Цепи Маркова (1121219), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Пусть > 0 фиксировано. Семейство случайныхвеличин (Nt , t > 0) со значениями в Z+ = {0, 1, . . .} называется процессом Пуассона с интенсивностью , еслиа) N0 = 0,б) для любых 0 < t1 < t2 < . . . < tn и любых неотрицательных целыхчисел i1 , . . . , in ∈ I выполняется соотношениеP (Nt1 = i1 , . . . , Ntn = in) = p0i1 (t1)pi1 i2 (t2 − t1) . .
. pin−1 in (tn − tn−1), (2.3.1)где pij (t) — элементы матрицы P(t) = etQ , определенной в формуле (2.2.21).Мы будем кратко обозначать процесс Пуассона с интенсивностьючерез ПП ( ), а его распределение — просто через P = P . Процесс ПП ( )имеет кусочнопостоянные, неубывающие (непрерывные справа) траектории, выходящие из 0.Из равенства (2.3.1) следует, что ПП ( ) имеет независимые приращения Ntj+1 −Ntj на непересекающихся интервалах (tj , tj+1) и эти приращенияраспределены по закону Po( (tj+1 − tj)).
В самом деле, полагая t0 = 0и i0 = 0, получим, что вероятность P (Nt1 = i1 , . . . , Ntn = in) совпадаетс P (Nt1 − Nt0 = i1 − i0 , . . . , Ntn − Ntn−1 = in − in−1), т. е. с вероятностью того,что приращения примут заданную последовательность значений. Затем,повторяя определение 2.3.1, получим, что для любых 0 = t 0 < t1 < . . . < tnи любых чисел 0 = i0 , i1 , . . . , in ∈ Z+ выполняется соотношениеP (Nt1 − Nt0 = i1 − i0 , . . . , Ntn − Ntn−1 = in − in−1) =ik+1 −ik−1 ( (tk+1 − tk))nQe− (tk+1 −tk) , если 0 6 i1 6 . . . 6 in ,(ik+1 − ik)!= k=00в остальных случаях.4 Играслов, ср.
«Приключения Посейдона».(2.3.2)236Глава 2. Цепи Маркова с непрерывным временем§ 2.3. Процесс Пуассона237ж) свойство отсутствия памяти:P (X > t + s | X > s) =e− (t+s)= e−e− st= P (X > t) ∀ t, s > 0;это свойство часто интерпретируют так: если время жизни (или время пребывания) превысило заданный уровень s, то при этом условии остаточноевремя жизни X − s по-прежнему имеет распределение Exp( ).Рис. 2.19Обратно, из свойства (2.3.2) следует свойство (2.3.1). Этот факт важендля нашего понимания пуассоновских процессов.Прежде чем двигаться дальше, напомним основные свойства показательного распределения Exp( ):а) плотность распределения равна f(x) = e− x 1(x > 0),б) функция распределения равнаF (x) := P (X < x) =Zx−∞f(y) dy = (1 − e− x)1(x > 0),в) «хвост» функции распределения равен(e− x ,1 − F (x) = P (X > x) =1,г) среднее значение равно EX =R∞0е) если X1 ∼ Exp( 1), .
. . , Xn ∼ Exp( n) и эти с.в. независимы в совоnPкупности, то W = min [X1 , . . . , Xn ] ∼ Expi ; действительно,i=1i=1P (Xi > x) =nYi=1e−∀ 0 < t1 < . . . < t n ,(2.3.3)илиб) процесс с независимыми приращениями и такими инфинитезимальными вероятностями: для любого t > 01nYДалее мы обозначаем ПП ( ) либо Nt , либо N(t) в зависимости от того,какое обозначение более подходит для конкретного случая.
Следующаятеорема — это основной результат данного параграфа.Теорема 2.3.2. Процесс ПП ( ) (N(t)) можно охарактеризоватьтремя эквивалентными способами: это процесс со значениямив Z+ = {0, 1, . . .} с N0 = 0 иа) процесс, удовлетворяющий соотношениям (2.3.1), где P(t) == (pij (t)), t > 0, — стохастическая матрица, заданная в формуле(2.2.21); или, что эквивалентно, процесс с независимыми пуассоновскими приращениями:N(tk) − N(tk−1) ∼ Po( (tk − tk−1)),x > 0,x 6 0,xf(x) dx = ,0R∞ 1 21x−f(x) dx = 2 ,д) дисперсия равна E (X − EX) 2 =P (W > x) = P (Xi > x, 1 6 i 6 n) =Рис. 2.20ix,P (N(t + h) − N(t) = 0) = 1 − h + o(h),P (N(t + h) − N(t) = 1) = h + o(h),P (N(t + h) − N(t) > 2) = o(h)(2.3.4)при h & 0, где слагаемые o(h) не зависят от t,илив) процесс, проводящий случайное время Si ∼ Exp( ) в каждомсостоянии i независимо друг от друга, а затем попадающий в состояние i + 1, i = 0, 1, . .
.238Глава 2. Цепи Маркова с непрерывным временемГоворят, что а) — это определение (или характеризация) в терминахнезависимых пуассоновских приращений, б) — определение в терминахинфинитезимальных вероятностей, в) — в терминах показательных временпребывания.Замечание 2.3.3. Характеризацию б) можно сформулировать в эквивалентном виде:б0) процесс ПП ( ) (Nt) — это процесс со значениями в Z+ с N0 == 0 и следующими инфинитезимальными условными вероятностями:для любых t > 0 и i = 0, 1, .
. .P (N(t + h) − N(t) = 0 | N(t) = i) = 1 − h + o(h),P (N(t + h) − N(t) = 1 | N(t) = i) = h + o(h),P (N(t + h) − N(t) > 2 | N(t) = i) = o(h)(2.3.5)§ 2.3. Процесс Пуассона239Все это верно для любого t > 0, поэтомуP (скачков размера 2 и выше нет вообще) = 1.Далее, проверим, что для любых t, s > 0 выполняется условие:P (Nt+s − Ns = 0) = e− s .Запишем аналогично предыдущемуP (Nt+s − Ns = 0) = P (нет скачков на полуинтервалах (s, t + s]) = k−1ikt, s+ t ∀ k = 1, . . .
, m == P нет скачков на полуинтервалах s+mпри h & 0, где слагаемые o(h) не зависят ни от t, ни от i.Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 2.3.2. Импликация а) ⇒ б) очевидна.Из п. а) следует, что(e− h = 1 − h + O(h2),l = 0,( h) l − he=P (Nt+h − Nt = l) =− hl!= h(1 + o(h)), l = 1,( h)emmiYk−1k=P нет скачков на полуинтервалах s +t, s + t =m1= 1− t mt+omm→ e−tmпри m → ∞ в силу б).Введем теперь времена пребывания:иS0 = sup [t > 0 : N(t) = 0] ,P (Nt+h − Nt > 2) = 1 − P (Nt+h − Nt = 0 или 1) == 1 − (1 − h + h + o(h)) = o(h).Отсюда получаем п. б).Импликация б) ⇒ в) посложнее.
Сначала проверим, что нет двойныхскачков, т. е.P (нет скачков размером 2 и выше на полуинтервале (0, t]) =k − 1 k i= P таких скачков нет на полуинтервалахt, t ∀ k = 1, . . . , m =m=mmh k − 1 k iYP таких скачков нет на полуинтервалахt, t =mk=1mmmи т. д. Тогда моменты времени, в которые процесс совершает скачки, равныS0S0 + S 1(= H1 , время достижения состояния 1),(= H2 , время достижения состояния 2),...S0 + . . .
+ Sk−1(= Hk , время достижения состояния k),...mY =P скачков нет вообще или есть единственный скачок размера 1k k − 1 k iна полуинтервалеt, t =mmmmtttt= 1−++o= 1+o→ 1 при m → ∞ в силу б).mS1 = sup [t > 0 : N(S1 + t) = 1]Рис. 2.21240Глава 2. Цепи Маркова с непрерывным временем§ 2.3. Процесс Пуассона241Рассмотрим теперь попарно непересекающиеся полуинтервалы[t1 , t1 +h1), . . .
, [tn , tn + hn), 0 = t0 < t1 < t1 + h1 < t2 < . . . << tn−1 + hn−1 < tn , и вероятностьP (t1 < H1 6 t1 + h1 , . . . , tn < Hn 6 tn + hn) == P (N(t1) = 0, N(t1 + h1) − N(t1) = 1, N(t2) − N(t1 + h1) = 0, . . .. . . , N(tn) − N(tn−1 + hn−1) = 0, N(tn + hn) − N(tn) = 1) == P (N(t) = 0) P (N(t1 + h1) − N(t1) = 1) P (N(t2) − N(t1 + h1) = 0) × . . .. . . × P (N(tn) − N(tn−1 + hn−1) = 0) P (N(tn + hn) − N(tn) = 1) == e−t1( h1 + o(h1))e−(t2 −t1 −h1). . .
e−(tn −tn−1 −hn−1)( hn + o(hn)).Разделим ее на h1 × . . . × hn и перейдем к пределу при hk → 0. Тогда леваячасть сходится к совместной плотности распределения f H1 ,...,Hn (t1 , . . . , tn)и правая часть сходится к (e− t1 ) (e− (t2 −t1) ) . . . (e− ( (tn −tn−1) ). ПоэтомуfH1 ,...,Hn (t1 , . . . , tn) =nYk=1Рис. 2.22Наконец, докажем, что в) ⇒ а). Нам нужно установить следующееравенство:P (N(t1) − N(0) = l1 , N(t2) − N(t1) = l2 , . . .
, N(tn) − N(tn−1) = ln) =nY( (tk − tk−1)) lk − tn=e(независимость приращений).1( exp [− (tk − tk−1)])1(0 < t1 < . . . < tn) ==n − tne1(0 < t1 < . . . < tn).lk !Естественно применить индукцию по n. На первом шаге n = 1, и мыполагаем t1 = t, l1 = l. При Hl = S0 + . . . + Sl−1 запишемP (N(t) = l) = P (S0 + . . . + Sl−1 < t < S0 + . . . + Sl−1 + Sl)Теперьи используем тот факт, что Hl ∼ Gam(l, ), где fHl (x) =x > 0:S0 = H1 , S2 = H2 − H1 , . .
. , Sn−1 = Hn − Hn−1 .Замене переменныхs0 = t 1 , s 1 = t 2 − t 1 , . . . ,sn−1 = tn − tn−1P (N(t) = l) =соответствует якобианZt0∂ (s0 , . . . , sn−1)∂ (t1 , . . . , tn)=1=,∂ (t1 , . . . , tn)∂ (s0 , . . . , sn−1)e=(l − 1)!∂ (t , . . . , tn)fS0 ,...,Sn−1 (s0 , . . . , sn−1) = fH1 ,...,Hn (s0 , s0 + s1 , . . . , s0 + . . . + sn−1) ==k=0( e−0l − t1где— якобиан обратного преобразования. Поэтому сов∂ (s0 , . . . , sn−1)местная плотность распределения имеет видnY−1fHl (x) P (Sl > t − x) dx =Ztsk)=nY−1чтоl l−1xe−(l − 1)!Zt(t−x)xl−1 dx =в силу п.
в)l l−1x/ (l − 1)!,dx =( t) l − te .l!(2.3.6)0Далее, чтобы сделать шаг индукции от n − 1 к n, достаточно доказать,P (N(tn) − N(tn−1) = ln | N(tk) − N(tk−1) = lk , 1 6 k 6 n − 1) =fSk (sk).0Мы видим, что с.в. S0 , S1 , . . . имеют распределение Exp ( ) и независимыв совокупности. Отсюда следует п.
в).= P (N(tn − tn−1) = ln) =( (tn − tn−1)) ln −eln !(tn −tn−1),(2.3.7)но это верно в силу свойства отсутствия памяти у времени пребыванияSl1 +...+ln−1 ∼ Exp( ),242Глава 2. Цепи Маркова с непрерывным временем§ 2.3. Процесс Пуассона243Рис. 2.23откуда следует п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
