r1 (1123690), страница 2

Файл №1123690 r1 (Методичка и она же лекции) 2 страницаr1 (1123690) страница 22019-05-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Так как поведение помехи N считается известным и неизменным (N()), то описание суммарного сигнала возможно в предположении, что исходный сигнал принимает некоторое фиксированное значение из пространства S. В этом случае может быть найдена условная плот­ность распределения суммарного сигнала (X) = (X1, X2, X3, …, Xn/S).

Задача решающего устройства состоит в том, чтобы по анализу суммарного сигнала оптимальным образом решить какой именно сигнал присутствует на входе или какие значения имеют параметры исходно­го сигнала. Оптимальность решения состоит в том, чтобы сделать как можно меньше ошибок в принятии решения или как можно точнее определить параметры входного сигнала.

Все возможные решения, которые может сделать решающее уст­ройство, называются пространством решений Г. Каждое возможное ре­шение из пространства решений будем обозначать . Пространство решений должно быть известно заранее.

Полное описание процесса решения может быть сделано заданием плотности вероятности того, что при условии появления фиксированного сигнала Х на входе решающего устройства будет получено решение . То есть каждому значению случайной величины Х соответствует плотность распределения .

Эта условная плотность вероятности обозначается (/Х) и на­зывается решающей функцией. Решающая функция может быть детерминирована (не случайна) или рандомизирована.

При детерминированной решающей функции каждому значению слу­чайной величины X соответствует одно единственное решение . Т.е между решением  и сигналом X существует регулярная зависимость

 = (Х)

При рандомизированной решающей функции каждому значению слу­чайной величины X может соответствовать несколько решений в соот­ветствии с некоторым распределением вероятностей этих решений. В дальнейшем мы будем пользоваться только детерминированными решающими функциями. Пример детерминированной решающей функции

X 

1

Решающее устройство

(/X)


0

Функция ошибок.

Поскольку реальный сигнал S и помеха N являются случайными величинами, то принимаемый сигнал Х = S + N также является случай­ной величиной. Так как X - случайная величина, то принимаемые по его значениям решения  относительно сигнала S могут быть как правильными, так и ошибочными.

Ведем понятие платы за принятое решение.

За каждое решение (правильное или не правильное) вносится оп­ределенная плата. В качестве меры платы выбирают платежную функцию. Мера платы зависит от сигнала S (S > 0 или S = 0 для нашего примера, смотри выше) и от принятого решения . Принято, что за правильное решение вносится нулевая плата. Поэтому платежную функцию часто называют функцией потерь за ошибочные решения и обозначают как F(S, ). Ввиду случайного характера S и , функция F(S, ) так же носит случайный характер. Поэтому для оценки ка­чества решения принимается не сама функция, а ее математическое ожидание, называемое средним риском.

Так как между решением  и сигналом X существует регулярная зависимость  = (X), т. е. каждому значению случайной величины X соответствует одно единственное решение , то последнее выражение можно переписать в виде:

Для дискретной функции потерь выражение для математического ожи­дания имеет вид:

или

при этом функция потерь приобретает вид матрицы:

P(S) - априорная вероятность появления полезного сигнала S

Р(/S)- вероятность принятия решения  при условии, что в принятом сигнале X присутствует полезный сигнал S

Учебный вопрос 3.

Применение теории статистических решений к задачам обнаруже­ния радиолокационных сигналов.

  1. постановка задачи.

Пусть производится некоторый статистический эксперимент (при­ем и анализ радиолокационных сигналов). Объектом эксперимента яв­ляется случайная величина X. Случайная величина X представ­ляет собой смесь сигнала S и помехи N.

X = S + N

Относительно помехи известно, что помеха присутствует всегда N > 0

Относительно сигнала известно, что S может принимать два зна­чения

  1. S = S0, где S0 = 0

S = S1, где S1 > 0

Относительно СВ X известно, что она принадлежит к одному из двух распределений

0(Х), или 1(Х).

0(Х) - соответствует распределению сигнала X вида Х = S0 + N, т. е. распределению помехи.

1(Х) - соответствует распределению сигнала X вида X = S1 + N, т. е. распределению сигнала и помехи.

По которому из двух законов она распределена мы не знаем и можем только строить гипотезы. Существуют две гипотезы:

  1. гипотеза Н0 - СВ X распределена по закону 0(Х);

  2. г





    0(Х)


    1(Х)


    ипотеза Н1 - СВ X распределена по закону 1(Х).



Плотности распределения случайной величины X

Цель эксперимента состоит в проверке, что СВ X распределена по закону 0(Х).

Все возможные результаты эксперимента со случайной величиной X = {x1, x2, x3, …, xn} можно изобразить на оси x (рис )

На основании результатов эксперимента необходимо принять ре­шение () о том, правильна или ложна гипотеза Н0.

Для того, чтобы принимать решение необходимо предварительно установить некоторый критерий или правило решения.

Установить правило решения - это значит каждому хi из области и поставить в

соответствие либо гипотезу Н0, либо гипотезу Н1, т.е. разбить область X на две части: 0 и 1, для одной из которых бу­дем считать верной гипотезу Н0, а для другой верной гипотезу Н1.

Область 0 - область принятия гипотезы Н0 - (решение 0);

x

x x2 …… x i ……. x n-1 x n

область принятия гипотезы H0 область принятия гипотезы H1


Область 1 - область принятия гипотезы Н1 - (решение 1);












Каким же образом устанавливать решающее правило?

  1. отношение правдоподобия

Введем очень важное в теории принятия решений понятие отноше­ния правдоподобия.

Поскольку мы говорим о гипотезах, то представим наши плотности распределения в виде условных плотностей: Пусть

0(X) = (X/H0) - плотность вероятности результатов эксперимента при условии, что верна гипотеза Н0.

1(X) = (X/H1) - плотность вероятности результатов эксперимента при условии, что верна гипотеза Н1.

Предположим, что известна плотность вероятности n-мерной вы­борки исследуемой СВ при условии что, гипотеза Н0 верна. Эту ус­ловную плотность вероятности можно представить в виде (x1, x2, x3, …, xn/H0). Аналогично будем считать заданной условную плотность вероятности n-мерной выборки соответствующей гипотезе Н1: (x1, x2, x3, …, xn/H1).

Составим отношение

,

Это выражение является непрерывной функцией выборки (x1, x2, x3, …, xn) и называется отношением правдоподобия. Для нахождения числового значения отношения правдоподобия должен быть задан явный вид функций плотностей вероятностей. Задача обнаружения сигнала в ра­диолокации сводится к построению и анализу отношения правдоподо­бия.

Пусть функции плотностей вероятностей заданы в явном виде (x1, x2, x3, …, xn/H0), (x1, x2, x3, …, xn/H1). Пусть известны результа­ты эксперимента (x1, x2, x3, …, xn). Решение о наличии или отсутствии сигнала проводится по следующей схеме:

Если значение функции плотности (x1, x2, x3, …, xn/H1) не менее чем в l0 раз превосходит значение функции плотности (x1, x2, x3, …, xn/H0),

(x1, x2, x3, …, xn/H1) > l0(x1, x2, x3, …, xn/H0)

или в виде отношения правдоподобия

то принимаем решение о справедливости гипотезы Н1 (решение 1), в противном случае принимается решение о справедливости гипотезы Н0 (решение 0).

Решающее правило записывается следующим образом:

Примечание !!! Мы пока не поднимаем вопроса - из каких сооб­ражений выбираем значение l0

Поскольку решение должно быть однозначным, возможны ошибки ре­шения. Ошибки могут быть двух родов.

  1. Ошибка первого рода состоит в том, что гипотеза Н0 отвер­гается, когда она верна на самом деле (т.е. принимается решение Н = Н1, когда на самом деле Н = Н0 - ЛОЖНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ). Ошибке перво­го рода ставится в соответствие ее вероятность - Рло.

Pло = Р(Х 10)

  1. Ошибка второго рода состоит в том, что гипотеза Н0 не от­вергается, когда она на самом деле является ложной (т.е. принима­ется решение Н = Н0, когда на самом деле Н = Н1 - ПРОПУСК ЦЕЛИ). Ошибке второго рода ставится в соответствие ее вероятность - Рпр.

Pпр = Р(Х 01)

Тогда условные вероятности ошибок первого и второго рода оп­ределяется выражениями:













ПРИМЕР

Пусть наблюдаемые значение случайной величины X расположены в диапазоне всех действительных чисел.

Пусть Н0 - гипотеза о том, что случайная величина X подчинена нормальному закону с нулевым математическим ожиданием (mх = 0) и единичной дисперсией (х = 1).

Пусть Н1 - гипотеза о том, что случайная величина X подчинена нормальному закону с математическим ожиданием mх = 1 и дисперсией х = 1.

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
263 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов учебной работы

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6489
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее