Цепи Маркова (1121219), страница 39
Текст из файла (страница 39)
а).Сравнение упомянутых определений а) –в) приводит к следующему интуитивному представлению пуассоновской вероятности как интеграла попоследовательным скачкам: для любых t, s > 0 и n, i = 0, 1, . . . справедливы соотношенияt= p0n (t) = P (Nt = n) =Альтернативное представление дается в терминах времен s k = t − tkмежду точкой k-го скачка tk и t:= pii+n (t) = P (Nt+s − Ns = n|Ns = i) = P (Nt+s − Ns = n) =Zt ZtZt− t n=e. . .
1(t1 < . . . < tn) dtn dtn−1 . . . dt2 dt1 ==00Z t Ztn0×...0Zt20|exp(− t1){z}первый скачок между 0 и t в момент t1( exp [− (t2 − t1)])|{z}второй скачок между 0 и t в момент t2×0×скачков между tn и t нет...0sZn−10exp[− (t − s1)] ×Рис. 2.24(2.3.9)( )Другой полезный факт состоит в том, что процесс ПП ( ) (N t ) можно(1)получить из ПП (1) (Nt ) с помощью замены времени:(1)( )(N t ) ∼ (Nt ).n-й скачок между 0 и t в момент tn× exp [− (t − tn)] dt1 dt2 . . . dtn−1 dtn .|{z}=Z t Zs1× ( exp [− (s1 − s2)]) × .
. . × ( exp [− (sn−1 − sn)]) ×× exp(− sn) dsn dsn−1 . . . ds2 ds1 .×...×( exp [− (tk − tk−1)]) ×|{z}t(2.3.8)(2.3.10)Использование этих утверждений позволяет установить ряд дополнительных свойств ПП ( ). С другой стороны, мы увидим далее, как попыткиобобщить эти свойства приводят к более общим моделям.Будучи ц.м.н.в., пуассоновский процесс обладает марковским и строгомарковским свойствами. Специфика пуассоновского процесса позволятпридать им следующую специальную форму.Теорема 2.3.4. Марковское свойство процесса ПП ( ) состоитв том, что для любого t > 0 прошлое (N : 0 6 < t) не зависит отбудущего (Nt+s −Nt : s > 0).
Кроме того, (Nt+s −Nt : s > 0) ∼ (Ns , s > 0).Иными словами, для любого t > 0 процесс после момента времени t,отсчитываемый от уровня Nt — это процесс ПП ( ), независимыйот прошлого (N : 0 6 < t).0( t) n −en!( t) n −en!Рис. 2.25Заметим, что с.в. SN(t) = HN(t) +1 − HN(t) (время пребывания, покрывающее точку t) не имеет показательного распределения (этот парадоксобсуждается ниже).Теорема 2.3.5. Строго марковское свойство для момента остановки Hk (времени k-го скачка), состоит в том, что прошлое(Ns : 0 6 s < Hk) не зависит от будущего (NHk +s − k : s > 0). Крометого, (NHk +s − k : s > 0) ∼ (Ns , s > 0).
Иными словами, процесс,наблюдаемый после момента Hk и отсчитываемый от уровня k, —это процесс ПП ( ), независимый от прошлого (Ns : 0 6 s < Hk).Доказательство теоремы 2.3.5 опускается; заметим лишь, что здесьважную роль играет свойство отсутствия памяти у показательного распределения.Поучительно сравнить графически марковское и строго марковскоесвойства процесса ПП ( ) (Nt):(N , 0 6 t 6 Hk) (прошлое)tTTTTTTTTjjjjTTT) не зависит ujjjjjjj(NHk +t − k, t > 0) ∼ ПП ( )− N , t > 0) ∼ ПП ( )+t(2.3.11)Д о к а з а т е л ь с т в о.
Оба пуассоновских процесса (N ti) имеют независимые приращения. Значит, то же верно и для (N t). Тогда обратимсяк определению б):Nt+h − Nt =Xi=1,2(Nti +h − Nti) =если и только если Nti +h − Nti = 0, i = 1, 2,0,= 1,если и только если одно Nti +h − Nti = 0, другое = 1,> 2 в остальных случаях.с вероятностями(1 − h) (1 − h) + o(h) = 1 − ( + )h + o(h),h(1 − h) + (1 − h) h + o(h) = ( + )h + o(h),o(h).0:1:>2:от будущего(N(Nt) ∼ ПП ( + ).(Nt , 0 6 t 6 ) (прошлое)строго марковское свойство: ∀ k = 1, 2, .
. .Следующий результат касается суммы независимых пуассоновскихпроцессов.Теорема 2.3.6. Пусть (Nt1) и (Nt2) — два независимых процессаПП ( ) и ПП ( ). Тогда для Nt = Nt1 + Nt2 , выполняется соотношение>0245марковское свойство: ∀§ 2.3. Процесс ПуассонаГлава 2. Цепи Маркова с непрерывным временем244Значит, (Nt) ∼ПП ( + ).Сложение пуассоновских процессов можно также описать как операцию взятия суперпозиции: мы подсчитываем в нужном порядке все скачкинескольких процессов.
«Обратной» операцией является «прореживание».Теорема 2.3.7. Пусть (Nt) ∼ ПП ( ) и 0 < p < 1. Пусть (Mt) — этопрореженный процесс (Nt), такой что каждый скачок разрешаетсяс вероятностью p и отменяется с вероятностью 1 − p. Тогда(Mt) ∼ ПП (p ).(2.3.12)Рис. 2.26Markov and Strong Markov Private Property5(Из серии «Фильмы, которые не вышли на большой экран».)5 Играслов: по-английски property — свойство, а также собственность, имущество.Рис. 2.27Д о к а з а т е л ь с т в о. Используем определение в): рассмотрим време-246Глава 2. Цепи Маркова с непрерывным временем§ 2.3.
Процесс Пуассона247Mна пребывания SM0 , S1 , . . . процесса (Mt); п.ф.м. имеет видMMEesS0 = E E esS0 | число отмен =∞XM=(1 − p) k p E esS0 | число отмен = k =Рис. 2.28k=0Далее,=(1 − p) / ( − s)pp==.1 − p 1 − (1 − p) / ( − s)p −sMОтсюда немедленно выводим, что SM0 ∼ Exp(p ). Аналогично S1 ,. . . ∼ Exp(p ). Независимость очевидна. Значит, (M t) ∼ ПП ( p).Подводя итог, отметим, что обе операции (сложение независимых пуассоновских процессов и прореживание ПП ( )) не выводят из класса пуассоновских процессов; этот факт играет важную роль в ряде приложений;см.
ниже.Теорема 2.3.8. Пусть (Nt) ∼ ПП ( ). Тогда для любых s, t > 0 и m == 1, 2, . . . при условии, что Nt+s − Ns = m, точки скачков J1 = J1 (s, t),. . ., Jm = Jm (s, t) в интервале (s, s + t) имеют совместную плотностьраспределенияSM2 ,=m!1(s < x1 < . . . < xm < t + s),tm(2.3.13)т. е.
«условные» случайные величины (J1 , . . . , Jm | m скачков на интервале (s, s + t)) можно получить, бросая m н.о.р. точек с равномернымраспределением ∼ U(s, s + t) на интервал (s, s + t) и располагая ихв порядке возрастания.В частности, при условии m = 1 (единственный скачок) точкараспределена как ∼ U(s, s + t)).Д о к а з а т е л ь с т в о.
Используем определение б): для любых s << x1 < . . . < xm < t + s и малых hi , предполагая, что x0 + h0 = s,имеемP (xi < Ji < xi + hi , 1 6 i 6 m; всего m точек скачков в интервале (s, s + t)) == P (Nxk − Nxk−1 +hk−1 = 0, Nxk +hk − Nxk = 1, 1 6 k 6 m, Nt+s − Nxm +hm = 0) ==e− (x1 −s)( h1)e− (x2 −x1 −h1)( h2) × . .
. × ( hm)em mt − te .m!= P (Nt+s − Ns = m) =Разделим на h1 h2 . . . hm и перейдем к переделу при hi → 0:m!.tmfJ1 ,...,Jm (x1 , . . . , xm | всего m скачков) =Если же 1(s < x1 < . . . < xm < s + t) = 0, то fJ1 ,...,Jm (x1 , . . . , xm | всегоm скачков) = 0.Пример 2.3.9. Кайры и ту́пики (это виды птиц) прилетают на гнездовье на утес. Прибытия двух особей независимы, а также независимыприбытия особей на непересекающихся интервалах.
Замечено, что на любом малом интервале длины h вероятность того, что не прилетит кайра,равна 1 − h + o(h), а одна кайра прилетает с вероятностью h + o(h).Соответствующие вероятности для ту́пиков равны 1 − h + o(h) и h + o(h).Найдите распределение общего числа птиц, прилетевших в интервале времени длины t.Какова вероятность того, что первые три прибывшие птицы будутту́пиками?Предположим, что за время t прибыла ровно одна кайра и один т у́пик.Какова вероятность того, что обе птицы прибыли до момента s, где s 6 t?Какова вероятность того, что первым прилетит т у́пик?Решение. В силу независимостиfJ1 ,...,Jm (x1 , . .
. , xm | m скачков на интервале (s, s + t)) =P (всего m точек скачков в интервале (s, s + t)) =− (t+s−xm −hm).0−sk+1P (на интервале (t, t + h) птиц нет ) =(1 − h + o(h)) (1 − h + o(h)) = 1 − ( + )h + o(h).∞ p X(1 − p)1−pТакжеP (на интервале (t, t + h) ровно одна птица) = (1 − h + o(h)) ( h + o(h)) ++ ( h + o(h)) (1 − h + o(h)) = ( + )h + o(h),=k+10N(1 − p) k p EesS0=∞X248Глава 2. Цепи Маркова с непрерывным временемиПусть (Zt) — суперпозиция двух процессов, а pij (t) означает P i (Zt = j).Положим = + .
Вновь в силу независимости имееми, значит, p00 (t) = e−t249Теорема 2.3.10. Для ПП ( ) (Nt) выполняются соотношенияP (на интервале (t, t + h)) две или более птиц ) = o(h).p00 (t + h) = p00 (t) (1 − h + o(h)),§ 2.3. Процесс ПуассонаNt % ∞ и Hn = inf [t > 0 : Nt = n] % ∞ п.н.,т. е. с вероятностью 1откуда ṗ00 (t) = − p00 (t),lim Nt = lim Hn = ∞.n→∞t→∞(поскольку p00 (0+) = 1). Аналогичноp0i (t + h) = p0i−1 (t) ( h + o(h)) + p0i (t) (1 − h + o(h)),откуда следует, чтоṗ0i (t) = − (p0i−1 (t) − p0i (t)),( t) i. Таким образом, (Zt) — пуассоновский процесси, значит, p0i (t) = e− ti!с интенсивностью + .Далее,P (на интервале (t, t + h) прилетел ту́пик | на интервале (t, t + h)прилетела одна птица) =ПоэтомуP (первые три птицы ту́пики) =3+поскольку времена прибытия не имеют значения.Теперь+ o(h).+P (Hn остается ограниченным) = Pk=0Событие2nP∞k=022e ( s) 2 / ( )s= 2.e− t ( t) 2 2 / ( 2)tSk < ∞oSk < ∞∞XSk = limK →∞k=0Sk = lim HK +1K →∞k=0и используем п.ф.м.
Ee Tвзр при = −1.Формально с.в. e−Tвзр определяется как пределe− t ( t) 2 / ( 2)1прилетела до момента t) = − t= .e ( t) 2 2 / ( 2)2KXP (ту́пик прилетит первым | одна птица каждого видаПерейдем теперь к анализу асимптотических свойств пуассоновскогопроцесса. Он приведет к важной концепции взрыва ц.м.н.в.= 0.Удачное соображение, быстро приводящее к результату, состоит в следующем. ПоложимTвзр =Наконец,означает «взрыв».− (t−s) − sX∞eД о к а з а т е л ь с т в о. Начнем с времен достижения H n = S0 + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
