поступательного движения, определяемого полюсом О; ч» = ы Х р — скорость вращательного дни>кения взятой точки (определяемой относительным радиусом-вектором р) вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс, с угловой скоростью гв = — го1 чч 1 <1.! О) ч>3=8та(! р — скорость чистой деформации, т. е. потенциальнып вектор, определяемый квадратичная однородной функцией (1.8), в которой коэффициенты имеют вышеуказанное значение. $2. Чистая деформация. Чтобы представить яснее характер движения, названного чистой деформацией, допустим, что вращательная часть движения отсутствует„тогда относительные координаты некоторой точки жидкой частицы с, >), ь по истечении элемента времени й! примут значения: Оь 0 +йс (! +е1 л) $+ Озж >1 + Огй Г 1 1 О'= О+йц = — Озй1(+<1+~й1) О+ — О>д1г.
1 1 + = 2 г" '+ 2 1" '0+1 +'3 ) ' 12. 1) Так как О'. >)', ь' отличаются от О, >), ь на величины бесконечно малые, то с точностью до величин второго порядка малости мо кно положить Е' = Ь-+ е, йй' -+- — 03 й10'-+ — О, ЖГ'. О = т>+ - Озй10 +- ег й1; + 01 ю, Г.'= ~+ —, Ог й1('+ — 01 й10 + езд1ь', называемого чистой деформацией, и 2) вектора 1( — го1ю )(' р) (11, /! (2 выражающего элементарное вращательное перемещение, которое получила бы точка А, если бы частица затвердела, при вращении вокруг мгновенной оси, проходящей через точку О с угловой скоростью 1 ь> = — го! ю. Так как аг = йге+ ар, то мы приходим к заключению, что элелсентарное перемещение людой точки жид>сой частица ложно рассматриеить как геометрическую сумму трех перел(ещении: поступительного, вращательного и деформационного; разделив на йс, мы можем повторить то же самое заключение про скорость: 13 ЭЛЛИПСОИД ДЕФОРМАЦИИ откуда 1=(1 е,д1)1 — — 'Озя~ — — 'О,да, — — О, д1 + (1 — е, д1 ) т' — — О, д1~', .= — —,0,1112 — — 01д10 +11 — вздЕ) .
(2.2) (1 — 221 д1) 0' — 03 дтт1' — 02 И ч' = РО', Оз д1 з + (1 2'г "1) Π— 01 '11 ь = Рт) — 02 31н — 01 Ига(' -1- (1 — 222 д1) С' = 12"', 13.1) Послелние формулы показывают, что точки малой жидкой частицы, лежащие в момент 1 на сфере радиуса Й 011 т2 1 22 222 перейдут в момент 2+ д1 на поверхность второго порядка гвследствие линейности предыдущих формул), которая может быть только эллипсопдом, так как, вследствие оплошности движения, шаровая жидкая поверхность может за бесконечно малый элемент времени д1 претерпеть лишь бесконечно малое изменение своей формы; уравнение этого эллипсонда будет: (1 — 2е, д1) Р +(1 — - 22, Ж) О' .+ (1 — 22 д1) ч'— — 20, дт т"~' — 20„д1 ~Т вЂ” 20, дгс'т( = Й2, (2.3) если отбросить величины второго порядка малости.
Эллипсопл (2.3) носит название эллипсоида деформации, а его главные осн называются главны.ии осл.ии деформации. Э 3. Эллипсоид леформации. Покажем, что точки жилкой частицы, лежащие на главных осях деформации, остаются после леформации на тех >ке осях, испытывая лишь смещения влоль этих осей. 1 1 Для эзого воспользуемся тем свойством главных осей эллнпсоила, что онн совпала1от с нормалями к эллппсоиду в точках пересечения последнего с осами.
а) --- — -и' ! Пусть р — вектор с составляющими 0', 11', Г.', проведенный в конце А' главной полуоси эллипсоида (рис. 2). Направляющие косинусы нормали к этому эллипсоиду Рнс. 2. в точке (1', зз', ь') пропорциональны производным левой части уравненкя (2.3) по $', О', ь'1 если эта нормаль коллинеарна с вектором р', то должно быть: (гл ! КИНЕМЛТИКЛ ЖИДКОН СРЕДЫ 14 где р — параметр, имеющий очень простое значение. Действительно, если помножить предыдущие уравнения по порядку на с', т~' и ч', сложить и воспользоваться уравнением (2.3), то мы получим: Р( = р(О" +О" + (') =рр". откуда следует, что Д2 1" = (3.2) где р' есть длина рассматриваемой главной полуоси эллипсоида (2.3). Воспользовавшись уравнениями (2.2), мы можем переписать соотношения (3.1) в следующем виде: 2л — т(' = 1ьт)', 2ь — ь' = р.ь', откуда 2 ' 1 2 1+и, 1+и или в векторной форме: р 1+и ре 2 где р — радиус-вектор той точки А, которая после деформации перешла в конец вектора р'.
Полученное уравнение показывает, что все точки, лежавшие до деформации на главной оси эллипсоида деформации (2.3), остаются после деформации на той же осн, Вычислим отнесенное к единице времени относительное удлинение главной оси, которое мы обозначим через е: Р Р рлг так что р' = р (1 + е гРГ). Из уравнения (3.2), принимая во внимание, что р=)с, выведем: 1 (1+еле)' ' или, пренебрегая членами второго порядка малости: рь=1 — 2еЛ. (3.3) Воспользовавшись этим выражением, мы можем переписать систему (3.1) еще так: 2 (е1 — е) В + Озт)'+ Оя~' = О, Оз$'+ 2(е, — е) О'+ О,С'= О, Оас'+ Оф+2(е — е)".'=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
