Цепи Маркова (1121219)
Текст из файла
М. Я. Кельберт, Ю. М. СуховВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКАВ ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХТом IIМарковские цепи как отправная точкатеории случайных процессов и ихприложенияМоскваИздательство МЦНМО2009УДК 519.21???ББК 22.171???К34???Издание осуществлено при поддержке РФФИ(издательский проект № ??-??-?????).ОглавлениеКельберт М. Я., Сухов Ю. М.К34??? Вероятность и статистика в примерах и задачах. Т. II: Марковские цепи как отправная точка теории случайных процессов и ихприложения. М.: МЦНМО, 2009. — ??? с.: ил.ISBN ???Для освоения теории вероятностей и математической статистики тренировка врешении задач и выработка интуиции важны не меньше, чем изучение доказательствтеорем; большое разнообразие задач по этому предмету затрудняет студентам переход от лекций к экзаменационным задачам, а от них — к практике.Специфический предмет этого тома, цепи Маркова и их применения, переживаетпоследнее время большой подъем.
Многие замечательные теоретические результатыбыли получены в этой области, которая долгое время рассматривалась многимиспециалистами как «мертвая» зона. Активную роль в развитии этой области играютименно прикладные исследования. Предмет этой книги критически важен как длясовременных приложений (финансовая математика, менеджмент, телекоммуникации,обработка сигналов, биоинформатика), так и для приложений классических (актуарная математика, социология, инженерия).Авторы собрали большое количество упражнений, снабженных полными решениями. Эти решения адаптированы к нуждам и умениям учащихся.
Необходимыетеоретические сведения приводятся по ходу изложения; кроме того, текст снабженисторическими отступлениями.ББК 22.171???Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7Г л а в а 1. Цепи Маркова с дискретным временем . . . . .
. . . . 11§ 1.1. Марковское свойство и немедленные следствия из него . . 11§ 1.2. Разбиение состояний на классы . . . . . . . . . . . . . . . . 29§ 1.3. Времена и вероятности достижения . . . . . . . . . . . . . . 38§ 1.4. Строго марковское свойство . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47§ 1.5. Возвратность и невозвратность: определения и основныефакты . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52§ 1.6. Возвратность и невозвратность: случайные блуждания накубических решетках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59§ 1.7. Инвариантные распределения: определения и основныефакты. Положительная и нулевая возвратность. I . . . . . . 68§ 1.8. Положительная и нулевая возвратность. II . . . . . . . .
. . 76Перевод с английского Л. Сахно под ред. Ю. Мишуры§ 1.9. Сходимость к положению равновесия. Предельные пропорции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87§ 1.10. Детальный баланс и обратимость . . . . . . . . . . . . . . . 98На обложке изображены... (г. Кембридж, Великобритания).§ 1.11. Управляемые и частично наблюдаемые цепи Маркова . . . 108§ 1.12. Геометрическая алгебра цепей Маркова, I. Собственныезначения и спектральные щели . .
. . . . . . . . . . . . . . . 115§ 1.13. Геометрическая алгебра цепей Маркова, II. Случайныеблуждания на графах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134§ 1.14. Геометрическая алгебра цепей Маркова, III. Границы Пуанкаре и Чигера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 150ISBN ??? (Том II)ISBN 978-5-94057-252-7© Кельберт М. Я., Сухов Ю. М., 2009© МЦНМО, 2009§ 1.15. Большие уклонения для цепей Маркова с дискретным временем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594Оглавление§ 1.16. Вопросы по теории цепей Маркова с дискретным временемна экзаменах «Математические треножники» в Кембриджском университете . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 177Г л а в а 2. Цепи Маркова с непрерывным временем . . . . . . . . 209§ 2.1. Матрицы перехода и Q-матрицы . . . . . . . . . . . . . . . 209§ 2.2. Марковские цепи с непрерывным временем: определенияи основные конструкции. Марковское и строго марковскоесвойства . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220§ 2.3. Процесс Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235§ 2.4. Неоднородный процесс Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . 256§ 2.5. Процессы рождения и гибели. Взрыв . . . . . . . . . . . . . 263§ 2.6. Инвариантные распределения счетных цепей Маркова.Цепь скачков . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283§ 2.7. Времена и вероятности достижения. Возвратность и невозвратность. Положительная и нулевая возвратность . . . . . 300§ 2.8. Сходимость к инвариантному распределению. Обратимость 320§ 2.9. Применения к теории очередей. Марковские очереди . . . . 327§ 2.10. Ветвящиеся процессы с непрерывным временем. Марковские процессы миграции и сети с очередями Джексона .
. . 342§ 2.11. Большие уклонения для цепей Маркова с непрерывнымвременем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372§ 2.12. Вопросы к теории цепей Маркова с непрерывным временем, заданные на экзаменах «Математические треножники» в Кембриджском университете . . . . . . . . . . . . . . 385Г л а в а 3.
Статистика цепей Маркова с дискретным временем§ 3.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 3.2. Функции правдоподобия, I. Оценки максимального правдоподобия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 3.3. Состоятельность оценок.
Различные виды сходимости . .§ 3.4. Функции правдоподобия, II. Формула Уиттла . . . . . . .§ 3.5. Байесовский анализ цепей Маркова: априорные и апостериорные распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 3.6. Элементы теории управления и теории информации . . . .§ 3.7. Скрытые марковские модели, I. Оценивание состояниймарковских цепей .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 427. 427. 435. 446. 472. 484. 499. 518Оглавление5§ 3.8. Скрытые марковские модели, II. Обучающий алгоритм Баума—Уэлча . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539§ 3.9. Обобщения алгоритма Баума—Уэлча. Глобальная сходимость итераций . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549Приложение I. Андрей Андреевич Марков и его время . . . . . . . . . 569Приложение II. Пирсон, Максвелл и другие знаменитые Кембриджские лауреаты: уроки, которые следует усвоить . . . . . . . . . . . . . 575Список литературы .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585ПредисловиеЭтот том, как и предшествующий ему том I, был задуман с намерениемдать студентам Кембриджа возможность проверить их уровень подготовки к экзаменам «Математические треножники». Однако, как и в первомтоме, в процессе подготовки появилась и другая цель: показать широкойпублике, как вероятность, статистика и другие подобные курсы изучаютсяв Кембриджском университете и какой уровень подготовки достигаетсяк концу такого обучения.
Вдобавок специфический предмет этого тома,цепи Маркова и их применения, переживает последнее время большойподъем. Многие замечательные теоретические результаты были полученыв этой области, которая только двадцать лет назад или около того рассматривалась многими вероятностниками как «мертвая» зона. Еще болееудивительно то, что активную роль в развитии этой области играли именноприкладные исследования.
Мотивируемые все увеличивающимся количеством проблем, возникающих в таких, казалось бы, различных областях,как информатика, биология и финансы, «прикладные» математики вторглись на территорию, которую традиционно занимали те немногие «чистые»математики, которые все еще продолжали улучшать старые результаты,убирая или добавляя то или иное условие в теоремах, читать которые становилось все труднее, не говоря уже о том, чтобы их применять.
Поэтомумы не могли не почувствовать себя обязанными включить некоторые изэтих относительно новых идей в нашу книгу, несмотря на то, что соответствующие параграфы имеют мало общего с нынешними кембриджскимикурсами. Тем не менее, мы старались по возможности придерживатьсякембриджского подхода (в нашем понимании) на протяжении всего тома.В целом складывается ощущение, что современную теорию цепей Маркова можно сравнить с огромным и сложным живым организмом, которыйвнезапно проснулся из зимней спячки и в настоящее время находитсяв стадии активного потребления и усвоения свежей пищи, поставляемойплодородными полями, процветающими благодаря замечательным климатическим условиям. И, как часто бывает в природе, некоторые части такогоорганизма претерпевают серьезные изменения: они либо становятся болееважными, либо теряют свое значение по сравнению с предыдущей стадиейразвития.
Кроме того, некоторые части, например старая кожа, могут бытьсброшены, или заменены на новые, лучше приспособленные к внешнемумиру. В этом смысле нашу книгу можно сравнить с фотографическим8Предисловиеснимком этого гиганта с определенного расстояния и в некотором ракурсе.Мы не можем показать все существо целиком (для этого оно слишкомвелико и слишком быстро двигается), и многие детали в рамках нашейфотографии получаются смазанными. Но тем не менее, мы надеемся, чтов целом картинка получится новой и свежей.В то же время наша цель заключалась в том, чтобы не упустить тетемы, которые особенно важны в курсе, посвященном основным понятиям цепей Маркова.
Эти те главы, которые особенно стимулируют кразмышлениям новичков, и, что неудивительно, обычно предоставляютплодотворную почву для постановки подходящих для экзаменов задач. Вобщем, весь материал теории цепей Маркова, который оказался полезнымна кембриджских экзаменах в 1991–2001 гг., включен в эту книгу.Конечно, экзаменационные задачи сами по себе, наряду с их решениями, составляют важную часть этой книги, так же как и предыдущего тома.Мы осознаем, что этот шаг не прибавил счастья некоторым кембриджским коллегам, предпочитавшим сохранить этот материал «для служебногопользования». Тем не менее, с нашей точки зрения, теория цепей Марковапредставляет интерес для представителей многих дисциплин.
Многие люди,имеющие отношение к различным сферам академической жизни, желалибы изучить как можно скорее и в той степени, в какой это возможно дляних, основы этой теории и ее применения, и использовать эти знания всвоей работе. Большинство из них не имеет математической базы, которуюпринято считать стандартной для кембриджских студентов-математиков.Совершенно естественный путь для них — пройти через большое числозадач, снабженных комментариями и решениями. Подборка задач кембриджских «Математических треножников» с решениями исключительнополезна с этой точки зрения, и желание спрятать эти задачи под замок и использовать исключительно для кембриджских студентов кажетсянесколько эгоистичным, хотя и вполне понятным.В связи с этим хотелось бы рассказать следующую историю о ЧарльзеБэббидже (1791–1871), английском математике, который провел большую часть своей жизни, конструируя счетные машины (механическиеустройства, которые можно считать прототипами современных компьютеров).
В 1828–39 гг. Бэббидж занимал престижное кресло Лукасианскогопрофессора математики в Кембриджском университете (в данное времяэто место занимает Стефан Хокинг); с 1840 г. он жил и работал в основном в Лондоне. В то время улицы Лондона были полны бродячихшарманщиков (часто итальянских подростков с прекрасными голосами).Их музицирование пришлось не по вкусу некоторым жителям Лондона, ибыло предложено ввести систему лицензий, которые бы разрешали игратьтолько в назначенное время и в определенных местах.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
