Д.В. Гальцов - Лекции по физике для математиков (Часть 2) (1120658), страница 12
Текст из файла (страница 12)
òÅÛÅÎÉÅ ×ÎÕÔÒÉ ÑÍÙ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ (26), ÕÞÉÔÙ×ÁÑ ÇÒÁÎÉÞÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ:jl (ka) = 0;(29)ÏÔËÕÄÁ k = znl =a, ÇÄÅ znl | n-Ê ÎÕÌØ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ âÅÓÓÅÌÑ jl . ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÉÓËÒÅÔÎÙÊ ÓÐÅËÔÒÜÎÅÒÇÉÊ Enl = ~2 znl2 =(2a2) ÏÂÒÁÚÕÅÔ Ä×ÕÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï. ïÓÎÏ×ÎÏÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ l = 0É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍ. éÚ ÆÏÒÍÕÌÙ (22) ÉÍÅÅÍj0 (kr) = sinkrkr ;(30)ÐÒÉÞ£Í k Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ËÏÒÎÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ sin ka = 0: k = =a.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÓÎÏ×ÎÏÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÔÕ ÖÅ ÜÎÅÒÇÉÀ, ÞÔÏ É × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅ.òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÐÅÒØ Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ × ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÏÊ ÑÍÅ ËÏÎÅÞÎÏÊ ×ÙÓÏÔÙ:U(r) = U0 (a r); U0 > 0;(31)ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÑÓØ ÎÕÌÅ×ÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ ÏÒÂÉÔÁÌØÎÏÇÏ ÍÏÍÅÎÔÁ l = 0. äÌÑ ÒÁÄÉÁÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ, ÓËÌÅÅÎÎÏÊ ×ÔÏÞËÅ a, ÐÏÌÕÞÁÅÍ sin {rq(r a) (r a) ;R = C sin(ar)+e(32){aÇÄÅ E = ~2 q2=2m, U0 + E = ~2 { 2=2m.
óÛÉ×ÁÎÉÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ × ÔÏÞËÅ r = a ÄÁ£Ô ÕÓÌÏ×ÉÅ Ë×ÁÎÔÏ×ÁÎÉÑctg { a = q :(33)îÅÔÒÕÄÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÐÒÉ{2~2U0 < 8ma2(34)ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (33) ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÊ, Ô. Å. Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ ÓÏÓÔÏÑÎÉÊ ÎÅÔ. õÖÅ ÉÚ ÆÉÚÉÞÅÓËÉÈ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÑÓÎÏ,ÞÔÏ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ÜÎÅÒÇÉÅÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ l = 0, ÐÏÜÔÏÍÕ ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ (34) ÄÉÓËÒÅÔÎÙÊ ÓÐÅËÔÒ44çìá÷á 4.ôò³èíåòîùå úáäáþéÜÎÅÒÇÉÊ ×Ï×ÓÅ ÐÕÓÔ. õÓÌÏ×ÉÅ (34) ÍÏÖÎÏ ÉÓÔÏÌËÏ×ÁÔØ Ó ÐÏÚÉÃÉÊ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌ£ÎÎÏÓÔÅÊ ÔÁË:ÎÅÏÐÒÅÄÅÌ£ÎÎÏÓÔØ ËÉÎÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÜÎÅÒÇÉÉ ÞÁÓÔÉÃÙ × ÏÞÅÎØ ÍÅÌËÏÊ ÓÆÅpÉÞÅÓËÏÊ ÑÍÅ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÂÏÌØÛÅÅ£ ÇÌÕÂÉÎÙ, É ÞÁÓÔÉÃÁ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÕÄÅÒÖÉ×ÁÔØÓÑ × ÑÍÅ.
äÌÑ ÓpÁ×ÎÅÎÉÑ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÏÄÎÏÍÅpÎÏÊ ÑÍÅ×ÓÅÇÄÁ ÉÍÅÅÔÓÑ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÉÎ ÕpÏ×ÅÎØ.äÌÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÓÏÓÔÏÑÎÉÊ Ó ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ ÏpÂÉÔÁÌØÎÏÇÏ Ë×ÁÎÔÏ×ÏÇÏ ÞÉÓÌÁ l ÐÒÉÎÑÔÁ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÓÉÍ×ÏÌÉËÁ:s p d f g(× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, s ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÏÔ spherical):l= 0 1 2 3 4x 17. òÁÓÓÅÑÎÉÅòÁÓÓÅÑÎÉÅÍ × ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÏÔËÌÏÎÅÎÉÅ ÞÁÓÔÉà ÏÔ ÐÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÏÇÏ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑÐÒÉ ÓÔÏÌËÎÏ×ÅÎÉÉ Ó ÍÉÛÅÎØÀ.
åÓÌÉ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌÁ, ÔÏ ÚÁÄÁÞÁÓ×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÉÎÆÉÎÉÔÎÙÈ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÊ × ÐÏÌÅ ÒÁÓÓÅÉ×ÁÀÝÅÇÏ ÃÅÎÔÒÁ. ÷ Ë×ÁÎÔÏ×ÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÅÚÁÄÁÞÁ ÒÁÓÓÅÑÎÉÑ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÐÏÓÔÁ×ÌÅÎÁ Ä×ÕÍÑ ÓÐÏÓÏÂÁÍÉ. îÁÉÂÏÌÅÅ ÂÌÉÚËÉÍ Ë ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÍÕ Ñ×ÌÑÅÔÓÑÏÐÉÓÁÎÉÅ ÒÁÓÓÅÑÎÉÑ ÎÁ ÑÚÙËÅ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ×ÏÌÎÏ×ÙÈ ÐÁËÅÔÏ×. âÏÌÅÅ ÐÒÏÓÔÏ, ÏÄÎÁËÏ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÓÔÁÃÉÏÎÁÒÎÕÀ ËÁÒÔÉÎÕ ÒÁÓÓÅÑÎÉÑ.
÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÅÞØ ÉÄÅÔ Ï ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÔÁÃÉÏÎÁÒÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ × ÐÏÌÅ ÒÁÓÓÅÉ×ÁÀÝÅÇÏ ÃÅÎÔÒÁ U(r), ËÏÔÏÒÏÅ ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÕÂÙ×ÁÀÝÉÍ ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ,U(1) = 0 (ÂÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÕÂÙ×ÁÎÉÑ U(r) ÐÒÉ r ! 1 ÂÕÄÅÔ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÏ ÎÉÖÅ), ÔÁËÏÇÏ, ÞÔÏ ÐÒÉjrj ! 1 ×ÏÌÎÏ×ÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄiknr + 1 f(n; n0)eikr :(1)n (r) erúÄÅÓØ k | ×ÏÌÎÏ×ÏÅ ÞÉÓÌÏ (E = ~2 k2 =2), n | ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ ×ÄÏÌØ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ Ä×ÉÖÅÎÉÑÞÁÓÔÉÃÙ (ÐÁÄÁÀÝÁÑ ×ÏÌÎÁ ), n0 | ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ ×ÄÏÌØ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÒÁÓÓÅÑÎÎÏÊ ÞÁÓÔÉÃÙ, r = n0r(ÒÁÓÓÅÑÎÎÁÑ ×ÏÌÎÁ ). òÅÛÅÎÉÅ (1) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÕÐÅÒÐÏÚÉÃÉÅÊ ÐÌÏÓËÏÊ ÐÁÄÁÀÝÅÊ ×ÏÌÎÙ É ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÈ ÒÁÓÓÅÑÎÎÙÈ ×ÏÌÎ, ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÚÎÁÞÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ f(n; n) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÍÐÌÉÔÕÄÏÊ ÒÁÓÓÅÑÎÉÑ.
ïÎÁ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔÓ×ÏÂÏÄÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ, ÄÌÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÓÌÁÇÁÅÍÏÇÏ ÜÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÒÅÛÅÎÉÑ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÆÏÒÍÕÌ (16.25,16.26).ïÔÎÏÛÅÎÉÅ ÐÏÔÏËÁ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÞÅÒÅÚ ÐÌÏÝÁÄËÕ r2 dn0 × ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ n0 Ë ÐÁÄÁÀÝÅÍÕ ÐÏÔÏËÕ ÞÅpÅÚÅÄÉÎÉÞÎÕÀ ÐÌÏÝÁÄËÕ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÓÅÞÅÎÉÅÍ ÒÁÓÓÅÑÎÉÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÐÏÔÏËÉ ÓÌÅÄÕÅÔ ×ÙÞÉÓÌÑÔØ ÐÒÉ jrj ! 1. ÷ÏÓÐÏÌØÚÏ×Á×ÛÉÓØ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (8.5) ÄÌÑ ÐÌÏÔÎÏÓÔÉ ÔÏËÁ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ, ÐÏÌÕÞÉÍd = jf(n; n0)j2 dn0 :(2)ðÏÌÎÏÅ ÓÅÞÅÎÉÅ ÒÁÓÓÅÑÎÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ÏÔ ÜÔÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ:=Zjf(n; n0)j2 dn0 :(3)òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÕÀ ÓÕÐÅÒÐÏÚÉÃÉÀ ×ÏÌÎÏ×ÙÈ ÆÕÎËÃÉÊZZZ0)1ikr(nn= Cn n dn eCn dn + r f(n; n0 )eikr Cn dn :(4)ðÏÓËÏÌØËÕ r ! 1, ÄÌÑ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏÇÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅÍ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ.÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÎÁÈÏÄÉÍikr Z2ieikrikr kr C n0 eCn0 e + r f(n; n0)Cn dn = 2iC(5)0 e ikr eikr SbCn ;nkrÇÄÅ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ Sb ÏÂÏÚÎÁÞÅÎ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÊ ÏÐÅÒÁÔÏÒik Z f(n; n0)C d ;SbCn = Cn + 2(6)nnÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ S-ÍÁÔÒÉÃÅÊ.
÷ÙÒÁÖÅÎÉÅ (5) ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÓÕÍÍÕ ÓÈÏÄÑÝÅÊÓÑ É ÒÁÓÈÏÄÑÝÅÊÓÑ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÈ ×ÏÌÎ. ÷ ÓÉÌÕ ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ (8.6) ÁÍÐÌÉÔÕÄÙ ÜÔÉÈ ×ÏÌÎ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÏÄÉÎÁËÏ×Ù ÐÏÍÏÄÕÌÀ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÏÐÅÒÁÔÏÒ S ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÕÎÉÔÁÒÎÙÍSbSb+ = Sb+ Sb = 1:(7)x17.45òáóóåñîéåéÓÐÏÌØÚÕÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ (6), ÍÏÖÎÏ ÐÅÒÅÐÉÓÁÔØ ÜÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ × ×ÉÄÅIik00f(n; n ) f (n; n ) = 2 f(n; n00 )f (n0; n00) dn00 :(8)÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÐÒÉ n = n0 ÉÎÔÅÇÒÁÌ × ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌÅÎ ÐÏÌÎÏÍÕ ÓÅÞÅÎÉÀ ÒÁÓÓÅÑÎÉÑ (3), Á ÓÌÅ×ÁÓÔÏÉÔ ÕÄ×ÏÅÎÎÁÑ ÍÎÉÍÁÑ ÞÁÓÔØ ÁÍÐÌÉÔÕÄÙ ÒÁÓÓÅÑÎÉÑ ×ÐÅÒÅÄ f(n; n). ðÏÌÕÞÁÅÍÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑÏÐÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÏÒÅÍÏÊ :k :Im f(n; n) = 4(9)ðpÉ×ÅÄÅÎÎÙÅ ÆÏpÍÕÌÙ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù × ÌÀÂÏÍ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÏÍ ÐÏÌÅ (ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÃÅÎÔÒÁÌØÎÏÍ), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÐÏÌÎÏÅ ÓÅÞÅÎÉÅ ÒÁÓÓÅÑÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÏ; ËÁË ÍÙ Õ×ÉÄÉÍ ÄÁÌÅÅ, ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÞÔÏÂÙ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌÕÂÙ×ÁÌ ÐÒÉ jrj ! 1 ÂÙÓÔÒÅÅ ËÕÌÏÎÏ×ÓËÏÇÏ, lim jrjU(r) = 0.
÷ ÃÅÎÔÒÁÌØÎÏÍ ÐÏÌÅ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ ÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÕÐÒÏÝÅÎÉÑ. åÓÌÉ ×ÙÂÒÁÔØ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅ ÐÁÄÁÀÝÅÊ ×ÏÌÎÙ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÓÉ z, n = (0; 0; 1), ÔÏ ÒÁÓÓÅÑÎÎÁÑ×ÏÌÎÁ ÂÕÄÅÔ ÚÁ×ÉÓÅÔØ ÔÏÌØËÏ ÏÔ ÐÏÌÑÒÎÏÇÏ ÕÇÌÁ (z = r cos ), É ×ÍÅÓÔÏ (1) ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØikr eikz + f()(10)r e ;Á ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÓÅÞÅÎÉÅ ÄÌÑ ÒÁÓÓÅÑÎÉÑ × ÉÎÔÅÒ×ÁÌ ÕÇÌÏ× d ÐÒÉÍÅÔ ×ÉÄd = 2 sin jf()j2 d:(11)òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ, ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÝÉÅ ÏÔ ÁÚÉÍÕÔÁÌØÎÏÇÏ ÕÇÌÁ ', ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑÐÏ ÐÏÌÉÎÏÍÁÍ ìÅÖÁÎÄÒÁr 4Pl (cos ) = 2l + 1 Yl;0 ;(12)ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÓÔÉZ0Pl (cos )Pl0 (cos ) sin d = 2l 2+ 1 ll0 :òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÕÐÅÒÐÏÚÉÃÉÀ ÏÂÝÅÇÏ ×ÉÄÁ(r; ) =1Xl=1Dl Rkl (r)Pl (cos );(13)(14)ÇÄÅ Rkl(r) | ÒÁÄÉÁÌØÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÇÏ ÓÐÅËÔÒÁ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ (16.7). ðÒÉ r ! 1Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉ Rkl ×ÅÄÕÔ ÓÅÂÑ ËÁË ÓÕÐÅÒÐÏÚÉÃÉÑ ÒÅÛÅÎÉÊÓ×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ jl (kr) É nl (kr). ó ÕÞ£ÔÏÍ ÆÏÒÍÕÌ (16.25) ÍÏÖÅÍ ÎÁÐÉÓÁÔØ ÐÒÉ r ! 1 l 2Rkl (r) r sin kr 2 + l ;(15)×ÙÂÉÒÁÑ ÎÏÒÍÉÒÏ×ÏÞÎÙÊ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ÒÁ×ÎÙÍ 2 ÄÌÑ ÕÐÒÏÝÅÎÉÑ ÎÏÒÍÉÒÏ×ÏÞÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ.
÷ÅÌÉÞÉÎÙ l ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÆÁÚÁÍÉ ÒÁÓÓÅÑÎÉÑ. òÁÚÌÁÇÁÑ ÐÁÄÁÀÝÕÀ ×ÏÌÎÕ ÐÏ ÐÏÌÉÎÏÍÁÍ ìÅÖÁÎÄÒÁ Ó ÐÏÍÏÝØÀ (16.27), ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ, ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÅ ÐÒÉ r ! 0:eikz 1h ikr i(kr+(l+1)) i1 X(2l+1)e +ePl (cos ):2ikr l=0ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ (15) × (14) É ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÑ Ó ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (10), ÎÁÈÏÄÉÍ1 (2l + 1)ei(l + l2 ) :Dl = 2kðÒÉ ÜÔÏÍ ÁÍÐÌÉÔÕÄÁ ÒÁÓÓÅÑÎÉÑ × (10) ÐÒÉÏÂÒÅÔÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ×ÉÄ11 Xf() = 2ik(2l + 1)(e2il 1)Pl (cos ):l=0(16)(17)(18)46çìá÷á 4.ôò³èíåòîùå úáäáþéðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ (18) × (11) É ÐÒÏÉÚ×ÏÄÑ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ Ó ÐÏÍÏÝØÀ (13) ÎÁÈÏÄÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑÐÏÌÎÏÇÏ ÓÅÞÅÎÉÑ ÒÁÓÓÅÑÎÉÑ ÞÅÒÅÚ ÆÁÚÙ l :1X2 = 4(19)k2 l=0 (2l + 1) sin l :ðÏÓËÏÌØËÕ Pl (1) = 1, ÄÌÑ ÁÍÐÌÉÔÕÄÙ ÒÁÓÓÅÑÎÉÑ ÉÚ (18) ÐÏÌÕÞÁÅÍ11 Xf(0) = 2ik(2l + 1)(e2il 1);l=0(20)ÏÔËÕÄÁ ÌÅÇËÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ ×ÙÐÏÌÎÅÎÉÅ ÏÐÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ (9).åÓÌÉ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌ ÉÍÅÅÔ ÍÁÌÙÊ ÒÁÄÉÕÓ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ (ÂÙÓÔÒÏ ÕÂÙ×ÁÅÔ ÐÒÉ r > a), ÔÏ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ÁÍÐÌÉÔÕÄÙ ÒÁÓÓÅÑÎÉÑ ÐÏ ÐÁÒÃÉÁÌØÎÙÍ ×ÏÌÎÁÍ (18) ÂÕÄÕÔ ÕÞÁÓÔ×Ï×ÁÔØp× ÏÓÎÏ×ÎÏÍ ÍÁÌÙÅ l.
äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÃÅÎÔÒÏÂÅÖÎÙÊ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌ ×ÙÔÁÌËÉ×ÁÅÔ ÞÁÓÔÉÃÕ × ÏÂÌÁÓÔØ rl > ~ l(l + 1)=2. åÓÌÉ ÒÁÄÉÕÓ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÍÅÎØÛÅrl , ÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÐÁÒÃÉÁÌØÎÁÑ ×ÏÌÎÁ ÜËÓÐÏÎÅÎÃÉÁÌØÎÏ ÍÁÌÁ × ÏÂÌÁÓÔÉp ×ÌÉÑÎÉÑ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌÁ. ðÏÜÔÏÍÕ ÐÁÒÃÉÁÌØÎÙÅ ×ÏÌÎÙ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ l, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ ka < l(l + 1), ÐÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÅ ÄÁÀÔ×ËÌÁÄÁ × ÒÁÓÓÅÑÎÉÅ (ÚÄÅÓØ ÕÞÔÅÎÏ, ÞÔÏ E ~2 k2=2m ÐÒÉ r > a). ÷ ÜÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ×ÈÏÄÉÔ ÔÁËÖÅ ×ÏÌÎÏ×ÏÅÞÉÓÌÏ k, ÐÏÜÔÏÍÕ ÐÒÉ ÍÁÌÙÈ ÜÎÅÒÇÉÑÈ k ! 0 ÜÔÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÔÁËÖÅ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù.
ðÒÉ k ! 0 ÏÓÎÏ×ÎÏÊ×ËÌÁÄ ÄÁ£Ô ÓÆÅÒÉÞÅÓËÁÑ ×ÏÌÎÁ l = 0: ÅÓÌÉ ÚÁÐÉÓÁÔØ0 = kb;ÇÄÅ b | ÄÌÉÎÁ ÒÁÓÓÅÑÎÉÑ, ÔÏ ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ 4b2 :íÏÖÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÍÁÌÙÈ ÜÎÅÒÇÉÑÈ l k2l+1 . ÷ ÓÌÕÞÁÅ ÒÁÓÓÅÑÎÉÑ ÎÁ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÏÊ ÑÍÅ (ÒÉÓ. 16.1)ÐÏÌÕÞÁÅÍb = a th{{a0a 1 :0åÓÌÉ, ÎÁÐÒÏÔÉ×, ÐÏÔÅÎÃÉÁÌ ÉÍÅÅÔ ÏÞÅÎØ ÂÏÌØÛÏÊ ÒÁÄÉÕÓ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ, ÉÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÕÂÙ×ÁÅÔ ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÙÓÔÒÏ, ÔÏ ÆÁÚÙ l ÔÁËÖÅ ÍÏÇÕÔ ÕÂÙ×ÁÔØ Ó ÒÏÓÔÏÍ l ÎÅÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÙÓÔÒÏ, ÉÐÏÌÎÏÅ ÓÅÞÅÎÉÅ ÒÁÓÓÅÑÎÉÑ ÂÕÄÅÔ ÒÁÓÈÏÄÉÔØÓÑ.
íÏÖÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ limr2U(r) = 0 ÐÒÉ r ! 1, ÔÏÐÏÌÎÏÅ ÓÅÞÅÎÉÅ ËÏÎÅÞÎÏ, Á ÅÓÌÉ ÕÂÙ×ÁÎÉÅ ÂÏÌÅÅ ÍÅÄÌÅÎÎÏÅ, ÔÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ. üÔÏ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÍÅÄÌÅÎÎÏÍ ÕÂÙ×ÁÎÉÉ ÐÏÌÑ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÂÏÌØÛÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÒÁÓÓÅÑÎÉÑ ×ÐÅÒÅÄ (ÓÒ. Ó (9)). ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÜÔÏÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÄÌÑ ËÕÌÏÎÏ×ÓËÏÇÏ ÐÏÌÑ U r1 . ÷ ÒÅÁÌØÎÙÈ ÆÉÚÉÞÅÓËÉÈ ÓÉÔÕÁÃÉÑÈ ËÕÌÏÎÏ×ÓËÉÊ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌÜËÒÁÎÉÒÕÅÔÓÑ ÎÁ ÂÏÌØÛÉÈ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑÈ ÄÒÕÇÉÍÉ ÚÁÒÑÄÁÍÉ.x 18. ëÕÌÏÎÏ×Ï ÐÏÌÅïÓÏÂÙÊ ÉÎÔÅÒÅÓ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ Ä×ÉÖÅÎÉÅ × ËÕÌÏÎÏ×ÓËÏÍ ÐÏÌÅU = r ;(1)ÇÄÅ > 0 ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÐÒÉÔÑÖÅÎÉÀ, Á < 0 ÏÔÔÁÌËÉ×ÁÎÉÀ.
ðÒÉ = e2 (e | ÚÁÒÑÄ ÜÌÅËÔÒÏÎÁ) Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ × ÐÏÌÅ (1) ÏÐÉÓÙ×ÁÀÔ ÓÔÁÃÉÏÎÁÒÎÙÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ ÁÔÏÍÁ ×ÏÄÏÒÏÄÁ, ÐÒÉ = Ze2 . Z | ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅÞÉÓÌÏ, ÏÐÉÓÙ×ÁÀÝÅÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÏÄÎÏÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÇÏ ÉÏÎÁ Ó ÚÁÒÑÄÏÍ ÑÄÒÁ Z jej. ëÌÁÓÓÉÆÉËÁÃÉÑ ÓÏÓÔÏÑÎÉÊÏÔÄÅÌØÎÏÇÏ ÜÌÅËÔÒÏÎÁ × ËÕÌÏÎÏ×ÏÍ ÐÏÌÅ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÁÀÝÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÄÌÑ ÐÏÎÉÍÁÎÉÑ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ÍÎÏÇÏÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÈ ÁÔÏÍÏ× (ÐÏÄÒÏÂÎÅÅ ÜÔÏ ÂÕÄÅÔ ÏÂÓÕÖÄÁÔØÓÑ × x 27).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
