Цепи Маркова (1121219), страница 41
Текст из файла (страница 41)
. . , in ∈ Z+ выполняется равенство(2.4.2)P (Nt+h − Nt = 0) = 1 − (t)h + o(h),P (Nt+h − Nt = 1) = (t)h + o(h),P (Nt+h − Nt > 1) = o(h).(2.4.4)258Глава 2. Цепи Маркова с непрерывным временем§ 2.4. Неоднородный процесс Пуассона259Рис. 2.35Рис. 2.36Как и в однородном случае, P обозначает распределение НПП( (t)).Характеризация процесса НПП ( (t)) посредством определения в) нестоль прямолинейна и естественна и потребует более существенных изменений.
Например, времена пребывания процесса НПП не являютсянезависимыми и их распределения не являются показательными. Действительно, ∀ s > 0 и n > 1 условная вероятностьЕсли Λ (s, s + t) = ∞, то может происходить накопление точек скачковна интервале (s, s + t) (взрывы). Мы исследуем такие «патологические»случаи более подробно для других классов ц.м.н.в.Пример 2.4.2. Пожарная сигнализация в здании университета в Мартингальном тупике включается в случайные моменты времени:P (Sn = ∞ | Hn = S0 + . . . + Sn−1 = s) = eгдеΛ (s, ∞) =Z∞−Λ (s,∞),(2.4.5)интенсивность (u) может зависеть от u. Пусть Nt — число сигналовтревоги до момента времени t. Вводя обоснованные дополнительные предположения, покажите, что вероятности(u) du,pi (t) = P (Nt = i)sт.
е. если Λ (s, ∞) < ∞, то процесс будет находиться в «замороженном» состоянии с положительной вероятностью exp [−Λ (s, ∞)] . Это означает, чтос положительной вероятностью происходит только конечное число скачковна всем временном интервале (0, ∞). (Такого не случается с процессомПП ( ).)Далее, условная плотность распределенияfSn |Hn−1 (x | Hn−1 = s, Sn < ∞) =P (сигнализация срабатывает на интервале (u, u + h)) = (u)h + o(h);e−Λ (s,s+x)(s + x),1 − e−Λ (s,∞)x > 0;удовлетворяют уравнениям··pi (t) = (t) (pi−1 (t) − pi (t)),Λ (t) =P (Nt+s = i + k | Nt = i) = p0k (t, t + s) =(Λ (t, t + s)) kexp(−Λ (t, t + s)).k!Диаграмма, задающая НПП ( (t)), обычно выглядит так:(2.4.7)Zt(u) du.0Решение. Предположим, что N0 = 0,и ∀ t > 0, i = 0, 1, .
. . , и h & 0:является непрерывной,P (Nt+h − Nt = 0|Nt = i) = 1 − (t)h + o(h),P (Nt+h − Nt = 1|Nt = i) = (t)h + o(h),∂зависит от s (например,f(x|s) = 0) тогда и только тогда, когда∂ s Sn |Hn−1(u) ≡ (т. е. процесс НПП является процессом ПП ( )).Процесс НПП является примером неоднородной ц.м.н.в., у которойинтенсивности перехода, а, следовательно, вероятности перехода зависятот времени.
Точнее, вероятность переходаi > 1,и проверьте, что Nt ∼ Po(Λ (t)), где(2.4.6)если Λ (s, ∞) = ∞, то вероятность P (Sn < ∞) = 1 и знаменатель1 − e−Λ (s,∞) ≡ 1. В этом случае неравенство Sn < ∞ можно исключитьиз условия. Легко видеть, что если локальная интенсивность (t) предполагается дифференцируемой по t, то плотность распределения f Sn |Hn−1 неp0 (t) = − (t)p0 (t),иТогдаP (Nt+h − Nt > 1|Nt = i) = o(h).pi (t + h) = P (Nt+h = i) = P (Nt = Nt+h = i) + P (Nt = Nt+h − 1 = i − 1) + o(h) == pi (t) P (Nt+h − Nt = 0 | Nt = i) + pi−1 (t) P (Nt+h − Nt = 1 | Nt = i − 1) + o(h) == pi (t) (1 − (t)h) + pi−1 (t) (t)h + o(h)260Глава 2.
Цепи Маркова с непрерывным временемРис. 2.37и1(p (t + h) − pi (t)) = − (t) (pi (t) − pi−1 (t)) + o(1).h iПри h → 0 получаем ṗi (t) = − (t) (pi (t) − pi−1 (t)). Кроме того, pi (0) =По индукции находим решениеpi (t) =i0 .(Λ (t)) i −Λ (t)e.i!ЗдесьΛ (s, t) =скачка на [t, t + h) будут соответственно равны 1 − (t)h + o(h) и (t)h + o(h)при h & 0.Пример 2.4.4 (процессы рекордов).
НПП играют важную роль в различных приложениях (физике, технике, биологии), когда распределениевремени жизни зависит от текущей позиции на временной оси. Рассмотримздесь одно приложение НПП, касающееся рекордных значений, или рекордов. Пусть X1 , X2 , . . . — последовательность н.о.р.с.в. с непрерывнойстрого возрастающей функцией распределения F. Назовем X n рекорднымзначением, еслиXn > max{X1 , . . .
, Xn−1 }.Тогда последовательность рекордных значений образует неоднородныйпроцесс Пуассона; найдем его интенсивность.Рассмотрим сначала функцию распределения случайной величиныF (X1): ∀ 0 < x < 1(u) du.Действительно, (Nt) ∼ НПП ( (t)), поскольку приращения Nt+s − Ns ∼∼ Po(Λ (s, t)) и независимы на непересекающихся интервалах.Пример 2.4.3. Полезно иметь в виду, что процесс НПП ( (t)) можетбыть получен из процесса Пуассона с постоянной интенсивностью 1 с помощью замены времениZt(u) du.(2.4.9)−1s(2.4.8)0Это означает следующее. Предположим, что (t) — это непрерывная поR∞(t)dt = ∞. Пусть (Nt) являетсяложительная функция такая, что0процессом ПП (1). ПоложимNtНО261FF (X1) (x) = P (F (X1) 6 x) = P (X1 6 F −1 (x)) = F (F −1 (x)) = x,Ztt 7→ Λ (0, t) =§ 2.4.
Неоднородный процесс Пуассона= NΛ (0,t) , t > 0.Тогда (NtНО) является процессом НПП ( (t)). В частности, процесс ПП ( )получаем в результате замены времени t 7→ t.Самый простой способ проверить этот факт — использовать инфинитезимальное определение б): образ процесса ПП (1) при указанной заменевремени имеет независимые приращения на непересекающихся интервалах, и для этого процесса вероятности отсутствия скачка и единственногогде F — функция, обратная к F (которая существует при введенныхпредположениях относительно F). Тогда − ln(1 − F (X 1)) ∼ Exp(1).Пусть теперь VnР — это последовательные рекордные значения:XV0Р = 0, V1Р = X1 , V2Р =Xk 1(X2 , .
. . , Xk−1 < X1 < Xk) и т. д.k>1(2.4.10)Рассмотрим процесс рекордов (Rt)Rt = число n > 1 : VnР 6 t , t > 0.(2.4.11)Схема, по которой получается новое значение рекорда после того, как ужеимеется последовательность, скажем n предыдущих рекордных значенийx1 < . . . < xn величин X1 , . . . , Xkn , такова: мы либо сразу имеем Xkn +1 >> xn , либо появляется некоторое число m > 1 неудачных попыток X kn +1 ,. . .
, Xkn +m , а затем Xkn +m+1 > xn . Следовательно,P (новый рекорд > xn + y | предыдущие рекорды x1 < . . . < xn) =X1 − F (xn + y)=F (xn) m (1 − F (xn + y)) =,1 − F (xn)m>0независимо от значений n и x1 , . . . , xn−1 .В частном случае, когда F (x) = 1 − e−x , находим для n-го временипребывания SРn = VnР − VnР−1 :P (SРn > y | VnР−1 = x, . .
. , V1Р = s1) =e− (x+y)= e −y .e−x262Глава 2. Цепи Маркова с непрерывным временемТаким образом, SРn ∼ Exp(1) и не зависит от SР0 , . . . , SРn−1 . Следовательно,(Rt) является процессом ПП (1).В общем случае, вышеуказанная вероятность равнаx+y Z1 − F (x + y)= e− (Λ (x+y) −Λ (x)) = exp −1 − F (x)(s) ds .xЗдесьΛ (t) =Zt0(s) ds = − ln [1 − F (t)] при(t) =f (t),1 − F (t)где f(t) = F (t) — плотность распределения X1 . Следовательно, (Rt) является НПП с интенсивностью (t). Он превращается в стандартный процессПуассона если заменить Xi ∼ F на − ln(1 − F (Xi)) ∼ Exp(1).0Как уже упоминалось, важный вклад в теорию цепей Маркова (и более общих случайныхпроцессов) был внесен Джозефом Дубом (1910–2004) и Уильямом Феллером (1906–1970),двумя знаменитыми американскими математиками. Оба, и Дуб, и Феллер, были родом изВосточной Европы, и оба были неординарными личностями с сильным чувством юмораи задатками лидеров.
Приведем хорошо известную историю о появлении термина «случайнаявеличина», постоянно употребляемого в этом томе, как и в томе 1. Термин «random variable»стал общепринятым в англоязычной литературе в конце 1940-х гг., когда Дуб и Феллерработали над своими монографиями, сформировавшими теорию случайных процессов, какоймы знаем ее сегодня. (В англоязычной литературе термин «random variable» появляетсяв статье A.
Winter «On analytic convolutions of Bernoulli distributions» (American Journ.Math. 1934. V. 56. P. 659–663), но Кантелли использовал его по итальянски уже в 1916 г.)По версии Дуба, выяснилось, что он и Феллер используют различную терминологию в своихподготавливаемых к печати монографиях. Феллер утверждал, что все говорят «random variable» (случайная величина), а Дуб считал, что все говорят «chance variable» (стохастическаявеличина). Решение было принято с помощью стохастической процедуры: они подбросилимонету, и Феллер выиграл. Однако Дуб назвал свою книгу «Stochastic processes» («Стохастические процессы»), а не «Random processes» (не «Случайные процессы») (видимо,их джентльменское соглашение не распространялось далее концепции одной величины).Отметим, что в российской (советской) вероятностной школе безболезненно использовалсяобщеупотребительный термин «случайная величина», появившийся в середине 1920-х.
Этоттермин своеобразно объединяет обе англоязычные; возможно также, что, поскольку Колмогоров был общепризнанным лидером российского вероятностного сообщества, его вердиктбыл окончательным.Фамилия Дуба (Doob) это модификация слова «Дуб» (Dub), что на чешском и другихславянских языках означает дерево дуб. Его отец сменил фамилию, когда семья эмигрировала в США, чтобы избежать шуток окружающих6 . Широкой вероятностной аудитории Дубзапомнился, среди прочего, уникальным свойством избегать ошибок.
Например, насколькоизвестно авторам, в вышеупомянутом толстом томе «Стохастических процессов» не былонайдено ни одной ошибки, даже ни одной опечатки, к удивлению русских переводчиков6 Dubпо-английски означает тупой.§ 2.5. Процессы рождения и гибели. Взрыв263и прилежных читателей, известных своими способностями находить ошибки в любом предоставленном математическом тексте.Ситуация с Феллером иная. Его получившая заслуженное признание двухтомная монография «Введение в теорию вероятностей и ее приложения» содержала множество ошибок(большинство из которых было поправимо, и многие из которых были исправлены самимавтором в позднейших изданиях).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
