r1 (1123690), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Так как поведение помехи N считается известным и неизменным (N()), то описание суммарного сигнала возможно в предположении, что исходный сигнал принимает некоторое фиксированное значение из пространства S. В этом случае может быть найдена условная плотность распределения суммарного сигнала (X) = (X1, X2, X3, …, Xn/S).
Задача решающего устройства состоит в том, чтобы по анализу суммарного сигнала оптимальным образом решить какой именно сигнал присутствует на входе или какие значения имеют параметры исходного сигнала. Оптимальность решения состоит в том, чтобы сделать как можно меньше ошибок в принятии решения или как можно точнее определить параметры входного сигнала.
Все возможные решения, которые может сделать решающее устройство, называются пространством решений Г. Каждое возможное решение из пространства решений будем обозначать . Пространство решений должно быть известно заранее.
Полное описание процесса решения может быть сделано заданием плотности вероятности того, что при условии появления фиксированного сигнала Х на входе решающего устройства будет получено решение . То есть каждому значению случайной величины Х соответствует плотность распределения .
Эта условная плотность вероятности обозначается (/Х) и называется решающей функцией. Решающая функция может быть детерминирована (не случайна) или рандомизирована.
При детерминированной решающей функции каждому значению случайной величины X соответствует одно единственное решение . Т.е между решением и сигналом X существует регулярная зависимость
= (Х)
При рандомизированной решающей функции каждому значению случайной величины X может соответствовать несколько решений в соответствии с некоторым распределением вероятностей этих решений. В дальнейшем мы будем пользоваться только детерминированными решающими функциями. Пример детерминированной решающей функции
X
1
Решающее устройство
(/X)


0

Функция ошибок.
Поскольку реальный сигнал S и помеха N являются случайными величинами, то принимаемый сигнал Х = S + N также является случайной величиной. Так как X - случайная величина, то принимаемые по его значениям решения относительно сигнала S могут быть как правильными, так и ошибочными.
Ведем понятие платы за принятое решение.
За каждое решение (правильное или не правильное) вносится определенная плата. В качестве меры платы выбирают платежную функцию. Мера платы зависит от сигнала S (S > 0 или S = 0 для нашего примера, смотри выше) и от принятого решения . Принято, что за правильное решение вносится нулевая плата. Поэтому платежную функцию часто называют функцией потерь за ошибочные решения и обозначают как F(S, ). Ввиду случайного характера S и , функция F(S, ) так же носит случайный характер. Поэтому для оценки качества решения принимается не сама функция, а ее математическое ожидание, называемое средним риском.
Так как между решением и сигналом X существует регулярная зависимость = (X), т. е. каждому значению случайной величины X соответствует одно единственное решение , то последнее выражение можно переписать в виде:
Для дискретной функции потерь выражение для математического ожидания имеет вид:
или
при этом функция потерь приобретает вид матрицы:
P(S) - априорная вероятность появления полезного сигнала S
Р(/S)- вероятность принятия решения при условии, что в принятом сигнале X присутствует полезный сигнал S
Учебный вопрос 3.
Применение теории статистических решений к задачам обнаружения радиолокационных сигналов.
-
постановка задачи.
Пусть производится некоторый статистический эксперимент (прием и анализ радиолокационных сигналов). Объектом эксперимента является случайная величина X. Случайная величина X представляет собой смесь сигнала S и помехи N.
X = S + N
Относительно помехи известно, что помеха присутствует всегда N > 0
Относительно сигнала известно, что S может принимать два значения
-
S = S0, где S0 = 0
S = S1, где S1 > 0
Относительно СВ X известно, что она принадлежит к одному из двух распределений
0(Х), или 1(Х).
0(Х) - соответствует распределению сигнала X вида Х = S0 + N, т. е. распределению помехи.
1(Х) - соответствует распределению сигнала X вида X = S1 + N, т. е. распределению сигнала и помехи.
По которому из двух законов она распределена мы не знаем и можем только строить гипотезы. Существуют две гипотезы:
-
гипотеза Н0 - СВ X распределена по закону 0(Х);
-
г
0(Х)
1(Х)
ипотеза Н1 - СВ X распределена по закону 1(Х).
Плотности распределения случайной величины X
Цель эксперимента состоит в проверке, что СВ X распределена по закону 0(Х).
Все возможные результаты эксперимента со случайной величиной X = {x1, x2, x3, …, xn} можно изобразить на оси x (рис )
На основании результатов эксперимента необходимо принять решение () о том, правильна или ложна гипотеза Н0.
Для того, чтобы принимать решение необходимо предварительно установить некоторый критерий или правило решения.
Установить правило решения - это значит каждому хi из области и поставить в
соответствие либо гипотезу Н0, либо гипотезу Н1, т.е. разбить область X на две части: 0 и 1, для одной из которых будем считать верной гипотезу Н0, а для другой верной гипотезу Н1.
Область 0 - область принятия гипотезы Н0 - (решение 0);
x
область принятия гипотезы H0 область принятия гипотезы H1
Область 1 - область принятия гипотезы Н1 - (решение 1);
Каким же образом устанавливать решающее правило?
-
отношение правдоподобия
Введем очень важное в теории принятия решений понятие отношения правдоподобия.
Поскольку мы говорим о гипотезах, то представим наши плотности распределения в виде условных плотностей: Пусть
0(X) = (X/H0) - плотность вероятности результатов эксперимента при условии, что верна гипотеза Н0.
1(X) = (X/H1) - плотность вероятности результатов эксперимента при условии, что верна гипотеза Н1.
Предположим, что известна плотность вероятности n-мерной выборки исследуемой СВ при условии что, гипотеза Н0 верна. Эту условную плотность вероятности можно представить в виде (x1, x2, x3, …, xn/H0). Аналогично будем считать заданной условную плотность вероятности n-мерной выборки соответствующей гипотезе Н1: (x1, x2, x3, …, xn/H1).
Составим отношение
Это выражение является непрерывной функцией выборки (x1, x2, x3, …, xn) и называется отношением правдоподобия. Для нахождения числового значения отношения правдоподобия должен быть задан явный вид функций плотностей вероятностей. Задача обнаружения сигнала в радиолокации сводится к построению и анализу отношения правдоподобия.
Пусть функции плотностей вероятностей заданы в явном виде (x1, x2, x3, …, xn/H0), (x1, x2, x3, …, xn/H1). Пусть известны результаты эксперимента (x1, x2, x3, …, xn). Решение о наличии или отсутствии сигнала проводится по следующей схеме:
Если значение функции плотности (x1, x2, x3, …, xn/H1) не менее чем в l0 раз превосходит значение функции плотности (x1, x2, x3, …, xn/H0),
(x1, x2, x3, …, xn/H1) > l0(x1, x2, x3, …, xn/H0)
или в виде отношения правдоподобия
то принимаем решение о справедливости гипотезы Н1 (решение 1), в противном случае принимается решение о справедливости гипотезы Н0 (решение 0).
Решающее правило записывается следующим образом:
Примечание !!! Мы пока не поднимаем вопроса - из каких соображений выбираем значение l0
Поскольку решение должно быть однозначным, возможны ошибки решения. Ошибки могут быть двух родов.
-
Ошибка первого рода состоит в том, что гипотеза Н0 отвергается, когда она верна на самом деле (т.е. принимается решение Н = Н1, когда на самом деле Н = Н0 - ЛОЖНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ). Ошибке первого рода ставится в соответствие ее вероятность - Рло.
-
Ошибка второго рода состоит в том, что гипотеза Н0 не отвергается, когда она на самом деле является ложной (т.е. принимается решение Н = Н0, когда на самом деле Н = Н1 - ПРОПУСК ЦЕЛИ). Ошибке второго рода ставится в соответствие ее вероятность - Рпр.
Тогда условные вероятности ошибок первого и второго рода определяется выражениями:













ПРИМЕР
Пусть наблюдаемые значение случайной величины X расположены в диапазоне всех действительных чисел.
Пусть Н0 - гипотеза о том, что случайная величина X подчинена нормальному закону с нулевым математическим ожиданием (mх = 0) и единичной дисперсией (х = 1).
Пусть Н1 - гипотеза о том, что случайная величина X подчинена нормальному закону с математическим ожиданием mх = 1 и дисперсией х = 1.